吳桂星

【摘要】數(shù)學思維是分析與解決數(shù)學問題的重要思維品質，其內(nèi)涵豐富且形式靈活.幾種常見的數(shù)學思維培養(yǎng)途徑為：提供聯(lián)想訓練，促進學生的聯(lián)想思維；引導類化分析，啟迪學生的類化思維；滲透數(shù)形方法，發(fā)展學生的數(shù)形思維；引導概括描述，培養(yǎng)學生的抽象思維.

【關鍵詞】數(shù)學思維；聯(lián)想思維；類化思維；數(shù)形思維；抽象思維

數(shù)學思維，指人們依據(jù)數(shù)學思想或數(shù)學方法去認知數(shù)學事物或解決數(shù)學問題的心理活動.如對于“2，4，6，…”等偶數(shù)的認知，如果能抓住“能被2整除”這個特征，那么人們的思維活動就是由形式到本質的抽象過程，如果又能用“2n”來表示偶數(shù)的通用形式，那么就體現(xiàn)了人們由特殊到一般的概括過程.再如，對于分數(shù)的除法，如果轉化為分數(shù)的乘法來進行運算，那么就體現(xiàn)了人們解決問題中的逆向思維.數(shù)學思維是分析與解決數(shù)學問題的重要思維品質，其內(nèi)涵豐富且形式靈活，難以勝數(shù).本文就幾種常見的數(shù)學思維，從小學數(shù)學教學的角度，談談其培養(yǎng)途徑或方法.

一、提供聯(lián)想訓練，促進學生的聯(lián)想思維

教學中要促進學生的聯(lián)想思維，關鍵在于教師提供讓學生開展豐富聯(lián)想的教學平臺.如，“比”課題，教材是以國旗的長寬特征和“神舟五號”的軌道長度和運行周期這兩個問題來引導學生建立“比”的概念.當然，這種教學簡明扼要，有助于學生對“比”這種數(shù)學問題的認識，但對于促進學生充分感知“比是反映生活事物在數(shù)量比值方面具有某種特征”的內(nèi)涵，還是有所不足.為此，教師就可以提出如下問題來引導學生聯(lián)想：“在你所觀察到的事物中，你發(fā)現(xiàn)哪些事物在數(shù)量比值方面有著特定的關系？”如果學生能說出“人越高腿越長”“田畝越大秧苗越多”“樓層越多房子就越高”等生活事物，那么他對“比”的內(nèi)涵就有著一定的深刻性：“比”是反映生活事物在數(shù)量方面遵循著某種規(guī)律.對于不遵循某種規(guī)律的事物，就不能用“比”的形式來描述.

聯(lián)想是一種最基本但又是最重要的思維形式，其思維活躍度和深刻度，不僅影響著人們對事物的認知，更影響著人們的創(chuàng)造或發(fā)明.

二、引導類化分析，啟迪學生的類化思維

類化思維，指分析或概括當前問題與原有知識的共同本質特征，將所要解決的問題納入原有的同類知識結構中去，對問題加以解決的思維活動.如探究任意三角形面積計算問題，它可以用兩個相同的三角形拼接為一個平行四邊形，然后依據(jù)平行四邊形的面積公式來推出三角形面積公式.也可以把一個任意三角形分割后拼接為一個長方形，然后依據(jù)長方形的面積公式來推出三角形面積.可見，類化思維活動的重要環(huán)節(jié)在于把新問題或新情境轉化為已知問題或已知情境來處理的思維過程.類化思維，從其實質來說，它是一種化繁為簡或化難為易的思維方法，至于具體如何轉化，又取決于人們的類化思想和類化智慧，而這種類化思想和類化智慧，既依賴于人們的知識與文化底蘊，更取決于人們的思維活力，而引導類化分析則是誘發(fā)學生思維活力進而形成類化思維的有效途徑.

引導類化分析，指教師在教學中引導學生如何將新問題轉化為已知的問題來分析的教學活動.在探究“圓的面積”活動中，學生在“圓的周長”課題學習中已經(jīng)知道可以用實驗的方法來研究周長于半徑的關系，教師只要提示“圓的周長公式是怎樣得到的”，學生自然會想到實驗方法.當然，圓的周長可以直接測定，而圓的面積則不能直接測定，實驗的思路必須要將圓的面積轉化為已知圖形的面積，從而間接測定圓的面積.誠然，這是實驗設計的難點，類化思維的目的就是要化難為易.如果學生能想到把同一批綠豆先后鋪放在圓形紙中和方格紙中，然后由計算方格紙面積來確定圓的面積，那么這何以不是創(chuàng)造性的學習！其中由方格紙面積替代圓面積就是一種類化思想，而選擇綠豆緊密且不重疊的鋪放則是一種類化智慧.再如，在圓面積公式論證中，教師如果提出“能否把圓形分割成與三角形相似的圖形”“兩者的差異在哪里”“分割的三角形越小兩者的差異會發(fā)生怎樣的變化”等問題，那么就可能促使學生形成“把圓形轉化為無數(shù)個小三角形，并通過求算這無數(shù)個小三角形面積之和來得到圓面積公式”的類化思維.

類化思維是探究并解決新問題的一種重要的思維方法，它不僅涉及學生當前的課程學習，而且影響著學生的再學習乃至未來的社會實踐.

三、滲透數(shù)形方法，發(fā)展學生的數(shù)形思維

數(shù)量和圖形是數(shù)學中兩個最基本的問題，圖形中蘊含著數(shù)量，而數(shù)量又可以表征為一定的圖形.所謂數(shù)形方法，指用數(shù)量和圖形結合的方式來描述或分析數(shù)學問題的方法.數(shù)形思維，指結合數(shù)量和圖形來認識或解決數(shù)學問題的思維活動.數(shù)學思維主要體現(xiàn)在兩方面：一是“以數(shù)解形”，即對幾何圖形問題用代數(shù)方法來處理，以達到解決問題的定量化或精準性；二是“以形助數(shù)”，指把代數(shù)問題用某種圖形來進行直觀性地描繪，以促進人們的理解.

教學中滲透數(shù)形方法，就是指引導學生用數(shù)形方法來認識或解決問題，或“以數(shù)解形”，或“以形助數(shù)”.如探究“三角形面積”計算，教學中就可以在方格紙中畫一個頂點都在方格紙交點的一個三角形，引導學生觀察與比較，同時啟發(fā)學生通過累積方格子個數(shù)的辦法來確定三角形的面積.在此基礎上提出如下問題以引導學生開展探究性學習：① 若三角形高度不變，底邊增大，三角形面積如何變化？② 若三角形底邊不變，高度增大，三角形面積又如，何變化？③ 用底邊與高圍成的長方形，其中包含的方格子個數(shù)有多少？④ 三角形所占方格子個數(shù)與長方形所占的方格子個數(shù)具有怎樣的數(shù)量關系？⑤ 你有什么發(fā)現(xiàn)？三角形的面積大小由什么因素決定？通過上面的探究性學習活動，學生就可能歸納出計算三角形的面積公式.

四、引導概括描述，培養(yǎng)學生的抽象思維

抽象思維，指人們在認識活動中，運用概念、判斷、推理等思維形式，對客觀事物進行間接的、概括的反映過程.形象思維是對一個個具體事物進行直觀性的描繪，而抽象思維則是追究不同形式事物的本質屬性或共同特征.形象思維是抽象思維的基礎，抽象思維則是形象思維的發(fā)展，離開了形象思維，抽象思維就失去了它的根基.因此，要培養(yǎng)學生的抽象思維，首先在教學中要提供具體豐富的問題素材讓學生感知，從而建立一個個具體鮮明的事物表象.其次是引導學生對一個個具體事物進行分析與比較，或歸納其本質屬性，或概括其共同特征.其三是要求學生運用概念或學科語言來描述事物的本質屬性或共同特征，從而上升到理性認識.第一個認知環(huán)節(jié)屬于形象思維過程，后兩個環(huán)節(jié)的認知則屬于抽象思維過程.

如，“圓的認識”課題，教學中首先可以通過多媒體提供諸如太陽、足球、盤子、車輪等一個個具有圓形特點物體讓學生觀察或審視，接著可以讓學生嘗試用圓規(guī)畫出一個個大小不同的圓，然后再引導學生分析并比較圓周上任意一點到圓心的距離，最后要求學生用自己的語言來描述圓的概念.其中對圓形物體的觀察和畫圓活動都是促進學生的形象思維以建立圓的表象，而分析比較圓心到圓周的距離以及描述圓的概念就屬于抽象思維.然而在實際的教學中，多數(shù)教師僅重視觀察、畫圓、比較半徑的教學，而對于圓概念的描述則往往不做要求.誠然，由于小學生對概念理解能力的欠缺，教材沒有給出圓的概念，但作為培養(yǎng)小學生由形象思維過渡到抽象思維的發(fā)展角度而言，可謂是一種教學失誤.對于圓概念的描述，雖然小學生難以做到邏輯嚴密，內(nèi)涵正確，語言精練，但他們還是能說出大致的內(nèi)涵，而且在用自己的語言描述圓概念的過程中，學生自然會考究圓的性質或特征，其中的考究過程就是抽象思維過程.如果不讓學生去說，則失去了訓練學生抽象思維的機會.為什么絕大多數(shù)學生甚至包括高中生，都不能用自己的語言來準確地描述數(shù)學概念，其根本原因就是缺乏應有的抽象思維訓練.

數(shù)學思維是一種復雜的思維活動過程，聯(lián)想思維中可能包含著比較思維，比較思維中又可能孕育著類化思維，其中既可能體現(xiàn)為圖形或表象的形象思維形式，也可能體現(xiàn)為概括或歸納的抽象思維活動.本文分類闡述，僅是方便讀者理解.然而在實際的教學中，還是應以問題為主線，以問題促思維，讓學生的數(shù)學思維能力在一種自然的教學環(huán)境中得以發(fā)展.

【參考文獻】

[1]蔣志萍，汪文賢，著.數(shù)學思維方法[J].杭州：浙江大學出版社，2011.