謝亞強(qiáng)

摘 要：“數(shù)形結(jié)合”思想在解決數(shù)學(xué)問題上發(fā)揮著重要的作用，靈活運(yùn)用這種思想可以快速、準(zhǔn)確地應(yīng)對出現(xiàn)的問題，并且數(shù)形結(jié)合有利于化抽象為具體、由點(diǎn)到面，更好地幫助學(xué)生透徹理解數(shù)學(xué)，增強(qiáng)學(xué)生的形象思維能力和抽象思維能力，從而培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)。通過對高中數(shù)學(xué)的研究，發(fā)現(xiàn)這一思想貫穿于集合、排列組合以及函數(shù)部分，于是將這些利用到“數(shù)形結(jié)合”思想的部分做了較為完整的總結(jié)。以“數(shù)形結(jié)合”思想在高中解題中的應(yīng)用為主要課題，通過總結(jié)經(jīng)典習(xí)題的解決方法，提供一些見解，以便于高效處理數(shù)學(xué)問題和增強(qiáng)數(shù)學(xué)思維能力，為解題有困難的學(xué)生提供一種更為容易理解的方法。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合思想;高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí);數(shù)學(xué)解題

一、數(shù)形結(jié)合思想之我見

數(shù)值和幾何是數(shù)學(xué)的基本元素，是構(gòu)成數(shù)學(xué)大廈的磚瓦。它們并不是彼此之間毫無關(guān)系的個(gè)體，相反，兩者幾乎如影隨形。例如體積、周長的計(jì)算都屬于數(shù)值關(guān)系的內(nèi)容;而數(shù)值關(guān)系又可以通過幾何圖形來進(jìn)行形象的描述和表達(dá)，比如數(shù)軸、矢量等?？梢钥闯鰞烧卟⒉皇菃为?dú)的個(gè)體。將兩者結(jié)合起來，可以從兩種不同的維度思考問題，可以化繁為簡，便于理解和掌握數(shù)學(xué)本質(zhì)。

二、數(shù)形結(jié)合思想在高中解題中的應(yīng)用

（一）集合中的應(yīng)用

集合問題是我們高中數(shù)學(xué)中經(jīng)常碰到的問題，會(huì)考一些關(guān)于集合的交、并問題，此時(shí)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的解題方法可以將數(shù)值型問題轉(zhuǎn)化為更為具體的圖形問題，從而使問題得到簡化。我們可以以這樣一道題目為例：P={x∈N，14或x<2}，求 P∩Q.在解答這類題目時(shí)，應(yīng)該想到利用數(shù)軸將數(shù)值問題簡化。具體為在數(shù)軸上標(biāo)出1，2，4，6這四個(gè)數(shù)字，然后根據(jù)題目要求，在數(shù)軸上畫出目標(biāo)區(qū)域，兩者之間的重疊部分即是題目所求集合。從這道題目可以看出這道題的突破口就是將數(shù)值與幾何圖形互相轉(zhuǎn)化，從而高效、準(zhǔn)確地解決問題。集合問題是數(shù)學(xué)的基本問題，在以后的學(xué)習(xí)中會(huì)廣泛運(yùn)用。

（二）排列組合中的應(yīng)用

排列組合類利用“數(shù)形結(jié)合”思想來解決問題的題目，需要問題本身就具有圖像性的特點(diǎn)。例如這道題目：在一個(gè)圓周上一共有6個(gè)點(diǎn)，然后以這6個(gè)點(diǎn)做弦，計(jì)算圓內(nèi)交點(diǎn)的最大值。我們在解決這種問題時(shí)應(yīng)該從研究3個(gè)點(diǎn)時(shí)開始，通過畫圖可以看出任意三點(diǎn)所做的弦沒有交點(diǎn)，在四個(gè)點(diǎn)時(shí)有一個(gè)交點(diǎn)。于是問題便轉(zhuǎn)化成6個(gè)點(diǎn)中最多有多少對不同的4點(diǎn)組合，問題由幾何的交點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為簡單的排列組合問題，本題答案為C46=6×5÷2=15個(gè)交點(diǎn)。本題的難點(diǎn)就是能否將幾何圖形問題向數(shù)值轉(zhuǎn)化，從不同的維度思考問題，找到突破口，將復(fù)雜的問題簡單化。

（三）函數(shù)中的應(yīng)用

函數(shù)是數(shù)學(xué)中重要的部分，考驗(yàn)一定的抽象思維能力，也是很多學(xué)生頭疼的地方。通常意義上，函數(shù)當(dāng)中對“數(shù)形結(jié)合”思想的運(yùn)用，其情況較為復(fù)雜，只有先將函數(shù)與圖形結(jié)合起來，才能通過圖形解答問題。

下面以一道函數(shù)題為例。曲線y=x2-2x+4與直線y=k（x-1）有兩個(gè)交點(diǎn)，實(shí)數(shù)k的范圍是多少？解決這道題的關(guān)鍵為將題目要求轉(zhuǎn)化為作圖。當(dāng)然不需要精確作圖，只需要根據(jù)題目要求畫出關(guān)鍵交點(diǎn)的位置。如本題中與x軸的交點(diǎn)為x2-2x-4=0的解;同理可以求出在y軸的交點(diǎn)位置。直線方程較為簡單，是過原點(diǎn)的直線，只要考慮直線與該二次函數(shù)圖象交點(diǎn)為1時(shí)的數(shù)值即可。通過作圖可以看出k的取值有正有負(fù)，可以對本題進(jìn)行分情況討論。當(dāng)k<0時(shí)，聯(lián)立方程組得k=-2根號(hào)3;同理可得當(dāng)k>0時(shí)，解得k=2根號(hào)3。當(dāng)解答本道題沒有頭緒時(shí)應(yīng)該畫出草圖，快速找出數(shù)值與圖形的關(guān)聯(lián)，使抽象的問題化為具體形象的圖形問題，即使無法直接解答也可起到對題目的分析作用，打開思路、尋找突破點(diǎn)。當(dāng)然，并不是所有的題目都可以通過這種方法得以解決，如構(gòu)建部署函數(shù)的問題模型，就很難使之與數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用思想發(fā)生聯(lián)系，在解決問題時(shí)會(huì)受到限制，因此，數(shù)形結(jié)合應(yīng)該具體情況具體討論，學(xué)生應(yīng)該靈活應(yīng)用，將該思想作為一種解題選擇，為打開思路提供靈感。

三、結(jié)語

總而言之，“數(shù)形結(jié)合”思想在高中學(xué)習(xí)階段處于重要的地位，這種思想貫穿于高中數(shù)學(xué)的很多部分，但要想真正學(xué)會(huì)數(shù)形結(jié)合的方法，也不可能一蹴而就，對這種方法要時(shí)?？偨Y(jié)，分析其適用的范圍，總結(jié)是否這種方法真的適合解決一些具體的題目。只要通過不斷總結(jié)，合理利用這種方法，就可以達(dá)到快速打開思路、化繁為簡的目的，增強(qiáng)數(shù)學(xué)解題能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)，在遇到問題時(shí)可以與有相同興趣的同學(xué)一起討論，在討論中增長解題經(jīng)驗(yàn)，分享學(xué)習(xí)心得，在相互幫助中共同提高。高中老師也應(yīng)該在實(shí)踐教學(xué)中發(fā)現(xiàn)新的教學(xué)方法，以幫助學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

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編輯 郭小琴