晏小月
摘 要:離心率是描述圓錐曲線形狀特征的一個重要指標,其內涵豐富且綜合性強。橢圓的離心率是橢圓的一個重要幾何性質,它是反映橢圓形狀即圓扁程度的幾何量。橢圓離心率的求解與應用是各級訓練測試的熱點之一,學生應抓住題目關鍵,掌握相應方法,加深對橢圓幾何性質的理解與掌握,提高數學解題能力。
關鍵詞:橢圓離心率;數學教學;求解策略;三角函數;幾何方程
中圖分類號:G642 文獻標志碼:A 文章編號:1008-3561(2018)30-0072-02
一、前言
橢圓的離心率是描述橢圓“扁平”程度的一個重要的量,而求橢圓離心率的取值范圍問題在各級各類試題中屢見不鮮。橢圓離心率問題不僅涉及橢圓的定義、幾何性質、方程、向量、直線與橢圓的位置關系以及三角函數等多方面知識,綜合性很強,同時解題過程中還考查學生的思維能力、運算能力、知識的綜合運用能力和數學方法選擇能力等。橢圓的離心率e是反映橢圓的扁平程度的一個幾何量,當e越接近于1時,c越接近于a,b越接近于0,橢圓越扁;當e越接近于0時,c就越接近于0,b越接近于a,橢圓越圓;當e為0,即c=0時,橢圓就變?yōu)閳A(即e越小,橢圓越圓)。在橢圓離心率的求解問題中,經常考查橢圓的標準方程、橢圓的性質、直線與橢圓相交問題以及向量的運算等相關知識。本文根據解答橢圓離心率的幾種方法對求解策略進行歸納。
二、例題解答
例1,如圖,在平面直角坐標系x0y中,F1、F2分別是橢圓 + =1(a>b>0)的左右焦點,頂點B的坐標為(0,b),連結BF2并延長交橢圓于點A,過點A作x軸的垂線交橢圓于另一點C,連結F1C。1)若點C的坐標為﹙ , ),且BF2= ,求橢圓的方程;2)若F1C⊥AB,求橢圓離心率e的值。
解:∵已知B(0,b),F2(c,0)在直線AB上,∴能夠得出直線AB的方程為 + =1。然后將這個方程代入橢圓方程,得 x1= ,y1= ;x2=0,y2=b。∴得出點A的坐標為( , )。又AC⊥x軸,∴根據橢圓的對稱性可以得到點C的坐標為( , )?!嗟贸鲋本€F1C的斜率為 。∵已知直線AB的斜率是- ,而且F1C⊥AB,∴kF1 C·kAB=-1。已知公式b2= a2-c2,∴得到a2=5c2,∴e2= ,開根號得e= 。
本題解析:上述這種解法的思路自然,但是運算過程含有字母的二元二次方程組以及方程式的化簡,運算比較復雜,因此在計算的時候要仔細,以免造成誤差。
例2,如圖,已知F是橢圓C的一個焦點,B是短軸的一個端點,線段BF的延長線交C于點D,且 =2 ,求C的離心率。
解:可以假設F是橢圓的左焦點,B是短軸的上端點。以直線l為左準線,作:BB1⊥l于B1, DD1⊥l于D1,DM⊥BB1于M, 假設∠BFO=θ,∴可以得出BB1= ,DD1= ,由此可以推出BM= = ,∵BM=BD·cos∠MBF=3DF·cosθ=3DF· =3 ,∴能夠得到 =3DE·e,最后解得e= 。
本題解析:本題考查橢圓的焦點弦知識,這類問題可以根據圓錐曲線統一定義來解答。
例3,如圖,已知橢圓 + =1(a>b>0)的左右焦點分別為F1、F2,弦AB過左焦點,若△ABF2的內切圓周長為π,A、B兩點坐標為(x1,y1),(x2,y2),且|y1-y2 |= ,求橢圓的離心率。
解:已知△ABF2的內切圓周長為2πr=π, ∴可以求得圓的半徑r= , 把得到的數值代入公式S△ABF2= 4·a·r=a, 可以得出S△ABF2= |F1 F2 | |y1-y2 |=c|y1-y2 |,∴進一步計算得出a= ,即得e= = 。
本題解析:此題考查的是橢圓知識與圓的知識相結合的問題,在解題的過程中要同時運用橢圓和圓的相關公式進行解答。
例4,如圖,在橢圓 + =1(a>b>0)中,F為右焦點,四邊形OFAB為菱形,求橢圓的離心率e。
解:∵四邊形OFAB為菱形, ∴可以得到條件AB∥FO,AB⊥y軸,假設菱形邊長為c,連結AO,根據橢圓的對稱性可以得知,OA=OB=c,∴△AOF為正三角形,∴得出點A坐標為( , c)。把點A坐標代入橢圓方程,可以得到 + =4,把公式b2= a2-c2代入,得 + =4。進行化簡,可得4a2-8a2c2+c2=0,進一步計算,得e4-8e2+4=0?!鄀2=4-2 =( -1)2,即得e= -1。
本題解析:這道題結合菱形的相關知識可得到一些題干暗含的條件,從而結合橢圓的公式進行計算,相對簡便容易計算。
例5,如圖,已知F1、F2是橢圓的兩個焦點,P是橢圓上一點,∠F1PF2=60°,求橢圓離心率的范圍。
解:根據題意可得兩個等式, (PF1+PF2)2=4a2, PF12+PF22-2·PF1·PF2·cos60°=4c2。把兩個等式相減,整理可得,PF1·PF2= b2?!逷F1·PF2=≤( )2,∴ b2≤a2,即 (a2-c2)≤a2,最后解得e≥ 。
三、結語
離心率既是描述橢圓的一個重要幾何量,又是橢圓的定義、方程、幾何性質的一個交匯點。橢圓離心率知識的考查一般與三角函數、幾何方程、直線與橢圓的位置這些知識點緊密聯系,因此在解題過程中學生要發(fā)散思維,尋找不同的思路進行嘗試。這樣既能加深學生對橢圓幾何性質的理解與掌握,又能培養(yǎng)學生觀察問題、分析問題、解決問題的能力,使學生在學習橢圓離心率的同時提高數學素養(yǎng)。
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