何慧

[摘 ?要] 結(jié)合高中數(shù)學(xué)教學(xué)的優(yōu)秀傳統(tǒng)，以數(shù)學(xué)建模為突破口，帶動(dòng)其他要素的落地，得到了理論與實(shí)踐兩個(gè)維度研究的證實(shí). 理解數(shù)學(xué)建模的時(shí)候，需要從傳統(tǒng)視角轉(zhuǎn)換到核心素養(yǎng)視角下，這也就意味著對(duì)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)要素的理解，實(shí)際上存在兩個(gè)角度：一是傳統(tǒng)角度;二是核心素養(yǎng)角度. 在核心素養(yǎng)視角下，數(shù)學(xué)建模的理解又有三個(gè)層次：一是核心素養(yǎng)視角下的數(shù)學(xué)建模;二是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)視角下的數(shù)學(xué)建模;三是對(duì)數(shù)學(xué)建模本身的理解. 在數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的視角下，筆者以為關(guān)鍵在于立足于學(xué)生的學(xué)習(xí)視角，從學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的認(rèn)知特點(diǎn)出發(fā)，讓學(xué)生充分發(fā)揮自身的思維作用去構(gòu)建模型. 這個(gè)過(guò)程需堅(jiān)持“以生為本”.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);核心素養(yǎng);數(shù)學(xué)建模;培養(yǎng)途徑

2014年3月30日，教育部發(fā)布了《關(guān)于全面深化課程改革，落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)的意見(jiàn)》，正式提出“核心素養(yǎng)體系”的概念. 這標(biāo)志著課程改革之后新一輪教育教學(xué)改革序幕的開(kāi)啟，教育教學(xué)將邁入一個(gè)全新的階段. 具體到高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括六個(gè)方面（要素）：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析，它們既彼此獨(dú)立，又相互貫通，構(gòu)成不可分割的整體. 很顯然的一點(diǎn)是，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，這六個(gè)要素如何落地是需要認(rèn)真思考的;而且在具體的某一個(gè)教學(xué)內(nèi)容中，這六個(gè)要素的落地程度也是有所不同的. 結(jié)合高中數(shù)學(xué)教學(xué)的優(yōu)秀傳統(tǒng)，筆者思考以數(shù)學(xué)建模為突破口，思考以其帶動(dòng)其他要素的落地，并在理論與實(shí)踐兩個(gè)角度研究其可能性、可行性.

■數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)與數(shù)學(xué)建模

理解數(shù)學(xué)建模的時(shí)候，需要從傳統(tǒng)視角轉(zhuǎn)換到核心素養(yǎng)視角下，這也就意味著對(duì)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)要素的理解，實(shí)際上存在兩個(gè)角度：一是傳統(tǒng)角度;二是核心素養(yǎng)角度. 需要指出的是，這兩個(gè)角度并不矛盾，教師需要做的是將傳統(tǒng)理解納入核心素養(yǎng)的視角之下，努力賦予其新的意義;而在核心素養(yǎng)視角下，數(shù)學(xué)建模的理解又有三個(gè)層次：

一是核心素養(yǎng)視角下的數(shù)學(xué)建模，筆者以為要從“關(guān)鍵能力”培養(yǎng)的角度認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)建模，并在數(shù)學(xué)建模的過(guò)程中讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到建立模型去分析、解決問(wèn)題，這原本就是一種立足當(dāng)下、面向未來(lái)的關(guān)鍵能力. 而且由于建立了核心素養(yǎng)的視角，在培養(yǎng)學(xué)生能力的時(shí)候目的性往往更強(qiáng).

二是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)視角下的數(shù)學(xué)建模，這是賦予數(shù)學(xué)建模以純粹的數(shù)學(xué)意義，即要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，數(shù)學(xué)建模是建立在數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理基礎(chǔ)上基于數(shù)學(xué)知識(shí)生成過(guò)程形成數(shù)學(xué)模型，并以其去解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程.

三是數(shù)學(xué)建模本身的理解——數(shù)學(xué)建模是運(yùn)用數(shù)學(xué)思想、方法和知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，它搭建了數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的橋梁，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要形式，也是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分.

在這三個(gè)層次的理解中，筆者以為，在數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的視角下理解數(shù)學(xué)建模顯得尤其必要，一方面核心素養(yǎng)下面向關(guān)鍵能力培養(yǎng)的數(shù)學(xué)建模，只要認(rèn)識(shí)到其是能力培養(yǎng)就足夠了;而完全囿于數(shù)學(xué)建模本身，又難以完全彰顯其在數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中的地位與作用. 而在數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)視角下理解數(shù)學(xué)建模，筆者以為有一點(diǎn)認(rèn)識(shí)不可忽視，那就是：數(shù)學(xué)建模中有豐富的數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理過(guò)程，同時(shí)涉及數(shù)學(xué)運(yùn)算或數(shù)據(jù)分析，而數(shù)學(xué)直觀則對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思路有著重要作用，因此數(shù)學(xué)建模實(shí)際上在數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的六個(gè)要素中起著綜合性作用. 這種綜合性作用決定了數(shù)學(xué)建模應(yīng)當(dāng)成為數(shù)學(xué)教學(xué)的核心指向之一，真正將數(shù)學(xué)建模落到實(shí)處，那么數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落地就是有保證的.

■數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)落地的途徑探究

那么，在核心素養(yǎng)的背景之下，如何有效地實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)要素的落地呢？這當(dāng)然需要從傳統(tǒng)數(shù)學(xué)建模的思路入手，在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)視野中，通常認(rèn)為數(shù)學(xué)模型搭建了數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的橋梁，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要形式. 而數(shù)學(xué)建模過(guò)程主要包括：在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題，分析問(wèn)題、建立模型，確定參數(shù)、計(jì)算求解，檢驗(yàn)結(jié)果、改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問(wèn)題. 在數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的視角下，筆者以為關(guān)鍵在于立足于學(xué)生的學(xué)習(xí)視角，從學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的認(rèn)知特點(diǎn)出發(fā)，讓學(xué)生充分發(fā)揮自身的思維作用，去構(gòu)建模型. 如果學(xué)生的模型顯得粗糙，教師則應(yīng)發(fā)揮指導(dǎo)作用.

例如，在“函數(shù)”知識(shí)的教學(xué)中，基于數(shù)學(xué)建模的角度的教學(xué)設(shè)計(jì)可以是這樣的：

首先，創(chuàng)設(shè)情境. 這個(gè)情境通常由實(shí)際問(wèn)題來(lái)呈現(xiàn)，如可以向?qū)W生呈現(xiàn)某天上證指數(shù)的變化圖像，讓學(xué)生用已經(jīng)學(xué)過(guò)的函數(shù)知識(shí)去判斷該圖像是不是函數(shù)，并說(shuō)明理由;然后再提供另一個(gè)示例，如提供一個(gè)射擊運(yùn)動(dòng)員訓(xùn)練中的射擊成績(jī)，可用表格呈現(xiàn)（如下表），然后提出問(wèn)題：射中的環(huán)數(shù)是不是序號(hào)的函數(shù)？

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第三個(gè)例子是給學(xué)生呈現(xiàn)一個(gè)拋物體例子，讓學(xué)生根據(jù)所學(xué)習(xí)的知識(shí)去判斷物體距離地面的高度是不是時(shí)間的函數(shù).

通過(guò)這樣的三個(gè)例子的呈現(xiàn)，學(xué)生一方面可以用已有的函數(shù)知識(shí)去判斷，另一方面也打開(kāi)了高中階段學(xué)習(xí)函數(shù)的大門(mén). 從數(shù)學(xué)建模的角度來(lái)講，這樣的一個(gè)教學(xué)過(guò)程，實(shí)際上在原有數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，豐富了函數(shù)模型的理解，提升了函數(shù)模型的內(nèi)涵.

其次，建立函數(shù)模型. 這里建立模型的辦法是運(yùn)用已經(jīng)學(xué)過(guò)的集合知識(shí)來(lái)進(jìn)行，建立模型的關(guān)鍵則是對(duì)應(yīng)思想的滲透. 在分析上面的例子的過(guò)程中，筆者就重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生從集合的角度去判斷三個(gè)例子中的相應(yīng)的兩個(gè)量之間，是否存在著對(duì)應(yīng)關(guān)系. 這里需要注意的是，學(xué)生原有的認(rèn)知中，往往是函數(shù)與解析式的對(duì)應(yīng)，他們認(rèn)為一個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)著一個(gè)解析式，而在集合概念之下，對(duì)函數(shù)的理解需要拓展到變量與函數(shù)的對(duì)應(yīng)理解上，這正對(duì)應(yīng)著數(shù)學(xué)建模的過(guò)程！

實(shí)際上，學(xué)生在建立函數(shù)模型以描述實(shí)際問(wèn)題的時(shí)候，基于上面提到的三個(gè)例子及在此基礎(chǔ)上的分析與綜合——綜合概括三個(gè)例子的共同特征，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)函數(shù)概念建立時(shí)所必需的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這是科學(xué)思想方法的運(yùn)用;同時(shí)又有對(duì)函數(shù)描述方式的探究，其實(shí)無(wú)論是表格、解析式還是圖像，都是函數(shù)概念的表達(dá)方式，而也正是這些方式的使用，使得學(xué)生在建立函數(shù)概念、形成函數(shù)模型認(rèn)識(shí)的過(guò)程中變得非常豐富. 在其后，通過(guò)從定義域、值域、單調(diào)性等角度去描述函數(shù)的種種性質(zhì)，這個(gè)時(shí)候教師可以采取變式的思路來(lái)讓學(xué)生在實(shí)際運(yùn)用中，對(duì)函數(shù)模型進(jìn)行進(jìn)一步強(qiáng)化，比如可以讓學(xué)生基于a的取值去判斷函數(shù)y=ax的特性等.

再次，反思函數(shù)模型的建立過(guò)程. 大量的事實(shí)表明，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，讓學(xué)生對(duì)已經(jīng)經(jīng)歷過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)過(guò)程進(jìn)行回顧與反思，是非常有必要的. 在這樣的過(guò)程中，學(xué)生可以對(duì)原來(lái)的學(xué)習(xí)過(guò)程進(jìn)行重新加工，能夠發(fā)現(xiàn)原來(lái)學(xué)習(xí)過(guò)程中存在的不足與優(yōu)點(diǎn)，然后通過(guò)反思來(lái)?yè)P(yáng)長(zhǎng)避短，從而讓此前所經(jīng)歷的學(xué)習(xí)過(guò)程得到純化，這可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)有更深入的認(rèn)識(shí). 在函數(shù)概念建立并生成函數(shù)模型的過(guò)程中，重點(diǎn)需要梳理對(duì)三個(gè)實(shí)例的分析，對(duì)其中所用邏輯思維方法的理解，對(duì)函數(shù)模型解釋其他問(wèn)題所起的作用的理解等. 實(shí)踐證明，通過(guò)這樣的反思過(guò)程，函數(shù)模型在學(xué)生大腦中的印象會(huì)更加清晰.

■數(shù)學(xué)建模過(guò)程須堅(jiān)持“以生為本”

“以生為本”是課程改革中提出來(lái)的重要理念，也是很多同行在教研活動(dòng)與學(xué)術(shù)論文中強(qiáng)調(diào)的理念. 筆者在教學(xué)中高度重視學(xué)生的主體地位，并且認(rèn)為無(wú)論是什么樣的教學(xué)活動(dòng)，都必須堅(jiān)持“以生為本”. 高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)視角下的數(shù)學(xué)建模，自然也不能夠例外.

目前，新修訂的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中，把數(shù)學(xué)建模作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，要求數(shù)學(xué)建模理念貫穿在整個(gè)高中數(shù)學(xué)教育的始終. 多數(shù)同行都認(rèn)為，這些舉措都將對(duì)數(shù)學(xué)建模教學(xué)、數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)產(chǎn)生重大影響，同時(shí)，也將促進(jìn)數(shù)學(xué)的教學(xué)和評(píng)價(jià)的變革. 在注意到這一點(diǎn)的同時(shí)，筆者以為如果真正堅(jiān)持“以生為本”，而且站在學(xué)生的角度進(jìn)行思考，那通過(guò)數(shù)學(xué)建模來(lái)促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落地的目的就更容易實(shí)現(xiàn)了.

在上面函數(shù)概念的教學(xué)過(guò)程中，為了讓函數(shù)在學(xué)生大腦當(dāng)中不僅以概念，而且以模型的形式存在，那在創(chuàng)設(shè)情境的時(shí)候所提供的實(shí)例，就必須是學(xué)生熟悉的實(shí)例;所用到的分析與歸納的方法，就必須是學(xué)生熟練運(yùn)用的方法;學(xué)生在發(fā)現(xiàn)三個(gè)實(shí)例的共同特征之后，并進(jìn)行歸納時(shí)，教師都要高度關(guān)注學(xué)生所用的語(yǔ)言，因?yàn)檫@個(gè)時(shí)候?qū)W生所用的語(yǔ)言可能不那么準(zhǔn)確，教師需要引導(dǎo)學(xué)生將自己的語(yǔ)言進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為精確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，這樣才能為函數(shù)概念的定義與理解奠定基礎(chǔ).

總之，在數(shù)學(xué)建模的過(guò)程中，教師真正建立起生本視角，一切從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，在最近發(fā)展區(qū)內(nèi)設(shè)計(jì)并實(shí)施教學(xué)，就能夠讓數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)扎實(shí)落地，從而為高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落地提供可靠支撐.