方小龍 陳少毅

摘 要：初中數(shù)學總復習一般分基礎復習和專題提升兩個階段，在第二階段專題復習中，教師不僅要根據(jù)中考的趨勢精選題型，還要善于利用經(jīng)典問題，引導學生分析問題的本質，挖掘試題所隱含的數(shù)學方法，并適時開展變式訓練，從而提高學生分析、求解綜合問題的能力。

關鍵詞：初中數(shù)學；第二輪復習；問題本質；解題方法；變式訓練

初中數(shù)學總復習是對數(shù)學知識進行回顧梳理，使學生對知識的形成系統(tǒng)化，技能形成熟練化的過程，也是對數(shù)學思想與方法進行再提煉，讓學生數(shù)學素質和科學素養(yǎng)得到提升，進而提高綜合解題能力的過程。因此，初中數(shù)學總復習一般分基礎復習和專題提升兩個階段，但在第二輪專題復習中，教師們更多地關注選什么樣的題型訓練，而忽略了如何利用典型例題進行講解，從而降低了專題復習的效果。實際上，在二輪復習中，我們不僅要根據(jù)中考的趨勢精選題型，還要善于利用經(jīng)典問題，引導學生分析問題的本質，挖掘試題所隱含的數(shù)學方法，并適時開展變式訓練，從而提高學生分析、求解綜合問題的能力。

一、 分析問題本質，把握試題求解的根本

初中數(shù)學任何一個復雜的代數(shù)問題都可分解成幾個基本問題，任何一個復雜的幾何圖形都是若干個基本圖形的組合。掌握這些基本代數(shù)問題的特征和解題方法，弄清這些基本圖形的基本性質和求解方法，是解決綜合問題的基礎，也是解題必須具備的基本功之一。

圖1

【例1】 如圖1，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A（-1，0），B（5，0），C（0，5）三點，對稱軸與拋物線相交于點P，與直線BC相交于點M，連接PB。

（1）求該拋物線的解析式；

（2）點Q為拋物線第一象限上的點，且△QMB與△PMB的面積相等，求點Q的坐標；

（3）在第一象限、對稱軸右側的拋物線上是否存在一點R，使△RPM與△RMB的面積相等，若存在，求出點R的坐標；若不存在，說明理由。

分析：本題是以拋物線為背景構造三角形面積相等的經(jīng)典題型，第（2）小題中的兩個三角形由于有一條確定的公共邊MB，學生容易由等底等高面積相等，想到過點P作BC的平行線，從而確定Q；而第（3）小題，△RPM與△RMB的公共邊MR待定，由于受前面所用的方法的影響，多數(shù)學生會陷入從幾何形質探求面積相等的陷阱，其實我們不妨從平面中求斜三角形的通用方法入手，構建方程求解。

圖2

如圖2，不難得出：S△RMB=S△RME+S△RBE=12（xB-xM）（yR-yE），利用上述結論，在第（3）小題中，若設點R的橫坐標為x，則△RPM的面積為S△RPM=12（xR-xM）（yP-yM）=3（x-2），△RMB的面積為S△RMB=12（xB-xM）（yR-yE）=32（-x2+4x+5+x-5），再由面積相等就不難求得點R的坐標了。

由于中考的壓軸題都由若干個問題綜合而成，而且都有一定的原創(chuàng)性，學生很難在考試中的短時間內(nèi)找到類似的問題類比解答，因此在復習課教學中，教師要引導學生分析問題的結構特征，圖形的基本構成，進而“離析”出可拓展的基本問題或基本圖形，引導學生理解基本問題和基本圖形一般性原理，從而掌握解決問題的方法，提高解題能力。

二、 講清解題過程，掌握一類題型的解法

中考壓軸題的解決必須依托不同的思維方式，專題復習的過程不能只是簡單地推導和計算，而應針對不同類型的題目，理清解題的思路，滲透思想方法，以題帶面，引導學生思考解題過程中涉及的知識點和通用方法，這樣不僅有利于學生對知識的鞏固，還有利于提高學生的綜合運用能力及解題能力，培養(yǎng)學生的思維能力。

圖3

【例2】 如圖3，已知點E在線段AB上，AB=6，BE=2。P為線段AB上一個動點（點P不與點A，B重合），在線段AB的同側分別作等邊△APC和等邊△PBD，連接AD、BC，交點為Q。

（1）求證：△APD≌△CPB；

（2）當點P為AB中點時，求線段QE的長；

（3）在點P的運動過程中，求線段QE長的最小值。

分析：本題從學生熟悉的等邊三角形構圖入手，層層遞進，從特殊到一般再到特殊，探求定點E與動點Q之間線段長的性質，是一道典型的考查動點軌跡與幾何最值的壓軸題。第（2）小題以特殊位置求線段QE的長，既是后面求QE最小值在設題上的自然前探，也為第（3）題從角度思考點Q的運動軌跡做了方法上的鋪墊。在講解第（3）小題時，教師應引導學生關注此類問題的共同特征，總結關于動點軌跡問題的解題方法。在（3）問中，線段QE的端點E為定點，Q為動點，要解決這類問題，首先要判斷動點Q的運動軌跡。若軌跡為直線，則由點到直線距離垂線段最短求QE的最小值；若軌跡為圓弧，則由定點到圓周上各點的最短距離可求得QE的最小值。

在二輪復習中，教師應避免就題論題，要以題論法，引導學生挖掘題干中的解題信息，根據(jù)題中的關鍵條件找到解題的突破口，進而幫助學生理清解題思路，找出一類題型的共同點，歸納出此類題型的解題策略。在學生思維遇到障礙時，教師要通過展示自己的思考過程，幫助學生梳理思維脈絡，建立解題信心；在學生有了解題思路后，教師要在具體解法上加以指導，避免有想法無解法的情況發(fā)生，還要讓學生在各種解法中比較、選擇最優(yōu)化的方法，從而提高解題能力。此外，還要培養(yǎng)學生良好的解題習慣和答題規(guī)范，力求解題完整，以提高得分率。

三、 開展變式訓練，鞏固解題習得的技巧

任何巧妙的方法，不經(jīng)過一定量的訓練與鞏固，都無法內(nèi)化為自己的解題策略。在第二輪復習中，教師要精心設計專題的變式練習，及時對學生進行鞏固訓練，一方面可以強化剛獲得一類問題的基本原理和解題方法，另一方面也可以避免大量的重復練習，消除題海戰(zhàn)術。專題復習中例習題變式，可以從問題背景、發(fā)問方式、題干條件等角度做出實質性改變，從而形成新的問題。

圖4

【例3】 如圖4，在矩形ABCD中，AB=2，BC=5，P為線段BC上的一個動點，且和B，C不重合，連接PA，過P作PE⊥PA交CD所在直線于E。設BP=x，CE=y。

（1）求y與x的函數(shù)關系式；

（2）求線段DE的最大值；

（3）將△PEC沿PE翻折至△PEG位置，若點G恰好落在AD上，求BP長。

本例是一道典型的幾何動點問題，它以矩形為背景，利用一線三直角和圖形的折疊來設置問題。解決本題的基本方法是由相似建立函數(shù)關系，再利用二次函數(shù)的對稱性求線段的最值，再后通過勾股定理建立方程求得BP的長。

為了讓學生強化在例題分析求解中習得的方法，提升解題能力，教師不妨對例題進行適當?shù)淖兪?，讓學生在變式訓練中及時鞏固解題方法，避免“一講便懂，轉眼就忘”的情況發(fā)生。

圖51

圖52

變式：如圖51，在等邊△ABC中，AB=6，D是AB上一點，BD=m，E為線段BC上的一個動點，且和B，C不重合，作∠DEP=60°，EP交邊AC于P。

（1）求證：BD·PC=BE·EC；

（2）若點E在線段BC上運動時，點P總在線段AC上，求m的取值范圍；

（3）若點A與點E關于直線DP對稱，請在所給的圖52中用尺規(guī)確定點P的位置，并求出AP的長。

本道變式題將原題背景改為等邊三角形，相應保留了一線三等角的構圖特征，但在問題設置上作了適當變化，使題目煥然一新，有利于學生在新情景中形成遷移運用的能力。其中的第（3）題既保留了原題中折疊對稱的本意，又增加了推理作圖的步驟，讓試題增加了幾分創(chuàng)新的活力。

總之，在二輪專題復習中，我們一定要在精選例習題的基礎上，強化解題過程的教學，在幫助學生分析解題思路的同時，揭示問題的本質與結構特征，以題帶面，總結一類題型的解題技巧，讓學生在適量的變式訓練中掌握方法，提升能力。

參考文獻：

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作者簡介：

方小龍，福建省福鼎市，福建省福鼎市第十七中學；

陳少毅，福建省寧德市，福建省寧德市教師進修學院。