張錫義

【摘 要】算法、算理構(gòu)成了運(yùn)算能力的左、右兩翼，小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)中，正確理解運(yùn)算能力的內(nèi)涵是前提，著力突出法理并重的意識(shí)是基礎(chǔ)，達(dá)標(biāo)檢測體現(xiàn)素養(yǎng)的功能是保障。

【關(guān)鍵詞】運(yùn)算能力；算理；算法；抽象；支撐

【教材簡介】

蘇教版教材“分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算”這部分內(nèi)容，主要教學(xué)分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算的運(yùn)算順序及應(yīng)用運(yùn)算定律，進(jìn)行一些簡便計(jì)算，教材安排了一道例題和一項(xiàng)練習(xí)（見圖1）。

例題以做中國結(jié)為素材，讓學(xué)生用不同的方法去解決實(shí)際問題，然后讓學(xué)生自主利用解決實(shí)際問題的已有經(jīng)驗(yàn)和對(duì)整數(shù)四則混合運(yùn)算順序的理解完成計(jì)算，自覺把整數(shù)四則混合運(yùn)算的運(yùn)算順序推廣到分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算中，由此得出：分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算的運(yùn)算順序與整數(shù)相同。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生通過對(duì)兩種解法的比較，使學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到：整數(shù)的運(yùn)算律對(duì)于分?jǐn)?shù)同樣適用。

【教學(xué)點(diǎn)擊】

對(duì)于“分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算”的教學(xué)，絕大多數(shù)教師的案例思路無外乎以下兩種。

案例一：先復(fù)習(xí)分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算及整數(shù)、小數(shù)的四則混合運(yùn)算；然后，教師指出：其實(shí)分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算的運(yùn)算順序與整數(shù)相同；接著出示例1，學(xué)生獨(dú)立解答，并進(jìn)行相應(yīng)練習(xí)；教師再次指出：整數(shù)的運(yùn)算律對(duì)于分?jǐn)?shù)同樣適用；最后，學(xué)生進(jìn)行簡便運(yùn)算練習(xí)，結(jié)束全課。

案例二：先復(fù)習(xí)分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算及整數(shù)、小數(shù)的四則混合運(yùn)算；接著出示教材例1，學(xué)生列式解答后，教師總結(jié)：分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算的運(yùn)算順序與整數(shù)相同；然后教師帶領(lǐng)學(xué)生比較兩種解法，教師總結(jié)：整數(shù)的運(yùn)算律對(duì)于分?jǐn)?shù)同樣適用；最后，學(xué)生練習(xí)，結(jié)束全課。

課后細(xì)想，這節(jié)課大多教師的教學(xué)過程都可概括為：“一遷移”——分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算的運(yùn)算順序與整數(shù)相同，整數(shù)的運(yùn)算律對(duì)于分?jǐn)?shù)同樣適用；“二練習(xí)”——分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算的脫式計(jì)算與簡便計(jì)算。但是為什么可以將整數(shù)、小數(shù)四則混合運(yùn)算的運(yùn)算順序遷移到分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算？為什么整數(shù)的運(yùn)算律對(duì)于分?jǐn)?shù)同樣適用？此處明顯缺乏算理支撐的教學(xué)力度，學(xué)生對(duì)算法遷移的可行性體驗(yàn)不深，對(duì)分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算的算法抽象，過多關(guān)注了整數(shù)、小數(shù)四則混合運(yùn)算的算法遷移，嚴(yán)重忽視了算法背后的算理支撐。

【案例透視】

一、探討：為什么教學(xué)設(shè)計(jì)忽視算理支撐

案例一中，先復(fù)習(xí)舊知，接著教師指出：其實(shí)分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算的運(yùn)算順序與整數(shù)相同。這個(gè)結(jié)論的依據(jù)在哪里？支持這種抽象算法的算理支撐點(diǎn)在哪里？這種設(shè)計(jì)的問題在于：其一，這是典型的“斬頭去尾燒中段”式的傳統(tǒng)計(jì)算教學(xué)，教師只管傳授計(jì)算法則，學(xué)生并不知道知識(shí)的來龍去脈，只要大規(guī)模練習(xí)提高計(jì)算的正確率。其二，教師先直接指出分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算的計(jì)算法則，再教學(xué)例1及相關(guān)練習(xí)，有一種預(yù)先知道結(jié)論然后教師告知的感覺，傳達(dá)的只是現(xiàn)成知識(shí)，至于為什么是這樣的運(yùn)算順序，學(xué)生全然不知，這樣的設(shè)計(jì)教學(xué)，似乎學(xué)生只要知其然，而不需要知其所以然。

案例二中，雖然教師直接告訴的成分有所減少，但分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算的順序得出與整數(shù)的運(yùn)算律對(duì)于分?jǐn)?shù)同樣適用的抽象，只是對(duì)運(yùn)算順序和運(yùn)算律的淺層次遷移，算理的支撐點(diǎn)沒有穩(wěn)固的錨樁，學(xué)生缺少遷移根基的體驗(yàn)，知識(shí)習(xí)得猶如水面浮萍，缺少落地生根。

二、深究：為什么計(jì)算教學(xué)不能法理并重

1. 教師對(duì)運(yùn)算能力的理解偏差

運(yùn)算能力在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《課標(biāo)》）中作為核心概念再次提及，已經(jīng)引起了廣大教師的高度重視，但是重提并不是回到從前，不應(yīng)該被理解為“重新恢復(fù)那些復(fù)雜煩瑣的計(jì)算，追求高速度、高效率的計(jì)算”（劉堅(jiān)語），弄清算理，掌握算法，是運(yùn)算教學(xué)的兩個(gè)重要組成部分，因此當(dāng)前的計(jì)算教學(xué)應(yīng)當(dāng)“法理并重”。

以上兩個(gè)案例的共同關(guān)注點(diǎn)是計(jì)算法則的直接出示，其共同的著力點(diǎn)是分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算的鞏固練習(xí)，其共同的缺點(diǎn)是淡化了計(jì)算法則的得出依據(jù)。如此教學(xué)的結(jié)果是學(xué)生只知道分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算的運(yùn)算順序、運(yùn)算律與整數(shù)相同，而為什么相同學(xué)生卻缺乏思考。

2. 缺少對(duì)算理知識(shí)的挖掘意識(shí)

張?zhí)煨⒗蠋熣f：“算理是運(yùn)算的根本，算法是算理在具體問題中的應(yīng)用和表現(xiàn)，掌握了算理就能更好地落實(shí)算法，有可能讓學(xué)生用算理去駕馭多變的算法，自主發(fā)現(xiàn)和發(fā)明算法。”由此可見，缺少對(duì)算理知識(shí)的挖掘意識(shí)，學(xué)生即使知道了不明算理的算法，也只能是機(jī)械執(zhí)行算法的低水平計(jì)算練習(xí)，更談不上用算理去駕馭多變的算法，也就不可能達(dá)成《課標(biāo)》中運(yùn)算能力的目標(biāo)。

研讀本課教材不難發(fā)現(xiàn)，教材表達(dá)算理支撐的意思相當(dāng)清楚——在解決實(shí)際情境問題的基礎(chǔ)上理解算理，然后遷移抽象出運(yùn)算順序和運(yùn)算律。反觀案例教學(xué)，其一，案例一中先復(fù)習(xí)舊知，教師指出分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算的運(yùn)算順序與整數(shù)相同，接著教學(xué)例1并進(jìn)行相關(guān)練習(xí)。潛在的前提是學(xué)生已經(jīng)知道了分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算的順序，犯了一個(gè)條件問題倒置的邏輯錯(cuò)誤。這個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)嚴(yán)重缺失對(duì)算理知識(shí)的挖掘意識(shí)，嚴(yán)重偏離了計(jì)算教學(xué)法理并重的教學(xué)原則。其二，先解決含有分?jǐn)?shù)的實(shí)際問題，后表述運(yùn)算順序和運(yùn)算律，這種先后的邏輯順序就清楚地表明分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算的順序?qū)W(xué)生是未知的。教學(xué)中要通過實(shí)際問題的解決，讓學(xué)生真實(shí)地體驗(yàn)、感悟到實(shí)際生活中這個(gè)綜合問題的解決，可以有兩種方法：一是先算做18個(gè)大小不同的中國結(jié)各用彩繩多少米，后算一共要彩繩多少米；二是先算兩種中國結(jié)各做1個(gè)共用彩繩多少米，再算一共要彩繩多少米。這兩種實(shí)際問題解決的思路，學(xué)生很容易理解，這里解決問題的邏輯順序相當(dāng)清楚，這就是導(dǎo)出分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算的順序的算理支撐，這個(gè)運(yùn)算順序就是實(shí)際問題解決的先后順序，這個(gè)運(yùn)算順序不是整數(shù)、小數(shù)四則混合運(yùn)算順序的簡單遷移，更不是教師不管來由的直接給出。

3. 檢測對(duì)運(yùn)算能力的不夠到位

四則混合運(yùn)算是小學(xué)數(shù)學(xué)檢測的必備題，而長期以來，在小學(xué)數(shù)學(xué)的檢測試卷中清一色的都是“用遞等式計(jì)算，能夠簡便計(jì)算的要簡算”等題型，學(xué)生只需記牢運(yùn)算順序、計(jì)算法則，認(rèn)真細(xì)心的計(jì)算，就能贏得計(jì)算題的高分，這也就造成了教師對(duì)學(xué)生計(jì)算已經(jīng)過關(guān)的狹義認(rèn)識(shí)。其實(shí)《課標(biāo)》中運(yùn)算能力的內(nèi)涵遠(yuǎn)不止于此，會(huì)計(jì)算、能正確計(jì)算不是計(jì)算教學(xué)的全部，平時(shí)的計(jì)算教學(xué)，也不是教師簡單地給出計(jì)算法則，學(xué)生機(jī)械地計(jì)算練習(xí)鞏固，檢測呆板地呈現(xiàn)遞等式計(jì)算試題。

【對(duì)策思辨】

一、前提：正確理解運(yùn)算能力的內(nèi)涵

從數(shù)學(xué)心理學(xué)的角度來分析，運(yùn)算能力主要是指由問題最初定向、抽象概括能力、壓縮簡化運(yùn)算環(huán)節(jié)能力、算法轉(zhuǎn)換能力、優(yōu)化算法能力及記憶能力等六個(gè)要素構(gòu)成。案例中的教師乃至絕大部分?jǐn)?shù)學(xué)教師，對(duì)運(yùn)算能力的理解停留在會(huì)計(jì)算、能正確計(jì)算的層面，這只能是計(jì)算最基本的淺顯的能力。尚若如此，只要求按算法正確計(jì)算作為教學(xué)目標(biāo)，學(xué)生是不可能知道為什么要這樣算的依據(jù)，更談不上算法的優(yōu)化及各種算法之間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)換。所以，為了有效地進(jìn)行計(jì)算教學(xué)，預(yù)防出現(xiàn)案例中的狹隘教法，作為數(shù)學(xué)教師，要正確理解運(yùn)算能力的內(nèi)涵，并據(jù)此內(nèi)涵確定計(jì)算教學(xué)的目標(biāo)，實(shí)施計(jì)算教學(xué)的正確教法。

二、基礎(chǔ)：著力突出法理并重的意識(shí)

曹培英老師曾指出：算法、算理構(gòu)成了運(yùn)算能力的左、右兩翼，在小學(xué)數(shù)學(xué)中兩者是相輔相成的，計(jì)算法則教學(xué)中要實(shí)現(xiàn)兩者的有機(jī)融合，做到循理入法，以理馭法，以法促理。新課程的計(jì)算教學(xué)，已經(jīng)徹底改變了傳統(tǒng)教學(xué)中“斬頭去尾燒中段”的做法，關(guān)注的不僅僅是會(huì)計(jì)算及正確計(jì)算，而是高度重視知識(shí)的來龍去脈。新課程下的計(jì)算教學(xué)，學(xué)生既要知道算法，同時(shí)更要明白這一算法得出的算理支撐；教師要豐富算理、算法這一運(yùn)算能力的雙翼教學(xué)，扎實(shí)計(jì)算教學(xué)中法理并重的意識(shí)基礎(chǔ)。

三、保障：達(dá)標(biāo)檢測體現(xiàn)素養(yǎng)的功能

傳統(tǒng)的運(yùn)算能力的檢測題題型無外乎以下幾種：“直接寫得數(shù)”“列豎式計(jì)算”“用遞等式計(jì)算、能夠簡便計(jì)算的要簡算”等，檢測的關(guān)注點(diǎn)重在計(jì)算結(jié)果的正確，很少關(guān)注計(jì)算的算理考查，以至于反映在教學(xué)中的輕算理剖析、重算法記憶、挺計(jì)算正確的不科學(xué)教法，學(xué)生的計(jì)算素養(yǎng)不能進(jìn)行有效的達(dá)標(biāo)檢測。因此，拓寬運(yùn)算能力檢測的呈現(xiàn)形式，發(fā)揮達(dá)標(biāo)檢測促進(jìn)教學(xué)的功能，應(yīng)是計(jì)算教學(xué)的當(dāng)務(wù)之急。運(yùn)算能力的檢測可從以下幾個(gè)方面拓寬形式。

1.算術(shù)四則運(yùn)算，畫出直觀圖形，考查算理掌握

畫圖直觀表示出四則運(yùn)算的含義，是考查學(xué)生對(duì)算理是否真正掌握的有效方法。如四則運(yùn)算中分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)算理的檢測，可以給出一道分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的算式，讓學(xué)生根據(jù)算式用圖形表示出其計(jì)算的算理；或者通過下面的選擇題形式進(jìn)行考查。下面的大長方形都表示“1”，（ ）的涂色部分可以表示[45×23]的積。

2.列出豎式計(jì)算，標(biāo)注數(shù)字含義，明晰豎式算理

對(duì)于計(jì)算中的列豎式計(jì)算，不能僅僅讓學(xué)生列出豎式、算出得數(shù)，還可以讓學(xué)生在豎式中標(biāo)注出每一步計(jì)算的含義。

如小數(shù)除法9.6÷3的豎式計(jì)算，除了要列出計(jì)算的豎式，還應(yīng)要求學(xué)生標(biāo)出豎式中商“2”及移下來的“6”等相關(guān)數(shù)字表示的意義。如果學(xué)生能正確解決這些問題，就能很好地理解商中小數(shù)點(diǎn)為什么跟被除數(shù)小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊的道理。

3.四則混合運(yùn)算，尋找生活原型，理解運(yùn)算順序

對(duì)于四則混合運(yùn)算，可以給出混合運(yùn)算式題，讓學(xué)生還原出生活中的現(xiàn)實(shí)原型，在結(jié)合現(xiàn)實(shí)問題的解決中，理解四則混合運(yùn)算的運(yùn)算順序，這種考查方法可以理解為結(jié)合算式合理編出生活中的實(shí)際問題。如對(duì)于分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算：

學(xué)生可以編出：六（1）班有48人，參加書法興趣小組的人數(shù)占[34]，參加美術(shù)興趣小組的人數(shù)占[23]。參加書法興趣小組的人數(shù)比參加美術(shù)興趣小組的人數(shù)多幾人？

上面幾種檢測題型，是對(duì)傳統(tǒng)運(yùn)算能力檢測題型的拓展，能實(shí)質(zhì)性地考查學(xué)生對(duì)算理的掌握程度，能有效提高師生對(duì)運(yùn)算算理的關(guān)注程度，是對(duì)計(jì)算教學(xué)法理并重理念在檢測中的有效回應(yīng)。

（安徽省池州市東至縣教學(xué)研究室 247200）