高航

摘要：本文簡(jiǎn)要論述了如何更加靈活、有效地進(jìn)行數(shù)學(xué)概念教學(xué)，如有不足之處，還望各位同仁批評(píng)指正。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；概念教學(xué)；教師；學(xué)生

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2018）06-0060

在前幾天的名優(yōu)教師帶徒活動(dòng)中，筆者聽了一節(jié)非常精彩的課——《任意角》，授課教師對(duì)于任意角概念的講解，給了筆者很大啟發(fā)。首先，教師以生活中的實(shí)例引入：1. 若我們的鐘表快了2個(gè)小時(shí)，我們?cè)撊绾涡?zhǔn)？2. 若我們的鐘表慢了1個(gè)半小時(shí)，我們?nèi)绾涡?zhǔn)？

學(xué)生：快2個(gè)小時(shí)，按照逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)兩圈，慢1個(gè)半小時(shí)，按照順時(shí)針方向轉(zhuǎn)一圈半。

老師：那它們轉(zhuǎn)了多少度呢？

學(xué)生：……

老師：我們發(fā)現(xiàn)我們以前所學(xué)的角不夠用了，我們有必要引進(jìn)新的角的概念——任意角，從引例中我們也發(fā)現(xiàn)角是具有方向性的，那如何規(guī)定呢？……

筆者認(rèn)為該教師對(duì)于任意角的概念處理很好，設(shè)置生活情境體現(xiàn)引入任意角的必要性，當(dāng)新知與學(xué)生的認(rèn)知發(fā)生沖突時(shí)，學(xué)生就會(huì)積極地學(xué)習(xí)并深入理解，使學(xué)生知其然并知其所以然。

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)教學(xué)的第一環(huán)節(jié)，是學(xué)生學(xué)習(xí)和探究的基礎(chǔ)，學(xué)生是否興趣盎然，是否印象深刻，是概念教學(xué)成功的關(guān)鍵。因此，如何設(shè)計(jì)概念教學(xué)，如何引導(dǎo)學(xué)生探究和學(xué)習(xí)，如何提升學(xué)生對(duì)概念教學(xué)的認(rèn)識(shí)，是每一個(gè)教師迫切需要解決的問題。任何數(shù)學(xué)概念都有它產(chǎn)生的背景，考察它的來龍去脈，我們能夠發(fā)現(xiàn)它是合情合理的。而要讓學(xué)生理解概念，首先要了解它產(chǎn)生的背景，通過大量實(shí)例分析概念的本質(zhì)屬性，讓學(xué)生概括概念，完善概念，進(jìn)一步鞏固和運(yùn)用概念，才能使學(xué)生初步掌握概念。

一、動(dòng)手實(shí)驗(yàn)——經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的探索過程

在數(shù)學(xué)教學(xué)中最難也最重要的是數(shù)學(xué)概念課的教學(xué)。數(shù)學(xué)概念課較為抽象，使人費(fèi)解，教師經(jīng)常包辦到家，口若懸河，津津樂道，常使學(xué)生感到索然無味，對(duì)數(shù)學(xué)課提不起興趣，致使不少學(xué)生概念模糊，從而影響對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的后續(xù)學(xué)習(xí)。在新課程理念下，要以學(xué)生為主體，要調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，可以讓學(xué)生真正動(dòng)起來。例如在橢圓概念教學(xué)中，可要求學(xué)生事先準(zhǔn)備兩個(gè)小圖釘和一條長(zhǎng)度為定長(zhǎng)細(xì)線，將細(xì)線兩端分別固定在圖板上不同兩點(diǎn)和，用鉛筆把細(xì)線拉緊，使筆尖在紙上慢慢移動(dòng)，所得圖形。提問思考討論：1. 橢圓上的點(diǎn)有何特征？2. 當(dāng)細(xì)線長(zhǎng)等于兩定點(diǎn)之間距離時(shí)，其軌跡是什么？3. 當(dāng)細(xì)線長(zhǎng)小于兩定點(diǎn)之間距離時(shí)，其軌跡是什么？4. 請(qǐng)同學(xué)總結(jié)，完善橢圓定義。

這樣經(jīng)歷了橢圓概念的探索過程，學(xué)生對(duì)于橢圓概念理解更加深刻。又如在講解線面平行判定定理第一節(jié)課時(shí)，筆者讓學(xué)生每個(gè)人準(zhǔn)備一個(gè)直角梯形的白板，將桌面看成平面，當(dāng)白板采取不同的放置方式時(shí)分組討論最上面的邊與桌面是否平行？并說明理由，在學(xué)生動(dòng)手實(shí)驗(yàn)和分組討論的過程中，學(xué)生就會(huì)歸納出線面平行的判定定理，并且發(fā)現(xiàn)線面平行的三個(gè)條件是缺一不可的，并且在之后的證明的訓(xùn)練中學(xué)生很少出錯(cuò)。所以，對(duì)于數(shù)學(xué)概念課能讓學(xué)生親自經(jīng)歷探索過程，不僅可以提高學(xué)生的積極性，還可以提高課堂效率。

二、例舉實(shí)例——積累認(rèn)知概念的經(jīng)驗(yàn)

波利亞說過：“對(duì)數(shù)學(xué)特征的直觀表征，往往能根植進(jìn)學(xué)生的心靈”。事實(shí)上，數(shù)學(xué)來源于生活，生活中的道理和數(shù)學(xué)中的道理是相通的。例如上面葛老師通過調(diào)整時(shí)鐘，讓學(xué)生去認(rèn)識(shí)任意角以及任意角的方向就非常好，這樣會(huì)提高學(xué)生理解概念，運(yùn)用概念的能力。例如：可用地面上直立的旗桿引入直線與平面垂直的定義；再如指數(shù)函數(shù)的引入，教師可以讓學(xué)生做一個(gè)折紙游戲：將一張厚度為0.1毫米的報(bào)紙進(jìn)行對(duì)折1，2，3，……，30次，你知道會(huì)有多高嗎？若對(duì)折x次，得到高度為y，y與x有怎樣的關(guān)系？學(xué)生很感興趣，動(dòng)手去折，折到7-8次，就折不動(dòng)了。用計(jì)算器算一算，對(duì)折30次，得到約為1087千米。并且得到y(tǒng)=2x（x>0）這個(gè)函數(shù)。這樣引入，既讓學(xué)生體會(huì)到生活中的指數(shù)函數(shù)，而且還感受到了指數(shù)函數(shù)的增加速度，體會(huì)指數(shù)爆炸。

之前在“異面直線”的概念教學(xué)時(shí)，筆者是這樣處理的：用兩根筆當(dāng)做兩條直線，讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)兩條直線的位置關(guān)系，平行，相交，既不平行又不相交然后給出定義，學(xué)生是很容易理解的。但在做題目過程中學(xué)生還會(huì)出錯(cuò)，原因筆者認(rèn)為是對(duì)于異面直線的概念的背景還不是很明確，所以，后來在講這節(jié)課的時(shí)候筆者會(huì)聯(lián)系現(xiàn)實(shí)原型——長(zhǎng)方體模型，讓學(xué)生找出長(zhǎng)方體模型中各個(gè)棱的關(guān)系，這樣學(xué)生對(duì)于既不平行又不相交的概念理解更加深刻，這也剛好符合《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中所描述的立體幾何是以長(zhǎng)方體為載體，研究點(diǎn)線面位置關(guān)系的觀點(diǎn)。所以在概念教學(xué)中多動(dòng)腦筋，這樣我們的課堂就不再枯燥無味，而是高效靈動(dòng)的課堂。

三、以舊引新——理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)

學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，是由易到難、逐步延伸和提高的過程，前面的知識(shí)是后續(xù)知識(shí)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。正因如此，奧蘇伯爾曾經(jīng)說過：“影響學(xué)習(xí)的唯一最重要的因素，就是學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道了什么，要探明這一點(diǎn)，并應(yīng)據(jù)此進(jìn)行教學(xué)。”所以新概念的學(xué)習(xí)是對(duì)已有概念的繼承，發(fā)展和完善。例如，函數(shù)的概念，初中是用變量之間的對(duì)應(yīng)來描述的，高中函數(shù)的概念是在初中的基礎(chǔ)上進(jìn)行了拓展和提高，是用集合與對(duì)應(yīng)的語言來描述的，是初中函數(shù)概念的進(jìn)一步深化。在已有的認(rèn)知基礎(chǔ)上學(xué)生會(huì)很容易理解函數(shù)的本質(zhì)。

近幾年浙江省數(shù)學(xué)高考很注重對(duì)數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的考查，例如：（2015年浙江省高考數(shù)學(xué)理）7. 存在函數(shù)f（x）滿足，對(duì)任意x∈R都有（ ）

A. f（sin2x）=sinx B. f（sin2x）=x2+x

C. f（x2+1）=x+1 D. f（x2+2x）=x+1

我們只有真正讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，學(xué)生在解決這類題型才能游刃有余。而有些教師對(duì)概念及其相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系，概念的文化價(jià)值等沒有很好地把握，概念教學(xué)只是走過場(chǎng)，沒有給學(xué)生提供充分的認(rèn)識(shí)概念本質(zhì)的機(jī)會(huì)，嚴(yán)重影響學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的掌握和應(yīng)用。前幾天聽過一個(gè)專家講座《做題無數(shù)，把根留住》很不錯(cuò)，所謂的根，實(shí)際上就是概念的本質(zhì)，比如在講平面向量時(shí)，對(duì)于數(shù)量積的講解教師很容易輕背景本質(zhì)的講解，重在對(duì)概念的應(yīng)用。對(duì)于一些簡(jiǎn)單的題目學(xué)生不會(huì)出現(xiàn)什么問題，但題目一旦加大難度學(xué)生就無從下手了。從近幾年的平面向量的高考命題中，經(jīng)常會(huì)看到極化恒等式的影子：，雖然教材中沒有直接給出，但教師把這個(gè)公式的本質(zhì)讓學(xué)生理解了，很多題目就可以秒殺。很多人說高中數(shù)學(xué)教學(xué)提高成績(jī)就是要學(xué)生多做題目，實(shí)際上完全可以教師游題海，學(xué)生泛輕舟，教師把最根源最本質(zhì)的東西挖掘出來學(xué)生就會(huì)輕松很多。

四、整理概念——培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力

對(duì)于一些比較簡(jiǎn)單的概念性的課，如：《命題》《四種命題及其關(guān)系》等，教師完全可以放手讓學(xué)生去閱讀，教師設(shè)置相關(guān)的問題，然后由學(xué)生理解后脫離課本回答，教師再設(shè)置相關(guān)的習(xí)題進(jìn)行鞏固即可。現(xiàn)在很多學(xué)校都提倡“三自主”：自主學(xué)習(xí)，自主探究，自主整理，所以在講完圓錐曲線之后，筆者讓學(xué)生自己去整理，分析比較橢圓與雙曲線的異同點(diǎn)，通過學(xué)生的自主整理，在做相關(guān)題目的時(shí)候很少出錯(cuò)，并達(dá)到了預(yù)期效果。對(duì)于學(xué)生這種自主學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)，可以讓學(xué)生受益終身。

綜上而言，數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)解題教學(xué)一樣，是培養(yǎng)學(xué)生探究意識(shí)和探究能力的重要途徑，數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)研究的起點(diǎn)。概念教學(xué)又不等同于概念課的教學(xué)。一個(gè)概念的學(xué)習(xí)，不僅僅是一節(jié)概念課就能完成的。對(duì)概念的理解與掌握是一個(gè)循序漸進(jìn)的過程，需要在概念課的后繼課程中不斷地反復(fù)應(yīng)用，不斷地加深理解。我們教師要有這個(gè)意識(shí)。所以，我們教師要走出輕視概念教學(xué)的誤區(qū)，精心設(shè)計(jì)，大膽嘗試，和學(xué)生一起參與到概念的形成過程中，這樣我們的課堂才是生動(dòng)的、高效的。

（作者單位：浙江省寧波濱海學(xué)校 315700）