金嵐

摘 要 數(shù)學概念是數(shù)學研究的基礎，小學數(shù)學概念的理解和掌握程度，將會對整個小學數(shù)學學習內(nèi)容產(chǎn)生深遠的、重要的影響。本文結合深度學習理念從概念產(chǎn)生的必要性、概念的表述、課堂問題的設計、概念的內(nèi)涵與外延四個方面提出了小學數(shù)學概念教學的策略，并結合教學案例進行說明。指導教師在概念教學中，怎樣依據(jù)小學生的年齡特點和認知規(guī)律，使其真正經(jīng)歷數(shù)學概念的產(chǎn)生、建立、深化、運用等過程，獲得真正準確、清晰和抽象的概念，對概念進行深入理解。

關鍵詞 深度學習 小學數(shù)學 概念教學

中圖分類號：G424? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：ADOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2019.04.065

Abstract Mathematical concepts are the basis of mathematical research. The understanding and mastery of mathematical concepts in primary schools will have a profound and important impact on the whole content of primary school mathematics learning. Combining with the concept of in-depth learning， this paper puts forward the strategies of teaching mathematical concepts in elementary schools from four aspects： the necessity of concepts， the expression of concepts， the design of classroom problems， the connotation and extension of concepts， and illustrates them with teaching cases. In conceptual teaching， how can the instructor really experience the process of the generation， establishment， deepening and application of mathematical concepts according to pupils' age characteristics and cognitive rules， so as to obtain truly accurate， clear and abstract concepts， and to have a thorough understanding of concepts.

Keywords deep learning; primary mathematics; concept teaching

數(shù)學概念是人腦對現(xiàn)實的數(shù)量關系和空間形式的本質(zhì)特征的一種反應形式。小學數(shù)學深度是以數(shù)學學科核心內(nèi)容為載體，以發(fā)展學生核心素養(yǎng)為目標，以挖掘數(shù)學內(nèi)容本質(zhì)和數(shù)學思想為根本，基于學生深度探究和理解的學習。[1]下面將結合深度學習理念提出小學數(shù)學概念教學策略，以求依據(jù)小學生的認知規(guī)律使其經(jīng)歷數(shù)學概念的產(chǎn)生、建立、深化、運用等過程，使學生能獲得真正準確、清晰和抽象的概念，對概念進行深入的理解。

1 體現(xiàn)概念產(chǎn)生的必要性——深度思考

數(shù)學概念是在數(shù)學的歷史長河中逐步發(fā)展、變化最終保留下來的。每個數(shù)學概念的產(chǎn)生和使用有其自身的價值和必要。例如數(shù)的擴充一方面是現(xiàn)實生活的需要，例如：人們?yōu)榱吮硎精C物的多少等慢慢地產(chǎn)生了自然數(shù);表示“半塊月餅”不能用自然數(shù)表示，進而產(chǎn)生了分數(shù);當表示零上、盈利、向東時用正數(shù)，那么表示零下、虧欠、向西的時就產(chǎn)生了負數(shù)。數(shù)的擴充另一方面是數(shù)的運算的需要，任何兩個自然數(shù)相加，結果仍然是自然數(shù)，但是任何兩個自然數(shù)相減，結果卻不一定是自然數(shù)，需要擴充到負數(shù)。同樣，一個整數(shù)乘一個整數(shù)，結果還是整數(shù)，但是一個整數(shù)除以另一個整數(shù)，結果不一定是整數(shù)，于是又有了分數(shù)。[2]

但是在目前的概念教學中教師往往不關注概念產(chǎn)生的必要性，例如，在教學“比的認識”一課時，教材中定義為“兩個數(shù)相除又叫做這兩個數(shù)的比”，很多教師在教學中都把“比”等同于“除法”進行教學。在課堂教學中遇到學生提出的“既然比是除法為什么還要學習比？”諸如此類的問題也無法解答。因此，在教學中讓學生感受到概念產(chǎn)生的必要性是十分重要的，這有益于學生對概念的深度思考。

例如，《分數(shù)的初步認識》一課，我們可以創(chuàng)設這樣的生活情境讓學生感悟“分數(shù)”產(chǎn)生的必要性。首先，把4個蘋果平均分給2個人，每人分到2個蘋果，用數(shù)“2”來表示分到的結果。其次，把2個蘋果平均分給2個人，每人分到1個蘋果，用數(shù)“1”來表示分到的結果。最后，把1個蘋果平均分給2個人，每人分到半個蘋果，思考怎樣表示半個蘋果，可以用圖形、符號或者數(shù)，而數(shù)是最簡潔的表述方式，進而讓學生體會分數(shù)產(chǎn)生的必要性。

再例如《用數(shù)對確定位置》一課的教學，可以這樣創(chuàng)設情境，首先讓學生表示只有一行的某個學生的位置，學生可以用已經(jīng)學過的數(shù)線的知識來描述位置，然后再讓學生表示幾行幾列中某個學生的位置，那么就需要從一維過渡到二維，要考慮用平面直角坐標系來確定位置，進而感受“數(shù)對”這個概念產(chǎn)生的必要性。

2 操作與表述相結合——深度感知

小學數(shù)學教材中對概念的定義，在不同的學段分別用了描述式和定義式。不管哪種表達方式，概念的形成都要用語言概括。如果學生對概念的表達是建立在背誦的基礎之上，沒有經(jīng)歷用自己的語言嘗試概括的過程，這樣的識記也只是機械記憶，而非意義識記，這樣的理解也只能是暫時的理解，隨著時間的推移會很快淡忘。[3]

例如《認識面積》一課，教師在教學時往往從物體表面或封閉圖形的大小抽象出面積的概念后，就直接進入面積的比較教學。沒有讓學生用自己的語言再對概念進行描述。這樣的做法會導致學生的面積概念的體驗不深刻。再例如“圓的直徑”的教學，教師一般直接介紹圓的直徑是通過圓心且兩個端點在圓上的線段。然后繼續(xù)探究同一個圓內(nèi)直徑的關系。這樣的教學忽略了概念的語言表述，導致學生對概念的理解只停留于表面，并沒有觸及本質(zhì)。

概念形成階段，是由具體思維向抽象思維的過渡，教師在給學生提供豐富素材的基礎上，可以引導學生通過觀察、思考，用自己的語言嘗試描述概念。起初學生的語言可能不夠規(guī)范和精準，但經(jīng)過獨立的思考、經(jīng)過與同伴的交流，學生會對概念有深度的感知，慢慢能夠形成較為規(guī)范的語言描述。

在學習面積概念時，建議讓學生用自己的語言，邊摸邊說一說它們理解的面積。如：“桌面的大小就是桌面的面積”、“黑板面的大小就是黑板面的面積”、“圓的大小就是圓的面積”等等，再過渡到“物體的表面或封閉圖形的大小就是它們的面積”。學習直徑的概念時，讓學生用自己的語言描述什么是直徑“穿過圓心，兩頭都不出頭”、“經(jīng)過圓心，線段的兩頭正好在圓的邊上”等等，雖然這些語言并不嚴格，但體現(xiàn)了學生對概念思考和個性化的理解。張奠宙教授提出“充分運用直覺學習數(shù)學，是數(shù)學學習，特別是小學數(shù)學學習的一條準則?！毙W數(shù)學不要過于強調(diào)對某些數(shù)學文字的表面理解，而應力求引導學生感悟數(shù)學的本質(zhì)，鼓勵學生用自己的數(shù)學語言嘗試詮釋對數(shù)學意義的真正理解。

3 設計層層遞進的教學問題——深度探究

教學問題的設計直接影響著學生課堂學習的探究過程，設計豐富的、有層次的、逐步深入的、有挑戰(zhàn)性的教學問題，更為有利于學生對概念的深度探究。

例如《分數(shù)的初步認識》一課可以設計一系列這樣的教學問題，引導學生逐步深度探究概念。問題一：“怎樣表示蘋果的個數(shù)？”讓學生經(jīng)歷從整數(shù)到非整數(shù)表示蘋果個數(shù)的過渡過程，在此過程中，允許學生用個性化的方法，如實物、圖形等表示非整數(shù)個蘋果，即蘋果的“一半”，再優(yōu)化到數(shù)學上的分數(shù)“”表示，讓學生逐步感受分數(shù)產(chǎn)生的必要性。問題二：“涂出不同圖形的，觀察并思考你發(fā)現(xiàn)了什么？”此環(huán)節(jié)滲透了分數(shù)相對性的教學，讓學生比較同一個圖形的，會發(fā)現(xiàn)面積相同但形狀可能不同，比較不同圖形的，會發(fā)現(xiàn)形狀、大小可能都不相同等。問題三：“表示三種給定圖形的幾分之一（圓形、正方形、長方形），你發(fā)現(xiàn)了什么？”此環(huán)節(jié)首先讓學生用分數(shù)表示老師折出的圖形（），然后讓學生獨立創(chuàng)造幾分之一，再結合圖示說一說創(chuàng)造出的分數(shù)的含義及發(fā)現(xiàn)了什么。此問題由過渡到幾分之一，豐富了對分數(shù)的認識，為進一步探究幾分之幾準備，同時此環(huán)節(jié)還可以初步滲透分子為1的分數(shù)的大小關系。問題四：“創(chuàng)造幾分之幾，說一說你對分數(shù)的理解”，在創(chuàng)造的幾分之一的基礎上，進一步創(chuàng)造幾分之幾，深入對分數(shù)的理解，同時還滲透了分數(shù)單位的含義。問題五：“古代分數(shù)是怎樣產(chǎn)生的？”引導學生經(jīng)歷分數(shù)真正的產(chǎn)生過程，感受數(shù)學文化的魅力，體會數(shù)學學習的價值。

本節(jié)課通過五個環(huán)環(huán)相扣、層層遞進的問題，引導學生經(jīng)歷了分數(shù)概念的產(chǎn)生——建立——深化——應用等過程，幫助學生經(jīng)歷深度探究，逐步理解了分數(shù)的含義。

4 關注概念的內(nèi)涵與外延——深度理解

概念的內(nèi)涵反映了概念中對象的本質(zhì)屬性，概念的外延包含了某個概念的一切研究對象的范圍。在數(shù)學概念教學中，有的教師往往認為，揭示了某個數(shù)學概念的內(nèi)涵，就明確了某個數(shù)學概念，從而忽視了數(shù)學概念外延的教學。[3]而在小學數(shù)學概念的學習過程中，學生一般是借助某些特定的對象（即外延中的代表）獲得關于概念的感性認識，進而深入研究概念的內(nèi)涵。如果概念的外延不豐富、不典型，也會影響學生對概念內(nèi)涵的理解。

例如《認識軸對稱圖形》一課的教學，學生在第一學段學習軸對稱圖形，一般教師會從生活中的對稱引入，如故宮、埃菲爾鐵塔等，或者從對稱的文字或圖形引入，如對稱的喜字、心形圖片、小房子圖片等等。教師更多的會列舉“左右對稱”的現(xiàn)象，有的在多個左右對稱中加入一個“上下對稱”，這樣的設計便是重內(nèi)涵，輕外延的。軸對稱圖形的概念是：一個圖形沿一條直線對折，直線兩旁的部分能夠完全重合。它既包括了左右對稱，也包括上下對稱、斜著的對稱等等。在第一學段的學習中忽視對稱概念的外延，在第二學段方格紙上畫軸對稱圖形時便會出現(xiàn)這樣的問題：左右和上下對稱的圖形不易出錯，而斜著對稱的圖形容易出錯。

概念教學可以選擇豐富的外延代表，避免在課堂教學中出現(xiàn)以偏蓋全的現(xiàn)象，導致學生將個別實例所具有的性質(zhì)等同于概念所有外延具有的性質(zhì)。因此，教師應該對概念外延的種類、結構進行研究，呈現(xiàn)多樣性的實例，促進學生準確掌握概念的本質(zhì)。

例如，北師版五年級上在教學平面圖形（三角形、平行四邊形、梯形）的底和高時，在理解了底和高的概念后，教師還要盡可能舉例涵蓋不同類型的三角形、平行四邊形和梯形，比如鈍角三角形以鈍角的一邊為底的外高、平行四邊形的外高、直角梯形的底和高、斜著呈現(xiàn)的不同圖形的底和高等等，豐富學生對底和高的理解。

以上結合深度學習理念，從四個方面提出了小學數(shù)學概念教學的策略。深度學習既要基于對學習內(nèi)容的深入解讀，還要基于對學生認知規(guī)律的掌握。深度學習注重學習的結果，更注重探究的過程。我們希望通過這樣的學習，能夠促進學生對數(shù)學概念的深度理解和掌握、促進學習能力的提升、促進學科核心素養(yǎng)的發(fā)展。

2018年度一般規(guī)劃課題《深度學習視角下小學數(shù)學核心內(nèi)容教學研究》成果

參考文獻

[1] 馬云鵬.深度學習背景下小學數(shù)學學習內(nèi)容的組織策略研究[J].課程？教材？教法，2017（4）.

[2] 史寧中.基本概念與運算法則[M].北京：高等教育出版社，2013：3-13.

[3] 林武.小學數(shù)學概念教學行與思[M].北京：教育科學出版社，2014：77.