摘?要：數(shù)形結(jié)合的思想是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一種重要的思想方法和理解數(shù)學(xué)、學(xué)好數(shù)學(xué)的有效手段。數(shù)形結(jié)合的兩個(gè)要點(diǎn)是“以形示數(shù)”和“由形到數(shù)”，通過(guò)這兩個(gè)要點(diǎn)達(dá)到數(shù)形結(jié)合的目的，為小學(xué)生的解決數(shù)學(xué)問(wèn)題、形成數(shù)學(xué)意識(shí)、發(fā)展數(shù)學(xué)思維而服務(wù)，從而產(chǎn)生長(zhǎng)期穩(wěn)固的作用于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生涯，使抽象的問(wèn)題具體化、復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，從而達(dá)到提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)和高效數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);數(shù)形結(jié)合;以形示數(shù);由形到數(shù)

一、 前言

小學(xué)是一個(gè)人認(rèn)知世界的第一個(gè)正式、法定的階段，也是開(kāi)始系統(tǒng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)階段。在2001年頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》中，提出“學(xué)生能夠獲得適應(yīng)未來(lái)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學(xué)知識(shí)以及基本的數(shù)學(xué)思想方法和必要的應(yīng)用技能?！?011年出臺(tái)的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在總目標(biāo)中提出“通過(guò)義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?！钡捎谛W(xué)生的思維深度存在一定的局限性，因此，利用“數(shù)”與“形”的優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)，使學(xué)生改變關(guān)注問(wèn)題的表述和形式轉(zhuǎn)向問(wèn)題的內(nèi)在含義，從而實(shí)現(xiàn)了抽象與形象思維的有機(jī)結(jié)合。

數(shù)形結(jié)合的兩個(gè)要點(diǎn)是“以形示數(shù)”和“由形到數(shù)”?！耙孕问緮?shù)”是用簡(jiǎn)單的圖形表示數(shù)字問(wèn)題，“由形到數(shù)”是推廣問(wèn)題，使用純數(shù)學(xué)表達(dá)。數(shù)形結(jié)合思想具有的教育價(jià)值：一是促進(jìn)了小學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，二是發(fā)展小學(xué)生解決實(shí)際數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，三是促進(jìn)了學(xué)生觀察能力、直覺(jué)思維、形象思維、創(chuàng)造性思維等多種能力的提升。

二、 數(shù)形結(jié)合教學(xué)的理論依據(jù)

數(shù)學(xué)來(lái)源于生活同時(shí)應(yīng)用于生活，因此數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的是為了解決生活中的實(shí)際問(wèn)題。如果讓小學(xué)生只進(jìn)行單純“數(shù)學(xué)”知識(shí)的學(xué)習(xí)而完全脫離實(shí)際，既背離了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的初衷，也會(huì)讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得晦澀、枯燥甚至是乏味。同樣只是利用“圖形”的方法去解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，而沒(méi)有用理論去抽象和拔高相應(yīng)的理論，也無(wú)法使學(xué)生完全掌握相應(yīng)的知識(shí)，更無(wú)法在實(shí)際生活中對(duì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用做到順手拈來(lái)。

故數(shù)學(xué)教學(xué)必需要做到兩個(gè)層次——“以形示數(shù)”和“由形到數(shù)”。第一個(gè)層次是“以形示數(shù)”，用“形”來(lái)助力解決“數(shù)”，借助形，認(rèn)識(shí)數(shù)、運(yùn)算數(shù)、整理數(shù)。發(fā)現(xiàn)數(shù)的規(guī)律，理清數(shù)量關(guān)系，解決數(shù)的問(wèn)題，使得理論知識(shí)做到有的放矢，做到數(shù)學(xué)應(yīng)用到生活的具體方面。第二個(gè)層次是“由形到數(shù)”，運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)和數(shù)學(xué)語(yǔ)言，使得相應(yīng)的應(yīng)用擴(kuò)寬。從而認(rèn)識(shí)和測(cè)量圖形，進(jìn)而生動(dòng)描述圖形的位置和運(yùn)動(dòng)過(guò)程，促進(jìn)空間觀念形成，使得具體問(wèn)題在理論上的推廣，服務(wù)于更多方面，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)樂(lè)趣與激情。

三、 數(shù)形結(jié)合的幾個(gè)例子

（一） 兩位數(shù)乘法問(wèn)題

三年級(jí)人教版對(duì)兩位數(shù)乘兩位數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)解法是列豎式計(jì)算法。例如23乘以26，國(guó)內(nèi)教學(xué)的解法通常是運(yùn)用列豎式計(jì)算，可以算出結(jié)果是598。（具體運(yùn)算如圖1.1）。而國(guó)外有一種解法是通過(guò)畫(huà)線法，分別畫(huà)出2，3，2，6的四組線，分別表示2、3和2、6，然后將它們的交叉點(diǎn)分為三個(gè)部分，分別代表個(gè)位、十位、百位，清點(diǎn)各部分交點(diǎn)的數(shù)目后進(jìn)行累加，便能得到最后的答案為598。（具體運(yùn)算如圖1，2）。

國(guó)外的這種乘法解法相較于國(guó)內(nèi)的列豎式計(jì)算解法而言有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)：一是學(xué)生不需要背誦九九乘法表;二是僅需要了解多位數(shù)加法的運(yùn)算?？梢园l(fā)現(xiàn)，運(yùn)用畫(huà)線法，只需要掌握簡(jiǎn)單的基本知識(shí)，小學(xué)生就能夠輕松地解出23乘以26這類較為復(fù)雜的計(jì)算題。

（二） 奇數(shù)數(shù)列求和問(wèn)題

舉一個(gè)奇數(shù)數(shù)列相加求和的例子，例如計(jì)算1+3+5+7+9+11+13，這個(gè)數(shù)列的和。面對(duì)該類問(wèn)題時(shí)，由于小學(xué)生尚未涉及數(shù)列的相關(guān)知識(shí)，教師在教學(xué)時(shí)可以通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方式來(lái)提點(diǎn)，即以小球表示數(shù)字，再將小球依數(shù)列規(guī)律擺放成正方形，最后利用正方形的面積等于邊長(zhǎng)的平方這一定理，巧妙地將計(jì)算題轉(zhuǎn)變?yōu)閳D形，求出該數(shù)列的和。

（三） 集合問(wèn)題

人教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)上冊(cè)中有關(guān)于集合的例題：已知參加跳繩比賽的同學(xué)有楊明、陳東、劉紅、李芳、王愛(ài)華、馬超、丁旭、趙軍、徐強(qiáng)，參加踢毽比賽的同學(xué)有劉紅、于麗、周曉、楊明、朱小東、李芳、陶偉、盧強(qiáng)，請(qǐng)問(wèn)參加這兩項(xiàng)比賽的共有多少人？解決該問(wèn)題時(shí)，小學(xué)生容易被復(fù)雜的信息量所困擾，解題時(shí)往往會(huì)直接累加來(lái)得到結(jié)果。因此可以通過(guò)繪制韋恩圖的方式，清楚地觀察出重復(fù)的學(xué)生數(shù)，使學(xué)生能夠直觀地理解重疊部分的意義并得知計(jì)算時(shí)要減去重復(fù)的學(xué)生的個(gè)數(shù)，進(jìn)而得出參加兩項(xiàng)比賽的總?cè)藬?shù)。

（四） 植樹(shù)問(wèn)題

植樹(shù)問(wèn)題對(duì)小學(xué)生而言是十分抽象的，“兩端都栽”“只栽一端”“兩端都不栽”這幾種植樹(shù)的方式常常讓小學(xué)生暈頭轉(zhuǎn)向，分不清要用哪個(gè)計(jì)算公式，導(dǎo)致結(jié)果的錯(cuò)誤。而通過(guò)直觀的“畫(huà)線段圖”的方式可以讓學(xué)生直觀地明晰題意。例如：同學(xué)們要在全長(zhǎng)20米的小路一邊植樹(shù)，每隔5米栽一棵（只栽一端），一共要栽多少棵樹(shù)？可引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)畫(huà)線段圖的方式作答，畫(huà)一段來(lái)代表20米的線段，再等比例地在原線段上標(biāo)出代表5米的線段，便能直觀地得出答案，即可得到要栽樹(shù)的數(shù)目。

四、 “以形示數(shù)”的意義

對(duì)于小學(xué)生而言，單純講數(shù)學(xué)理論太過(guò)于抽象晦澀，難以理解;且如果數(shù)學(xué)里只有無(wú)窮的公式和算理算法，那么就太過(guò)于枯燥。通過(guò)“以形示數(shù)”的方式，可以讓學(xué)生通過(guò)觀察圖形、觸摸圖形、繪制圖形等活動(dòng)，有效地參與到數(shù)學(xué)課堂中，全身心地進(jìn)行愉悅的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，進(jìn)而充分激發(fā)起學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，產(chǎn)生學(xué)習(xí)熱情。此外，“以形示數(shù)”的方式將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)直接形象地展示在學(xué)生的眼前，將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，能夠有效地引導(dǎo)學(xué)生理解掌握知識(shí)，避免了煩瑣的記誦過(guò)程。在數(shù)與形的轉(zhuǎn)化過(guò)程中，也能起到培養(yǎng)鍛煉學(xué)生的抽象思維能力和邏輯思維能力的重要作用，為學(xué)生以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生活打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

五、 “由形到數(shù)”的推廣

如果僅僅使用圖形來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題是快樂(lè)的，但也是煩瑣的。例如：畫(huà)線法計(jì)算乘法結(jié)果，需要耗費(fèi)很多時(shí)間畫(huà)線與清點(diǎn)交叉點(diǎn)。圖形法解奇數(shù)數(shù)列求和問(wèn)題需要畫(huà)足夠多的圓圈來(lái)求解得到結(jié)果。同時(shí)隨著問(wèn)題中的人數(shù)、物體的數(shù)目等信息量逐漸增多，通過(guò)具體的圖形來(lái)解決問(wèn)題也變得越來(lái)越復(fù)雜，顯得浪費(fèi)時(shí)間，并不符合解決數(shù)學(xué)題目的實(shí)際需求。這時(shí)候教師就需要將教學(xué)的精力集中于“由形到數(shù)”的轉(zhuǎn)換。那么如何完成“由形到數(shù)”的推廣呢？

首先，讓學(xué)生明確圖形方法的局限，知形不足。要讓學(xué)生明白總是依賴圖形解決問(wèn)題并不適用于所有情況，了解使用數(shù)學(xué)中的公式、定理解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的必要性?！耙孕问緮?shù)”一般來(lái)說(shuō)有幾個(gè)不足：一是解題需要繪制大量圖形，浪費(fèi)了大量的時(shí)間、精力;二是解題的正確性也依賴于學(xué)生的繪圖能力，如果繪圖過(guò)程中出現(xiàn)偏差，很可能得不到正確的答案;三是即使畫(huà)出正確的圖形，計(jì)數(shù)的過(guò)程也是煩瑣的。如畫(huà)線法計(jì)算乘法結(jié)果，如果交點(diǎn)過(guò)多，學(xué)生在計(jì)算的過(guò)程中很容易產(chǎn)生混亂。這些不足也反映出“由形到數(shù)”的必要性。但對(duì)于孩子們來(lái)說(shuō)，可能它們很難理解其中的不足，因此在教學(xué)中首先要強(qiáng)調(diào)繪圖法的局限性，通過(guò)實(shí)例讓學(xué)生切身體會(huì)到繪圖法的缺陷，從而激發(fā)學(xué)生進(jìn)行“由形到數(shù)”學(xué)習(xí)過(guò)程的心理。例如《植樹(shù)問(wèn)題》這一課時(shí)，若要在全長(zhǎng)為100米的小路邊植樹(shù)，通過(guò)畫(huà)部分線段圖的方法，讓學(xué)生明白此方法會(huì)十分浪費(fèi)時(shí)間，操作起來(lái)過(guò)于煩瑣。借此引出“復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，探索規(guī)律”的解決問(wèn)題的方法，推動(dòng)學(xué)生“由形到數(shù)”。

其次，引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察具體的圖形，由形悟數(shù)。小學(xué)生的思維正處于從具體形象思維向抽象邏輯思維過(guò)渡的階段，直觀的“形”對(duì)于他們而言是充滿樂(lè)趣的而且是可以理解的。通過(guò)認(rèn)真觀察具體的圖形，他們可以慢慢從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律、總結(jié)規(guī)律，從而完成“由形到數(shù)”的推廣。例如在《集合問(wèn)題》中，通過(guò)觀察韋恩圖，學(xué)生能夠明白“重復(fù)”的意思，摸索出在解決此類問(wèn)題的時(shí)候需要將重復(fù)的數(shù)量排除的數(shù)學(xué)規(guī)律。在《植樹(shù)問(wèn)題》中，通過(guò)觀察線段圖，學(xué)生能夠明白在不同的情況下都需要先計(jì)算出間隔數(shù)，然后在此基礎(chǔ)上根據(jù)實(shí)際的情況進(jìn)行加減1，進(jìn)而得到所需要的樹(shù)苗數(shù)。除此之外，復(fù)雜的行程問(wèn)題、雞兔同籠問(wèn)題等都可以通過(guò)觀察具體的“形”，悟出“數(shù)”的規(guī)律。

六、 總結(jié)

綜上，數(shù)形結(jié)合思想作為一種重要的思想方法將貫穿于整個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中。巧妙地將“數(shù)”與“形”結(jié)合起來(lái)，通過(guò)“由形示數(shù)”和“由形到數(shù)”兩個(gè)環(huán)節(jié)，讓直觀的圖形與奧妙的數(shù)學(xué)和諧相融，幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)的概念，理解相關(guān)的理論，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維，使得學(xué)生能夠更加高效、順利地進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，奠定持續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

[1]教育部.全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2001.

[2]教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[3]汪渭芳.“數(shù)形結(jié)合”天地寬——數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透與應(yīng)用[J].小學(xué)教學(xué)參考，2010（17）：30-31.

[4]鄒貴德.淺議小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中“數(shù)形結(jié)合”思想的運(yùn)用[J].讀與寫(xiě)（教育教學(xué)刊），2015，12（12）：74.

作者簡(jiǎn)介：

鄭廣成，福建省廈門市，福建福州教育學(xué)院附屬第三小學(xué)。