晏小月

摘 要：離心率是描述圓錐曲線形狀特征的一個重要指標，其內涵豐富且綜合性強。橢圓的離心率是橢圓的一個重要幾何性質，它是反映橢圓形狀即圓扁程度的幾何量。橢圓離心率的求解與應用是各級訓練測試的熱點之一，學生應抓住題目關鍵，掌握相應方法，加深對橢圓幾何性質的理解與掌握，提高數學解題能力。

關鍵詞：橢圓離心率；數學教學；求解策略；三角函數；幾何方程

中圖分類號：G642 文獻標志碼：A 文章編號：1008-3561（2018）30-0072-02

一、前言

橢圓的離心率是描述橢圓“扁平”程度的一個重要的量，而求橢圓離心率的取值范圍問題在各級各類試題中屢見不鮮。橢圓離心率問題不僅涉及橢圓的定義、幾何性質、方程、向量、直線與橢圓的位置關系以及三角函數等多方面知識，綜合性很強，同時解題過程中還考查學生的思維能力、運算能力、知識的綜合運用能力和數學方法選擇能力等。橢圓的離心率e是反映橢圓的扁平程度的一個幾何量，當e越接近于1時，c越接近于a，b越接近于0，橢圓越扁；當e越接近于0時，c就越接近于0，b越接近于a，橢圓越圓；當e為0，即c=0時，橢圓就變?yōu)閳A（即e越小，橢圓越圓）。在橢圓離心率的求解問題中，經常考查橢圓的標準方程、橢圓的性質、直線與橢圓相交問題以及向量的運算等相關知識。本文根據解答橢圓離心率的幾種方法對求解策略進行歸納。

二、例題解答

例1，如圖，在平面直角坐標系x0y中，F1、F2分別是橢圓 + =1（a>b>0）的左右焦點，頂點B的坐標為（0，b），連結BF2并延長交橢圓于點A，過點A作x軸的垂線交橢圓于另一點C，連結F1C。1）若點C的坐標為﹙ ， ），且BF2= ，求橢圓的方程；2）若F1C⊥AB，求橢圓離心率e的值。

解：∵已知B（0，b），F2（c，0）在直線AB上，∴能夠得出直線AB的方程為 + =1。然后將這個方程代入橢圓方程，得 x1= ，y1= ；x2=0，y2=b。∴得出點A的坐標為（ ， ）。又AC⊥x軸，∴根據橢圓的對稱性可以得到點C的坐標為（ ， ）?！嗟贸鲋本€F1C的斜率為 。∵已知直線AB的斜率是- ，而且F1C⊥AB，∴kF1 C·kAB=-1。已知公式b2= a2-c2，∴得到a2=5c2，∴e2= ，開根號得e= 。

本題解析：上述這種解法的思路自然，但是運算過程含有字母的二元二次方程組以及方程式的化簡，運算比較復雜，因此在計算的時候要仔細，以免造成誤差。

例2，如圖，已知F是橢圓C的一個焦點，B是短軸的一個端點，線段BF的延長線交C于點D，且 =2 ，求C的離心率。

解：可以假設F是橢圓的左焦點，B是短軸的上端點。以直線l為左準線，作：BB1⊥l于B1， DD1⊥l于D1，DM⊥BB1于M， 假設∠BFO=θ，∴可以得出BB1= ，DD1= ，由此可以推出BM= = ，∵BM=BD·cos∠MBF=3DF·cosθ=3DF· =3 ，∴能夠得到 =3DE·e，最后解得e= 。

本題解析：本題考查橢圓的焦點弦知識，這類問題可以根據圓錐曲線統一定義來解答。

例3，如圖，已知橢圓 + =1（a>b>0）的左右焦點分別為F1、F2，弦AB過左焦點，若△ABF2的內切圓周長為π，A、B兩點坐標為（x1，y1），（x2，y2），且|y1-y2 |= ，求橢圓的離心率。

解：已知△ABF2的內切圓周長為2πr=π， ∴可以求得圓的半徑r= ， 把得到的數值代入公式S△ABF2= 4·a·r=a， 可以得出S△ABF2= |F1 F2 | |y1-y2 |=c|y1-y2 |，∴進一步計算得出a= ，即得e= = 。

本題解析：此題考查的是橢圓知識與圓的知識相結合的問題，在解題的過程中要同時運用橢圓和圓的相關公式進行解答。

例4，如圖，在橢圓 + =1（a>b>0）中，F為右焦點，四邊形OFAB為菱形，求橢圓的離心率e。

解：∵四邊形OFAB為菱形， ∴可以得到條件AB∥FO，AB⊥y軸，假設菱形邊長為c，連結AO，根據橢圓的對稱性可以得知，OA=OB=c，∴△AOF為正三角形，∴得出點A坐標為（ ， c）。把點A坐標代入橢圓方程，可以得到 + =4，把公式b2= a2-c2代入，得 + =4。進行化簡，可得4a2-8a2c2+c2=0，進一步計算，得e4-8e2+4=0?！鄀2=4-2 =（ -1）2，即得e= -1。

本題解析：這道題結合菱形的相關知識可得到一些題干暗含的條件，從而結合橢圓的公式進行計算，相對簡便容易計算。

例5，如圖，已知F1、F2是橢圓的兩個焦點，P是橢圓上一點，∠F1PF2=60°，求橢圓離心率的范圍。

解：根據題意可得兩個等式， （PF1+PF2）2=4a2， PF12+PF22-2·PF1·PF2·cos60°=4c2。把兩個等式相減，整理可得，PF1·PF2= b2?！逷F1·PF2=≤（ ）2，∴ b2≤a2，即 （a2-c2）≤a2，最后解得e≥ 。

三、結語

離心率既是描述橢圓的一個重要幾何量，又是橢圓的定義、方程、幾何性質的一個交匯點。橢圓離心率知識的考查一般與三角函數、幾何方程、直線與橢圓的位置這些知識點緊密聯系，因此在解題過程中學生要發(fā)散思維，尋找不同的思路進行嘗試。這樣既能加深學生對橢圓幾何性質的理解與掌握，又能培養(yǎng)學生觀察問題、分析問題、解決問題的能力，使學生在學習橢圓離心率的同時提高數學素養(yǎng)。

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