摘?要：《課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)：“要重視直觀，處理好直觀與抽象的關(guān)系。”從這句話中不難看出，直觀教學(xué)在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中占據(jù)重要地位，因而教育專(zhuān)家與一線教師努力加工教材，盡可能使抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容直觀具體化，目的是促進(jìn)學(xué)生頭腦中數(shù)學(xué)知識(shí)的形成。不過(guò)，重視直觀的同時(shí)，抽象也不可偏廢。

關(guān)鍵詞：直觀;抽象;數(shù)學(xué)教學(xué)

停留在直觀層次的數(shù)學(xué)教學(xué)，知識(shí)點(diǎn)零散，學(xué)生難以把握數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，無(wú)法構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，更別談在數(shù)學(xué)中滲透思想與方法了。所以小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)直觀引入，保證數(shù)學(xué)知識(shí)的形成;逐步抽象，使數(shù)學(xué)知識(shí)確立并形成知識(shí)結(jié)構(gòu)。本著這一原則，筆者深入思考小學(xué)中分?jǐn)?shù)的定義，產(chǎn)生了如下認(rèn)識(shí)。

一、 份數(shù)定義：分?jǐn)?shù)意義的直觀理解

第一學(xué)段初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)，以具體例證的方式給出分?jǐn)?shù)的定義：像13、14這樣的數(shù)叫作分?jǐn)?shù)，不過(guò)第一學(xué)段的分?jǐn)?shù)總會(huì)賦予一定的生活意義，便于學(xué)生的理解。比方說(shuō)：13表示把一塊蛋糕平均分成3份，表示其中的一份。第二學(xué)段再次認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)時(shí)，則明確給出了分?jǐn)?shù)的定義：把“單位1”平均分成若干份，表示其中一份或幾份的數(shù)，叫作分?jǐn)?shù)。對(duì)比兩個(gè)不同的學(xué)段，對(duì)于分?jǐn)?shù)意義的理解實(shí)際并無(wú)區(qū)別，唯一不同的是將具體物體抽象成“單位1”。經(jīng)過(guò)第二學(xué)段的學(xué)習(xí)，學(xué)生認(rèn)識(shí)到這個(gè)“單位1”不僅表示一個(gè)物體，還可以表示幾個(gè)物體，概括講是表示一個(gè)整體。而我們遇到分?jǐn)?shù)時(shí)，無(wú)一例外需要對(duì)一個(gè)整體平均分，并明確需要表示出幾份。經(jīng)過(guò)這樣的過(guò)程，學(xué)生就能夠在頭腦中完善、形成一個(gè)“有血有肉”的分?jǐn)?shù)。

以上分?jǐn)?shù)定義中，需要明確平均分的份數(shù)以及要表示的份數(shù)，因而可稱為“分?jǐn)?shù)的份數(shù)定義”。用這樣的方式定義分?jǐn)?shù)有其合理性。首先，直觀形象地表示部分與整體的關(guān)系，需要分成幾份，需要表示出幾份。并且通過(guò)對(duì)大量實(shí)例的觀察總結(jié)中，學(xué)生認(rèn)識(shí)到了“平均分”的重要性。再次，便于學(xué)生理解分?jǐn)?shù)相加減得到的結(jié)果的合理性。總的來(lái)說(shuō)這樣的定義方式以直觀形象的特點(diǎn)著稱，符合低年齡段學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)。到了第二學(xué)段，學(xué)生的思維能力與認(rèn)知結(jié)構(gòu)均有了一定的發(fā)展。這時(shí)候，對(duì)分?jǐn)?shù)意義的認(rèn)識(shí)理應(yīng)有新的突破，向分?jǐn)?shù)的本質(zhì)內(nèi)涵深入，往抽象層面發(fā)展;而非仍然強(qiáng)調(diào)以分物體的方式理解分?jǐn)?shù)的意義，停留在對(duì)分?jǐn)?shù)的直觀認(rèn)識(shí)上。因?yàn)椴粩鄰?qiáng)化分?jǐn)?shù)的份數(shù)定義，容易使學(xué)生形成對(duì)分?jǐn)?shù)的狹隘認(rèn)識(shí)與思維定勢(shì)。舉個(gè)簡(jiǎn)單例子，下面的圖形在學(xué)生初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)時(shí)經(jīng)常用到，不可謂不熟。在問(wèn)及：“看到這個(gè)圖形你能想到什么分?jǐn)?shù)時(shí)”，學(xué)生也能快速給出14的答案?！斑€能表示其他的分?jǐn)?shù)嗎？”很少有學(xué)生給出不同的答案了。第二學(xué)段再次認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)后，還是提問(wèn)這兩個(gè)問(wèn)題，學(xué)生反應(yīng)仍是如此。這不得不讓人深思了，難道這幅圖只能表示“14”？答案當(dāng)然是否定的。而學(xué)生之所以出現(xiàn)這樣的回答，勢(shì)必與課上、練習(xí)中反復(fù)強(qiáng)調(diào)“分?jǐn)?shù)的份數(shù)定義”有關(guān)?？吹揭粋€(gè)圓被平均分成4份，就將圓視為整體（單位1），并且被平均分成4份;看到其中較為醒目的黑色，自然而然的視為需要表示出的1份。通過(guò)這則案例，不難想象大部分學(xué)生會(huì)帶著以分物體理解分?jǐn)?shù)意義的方式離開(kāi)小學(xué)，進(jìn)入初中學(xué)習(xí)。而這種停留對(duì)分?jǐn)?shù)直觀層面意義的理解方式，不利于學(xué)生認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的本質(zhì)意義，更無(wú)益于明晰分?jǐn)?shù)、除法的內(nèi)在聯(lián)系，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。正確的態(tài)度是以分?jǐn)?shù)的份數(shù)定義初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)，但不應(yīng)過(guò)度強(qiáng)調(diào);到了第二學(xué)段，要盡可能以較為抽象，接近分?jǐn)?shù)本質(zhì)的定義理解分?jǐn)?shù)。

二、 商定義：分?jǐn)?shù)本質(zhì)意義的表達(dá)

最初分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生源于實(shí)際度量的需要，剩下的部分不能恰好量盡，那么剩下的是多少呢？這時(shí)就需要一個(gè)新的數(shù)表示。而在數(shù)學(xué)中以邏輯方式給出定義則是出于整數(shù)系對(duì)于除法運(yùn)算封閉的需要。所謂封閉是指：若某集合（數(shù)系）內(nèi)兩個(gè)元素經(jīng)過(guò)某種運(yùn)算得到結(jié)果仍然是該集合里的元素，就稱該集合對(duì)于這種運(yùn)算封閉?；诖?，我們發(fā)現(xiàn)整數(shù)系對(duì)于除法并非總是封閉的，比如：3÷5的結(jié)果，顯然這一結(jié)果無(wú)法在整數(shù)系中找到對(duì)應(yīng)的元素。為了使除法對(duì)于整數(shù)系總能夠?qū)嵤?，就有必要將整?shù)系擴(kuò)充，使得某些除法運(yùn)算的結(jié)果得到合理的安排。自然經(jīng)過(guò)擴(kuò)充后的整數(shù)系不再是原本意義上的整數(shù)系，形成了有理數(shù)系。而有理數(shù)系與整數(shù)系的區(qū)別在于添加了一種新的元素——分?jǐn)?shù)。由此看來(lái)，分?jǐn)?shù)與除法是有內(nèi)在聯(lián)系的。a÷b（b≠0），當(dāng)b能整除a時(shí)，得到的商是整數(shù);當(dāng)b不能整除a時(shí)，得到的商便是分?jǐn)?shù)，可用ab表示。所以分?jǐn)?shù)還可以表示為兩個(gè)數(shù)相除的商，這便是分?jǐn)?shù)的商定義。循著這一定義的發(fā)展脈絡(luò)，我們發(fā)現(xiàn)這一定義方式較之份數(shù)定義更接近分?jǐn)?shù)的本質(zhì)，更為抽象也更具有普遍意義。

以上分?jǐn)?shù)的商定義及其來(lái)龍去脈過(guò)于抽象，萬(wàn)不可在教學(xué)中實(shí)施。那么是否分?jǐn)?shù)的商定義在小學(xué)課堂中便沒(méi)有立足之地呢？也非盡然。立足于學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)與認(rèn)知特點(diǎn)加工教學(xué)內(nèi)容，同樣能適合學(xué)生接受，正如布魯納所說(shuō)：“任何科目都能夠按照某種正確的方式交給任何年齡階段的任何兒童。”第二學(xué)段學(xué)完分?jǐn)?shù)后，通常會(huì)有這樣的教學(xué)環(huán)節(jié)：引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)除法與分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系。通過(guò)教學(xué)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：分子相當(dāng)于被除數(shù)，分母相當(dāng)于除數(shù)，分?jǐn)?shù)線相當(dāng)于除號(hào)。顯然這種只將兩者表達(dá)形式建立起聯(lián)系的認(rèn)識(shí)，無(wú)法深入到分?jǐn)?shù)與除法的本質(zhì)關(guān)系，學(xué)生也自然無(wú)法領(lǐng)略到分?jǐn)?shù)商定義的內(nèi)涵所在。

小學(xué)數(shù)學(xué)教材編寫(xiě)的螺旋上升的原則有力地說(shuō)明了小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)是直觀到抽象過(guò)程。以這樣的原則實(shí)施教學(xué)，進(jìn)行知識(shí)點(diǎn)的再認(rèn)識(shí)，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維的發(fā)展。在再認(rèn)識(shí)的過(guò)程中會(huì)促進(jìn)以往所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)的整合，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)，深化對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解。

作者簡(jiǎn)介：

梁濤，江蘇省揚(yáng)州市，寶應(yīng)縣柳堡鎮(zhèn)中心小學(xué)。