閆開波 羅慶明 張立萍

摘要：2018年內(nèi)蒙古包頭市中考數(shù)學(xué)試卷第25題，是以動(dòng)點(diǎn)和折疊為載體，以問題串的形式呈現(xiàn)試題，主要考查學(xué)生綜合與實(shí)踐的能力，有針對性地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。此題各個(gè)問題之間層層遞進(jìn)、環(huán)環(huán)相扣。文章從初中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)四個(gè)維度出發(fā)，進(jìn)行考點(diǎn)分析和思路評析。

關(guān)鍵詞：思想方法;解法評析;能力提升;數(shù)學(xué)素養(yǎng)

內(nèi)蒙古包頭市歷年中考數(shù)學(xué)題目總能推陳出新，內(nèi)容令人耳目一新，思維深度碰撞。特別是第25題圖形變化綜合題，題目靈活多變。2015年以前考查動(dòng)點(diǎn)問題，2016年考查折疊問題，2017年考查旋轉(zhuǎn)問題，2018年別出心裁地把動(dòng)點(diǎn)與折疊問題巧妙地結(jié)合在一起。更令人驚訝的是，2018年有的學(xué)生的解答過程也是別出心裁，跳出固有思維，通過建立平面直角坐標(biāo)系，把幾何問題函數(shù)化，用解析幾何的方法輕松解答。下面，筆者通過五個(gè)板塊來剖析試題、探究解法、提升能力、思考課堂。

一、試題呈現(xiàn)

題目 在矩形ABCD中，AB=3，BC =5，E是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。

（1）如圖l，連接BD，O是對角線BD的中點(diǎn)，連接OE。當(dāng)OE= DE時(shí)，求AE的長;

（2）如圖2，連接BE，EC，過點(diǎn)E作EF⊥EC交AB于點(diǎn)F，連接CF，與BE交于點(diǎn)G。當(dāng)BE平分∠ABC時(shí)，求BG的長;

（3）如圖3，連接EC，點(diǎn)H在CD上，將矩形ABCD沿直線EH折疊，折疊后點(diǎn)D落在EC上的點(diǎn)D’處，過點(diǎn)D作D’N⊥4D于點(diǎn)Ⅳ，與EH交于點(diǎn)M，且AE=1。

①求 的值;

②連接BE，△D'MH與△CBE是否相似？試說明理由。

二、試題特色

此題是四邊形背景下的動(dòng)點(diǎn)問題與折疊問題的綜合應(yīng)用，運(yùn)用圖形與坐標(biāo)、圖形與函數(shù)、圖形的變換等知識(shí)，體現(xiàn)知識(shí)與能力并用、思想與方法交融的命題特點(diǎn)，堅(jiān)持以學(xué)生為本，強(qiáng)調(diào)能力立意，體現(xiàn)新課程理念;全面考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能分析問題、解決問題的能力，有利于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性;對學(xué)生應(yīng)該具備的基本文化素質(zhì)和能力進(jìn)行比較全面的考查;此題重點(diǎn)考查了學(xué)生的幾何推理能力，思維層次逐步提升，“幾何味”逐步顯現(xiàn)，梯度合理，區(qū)分度較高。邏輯推理是學(xué)生發(fā)展所需要的重要核心素養(yǎng)之一，本著“核心內(nèi)容重點(diǎn)考查”的命題指導(dǎo)思想，命題者在這方面有所側(cè)重，旨在突出學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法，以及計(jì)算能力、知識(shí)應(yīng)用能力等數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考查。

勾股定理、直角三角形斜邊上的中線、相似三角形的判定與性質(zhì)，都是學(xué)生必備的基礎(chǔ)知識(shí)和必會(huì)的基本技能。但是，能否利用“中點(diǎn)”這一關(guān)鍵詞，而且是直角三角形中的“中點(diǎn)”，這是突破這一小題，甚至是這道題的解題關(guān)鍵所在。

2.第（2）小題的解答綜合性強(qiáng)，思維縝密，作答多樣，層次感強(qiáng)

（1）第一個(gè)切入點(diǎn)：由角平分線出發(fā)，利用等腰直角三角形求邊長。

此種方法雖然便于理解，但是卻不容易想到，要求學(xué)生數(shù)形結(jié)合能力強(qiáng)，幾何問題函數(shù)化，方法嫻熟，值得學(xué)生學(xué)習(xí)。當(dāng)然，對于大多數(shù)學(xué)生而言，最容易想到的還是用三角形相似法去解答。

（2）第二個(gè)切入點(diǎn)：再用一次等腰直角三角形EFC求解45°角，便可以運(yùn)用相似法。

方法2：斜A型圖。

表面上看，證明兩個(gè)不相關(guān)的三角形相似沒有思路。但是，仔細(xì)分析條件，出現(xiàn)了兩條邊長為5的線段，因此出現(xiàn)了等腰三角形，從而打開了解題思路。再利用折疊、互余之間的關(guān)系證明另一個(gè)等腰三角形，從而得證。

四、反思與提升

第（2）小題解題方法多樣，綜合性強(qiáng)，滲透了數(shù)學(xué)的基本思想方法和基本技能，值得思考研究。此道小題挖掘題目隱藏內(nèi)容，合理運(yùn)用基本圖形，數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化明確，使解法自然生成。此題的3道小題層層遞進(jìn)，第（3）小題達(dá)到升華。因此，在九年級綜合復(fù)習(xí)階段，教師要大膽讓學(xué)生去嘗試，讓學(xué)生在做中學(xué)習(xí)，感悟?qū)W習(xí)過程，這也是讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)求知、學(xué)會(huì)建模的理念?！罢嬲臄?shù)學(xué)題”應(yīng)該滿足一些基本條件：與重要的數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)相關(guān)，體現(xiàn)基礎(chǔ)知識(shí)的聯(lián)系性、解題方法的多樣性，具有自我生長的能力等。

五、延伸與拓展

（1）數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，數(shù)學(xué)育人的基本途徑是對學(xué)生進(jìn)行系統(tǒng)的（邏輯）思維訓(xùn)練，訓(xùn)練的基本載體是邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算。而推理是數(shù)學(xué)的根本，運(yùn)算是數(shù)學(xué)的基本功。因此，教師要有課程意識(shí)。數(shù)學(xué)課程能使學(xué)生掌握必要的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和推理能力、創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力，促進(jìn)學(xué)生在情感、態(tài)度與價(jià)值觀等方面的發(fā)展。那么，如何教好這門課呢？“自主一探究一合作一交流”這樣的教學(xué)過程是一種有效的方法.

（2）教師不僅要注重《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中的知識(shí)技能目標(biāo)，還要注重?cái)?shù)學(xué)思考、問題解決、情感態(tài)度等目標(biāo);不僅要注重結(jié)果性目標(biāo)，還要注重過程性目標(biāo);不僅要注重“四基”“四能”的培養(yǎng)，還要注重“10個(gè)核心概念”的培養(yǎng)。

（3）教師要利用好教材，注重對教材、例題和習(xí)題的知識(shí)運(yùn)用的研究。教師要把教材中的例題、練習(xí)題通過類比、加工改造、加強(qiáng)條件或減弱條件、延伸或擴(kuò)展等方式進(jìn)行變式.通過變條件、變結(jié)論、變圖形、變式子、變表達(dá)等不同形式，達(dá)到夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)、掌握基本方法的目的，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，以及學(xué)生綜合運(yùn)用的能力。

（4）教師不僅要注重培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，同時(shí)還要注重培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力。尤其是運(yùn)算能力，培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算算理，尋求合理、簡潔的運(yùn)算途徑來解決實(shí)際問題。

（5）教師要注重培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力，解題的靈活性，通性、通法的能力，不要以題論題，而要以題論法、以題論道。

總之，在今后的教學(xué)中，教師更應(yīng)該注重學(xué)生思維的培養(yǎng)、數(shù)學(xué)思考的訓(xùn)練，給學(xué)生創(chuàng)設(shè)思考的空間，搭好“梯子”，攀登知識(shí)的“高峰”，以知識(shí)為載體激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生刻苦鉆研、永不放棄的精神，提升學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]宋春，劉金英，趙國華.研讀中考試題·培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)·提升解題能力：2017年天津市中考第24題的解題研究與反思[J].中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2018（6）.

[2]章建躍.發(fā)揮數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量為學(xué)生謀取長期利益[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2013（2）.

[3]中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.