陳思漫

摘 要：函數(shù)作為重要的數(shù)學(xué)工具，在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用十分廣泛，定義域是函數(shù)三要素，簡(jiǎn)單而言就是函數(shù)中因變量的取值范圍。在高等數(shù)學(xué)中，定義域作為重要的教學(xué)內(nèi)容，由于類(lèi)型豐富，是學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)，可見(jiàn)不斷地探究定義域的在高等數(shù)學(xué)中的解題作用，具有很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義與必要性。定義域的應(yīng)用十分廣泛，對(duì)于學(xué)習(xí)函數(shù)，應(yīng)用函數(shù)，以及對(duì)于相關(guān)問(wèn)題的求解有著十分重要的作用。本文結(jié)合高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實(shí)踐，對(duì)于定義域的在解題的過(guò)程中的作用，以及相應(yīng)的解題要點(diǎn)進(jìn)行分析，希望為高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)提升提供相應(yīng)的依據(jù)。

關(guān)鍵詞：定義域；解題；高等數(shù)學(xué)；作用

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)能夠有效地促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的養(yǎng)成，尤其是對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)有著十分積極的養(yǎng)成作用，可見(jiàn)我們不斷地展開(kāi)對(duì)于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，積極提升自身的數(shù)學(xué)能力以及素養(yǎng)，對(duì)于自身發(fā)展有著積極而深遠(yuǎn)的意義。

一、函數(shù)值域的確定

函數(shù)定義域在高等數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，首要的一個(gè)作用就是確定函數(shù)的值域，函數(shù)的定義域、值域以及對(duì)應(yīng)關(guān)系的是函數(shù)的三大要素，在高等數(shù)學(xué)中，定義域與值域往往都是具體的區(qū)間，對(duì)應(yīng)關(guān)系將變得復(fù)雜，即函數(shù)的表達(dá)形式十分復(fù)雜，定義域的主要的作用就是進(jìn)行值域的確定，值域的確定是數(shù)學(xué)解題的基本思路所在，正是由于其具有基礎(chǔ)性的作用，我們?cè)趯W(xué)生的過(guò)程中應(yīng)當(dāng)更加注意。例如，在下述例題中，求解函數(shù)的值域。

此函數(shù)為分段函數(shù)，即定義域區(qū)間不連續(xù)，且在不同的定義域區(qū)間下函數(shù)有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，根據(jù)定義域求解值域，依據(jù)上題目，應(yīng)當(dāng)計(jì)算不同區(qū)段函數(shù)的值域，然后進(jìn)行值域的合并，實(shí)現(xiàn)值域的求解。上題中，第一段函數(shù)值域?yàn)?，第二段函?shù)值域?yàn)椋傮w而言函數(shù)值域?yàn)?。總的?lái)說(shuō)，函數(shù)值域的求解有兩個(gè)層面的要點(diǎn)需要注意，尤其是在高等數(shù)學(xué)復(fù)雜的函數(shù)表達(dá)形式下，更是十分關(guān)鍵的。其一，函數(shù)的單調(diào)性判斷十分關(guān)鍵，如果函數(shù)是單調(diào)的，函數(shù)值域范圍所對(duì)于的就是定義域的范圍，如果函數(shù)不是單調(diào)的就首先進(jìn)行單調(diào)性分析，再根據(jù)定義域求解值域[1]。其二，定義域區(qū)間的開(kāi)閉十分關(guān)鍵，例如單單調(diào)函數(shù)在兩側(cè)均為開(kāi)區(qū)間的情況，就不會(huì)出現(xiàn)最大值和最小值。更為重要的是，值域往往是問(wèn)題結(jié)果的重要體現(xiàn)，帶有很強(qiáng)規(guī)律性，因此不斷地分析對(duì)應(yīng)關(guān)系對(duì)于不同定義域區(qū)段的作用，十分必要。

二、函數(shù)單調(diào)性判定

定義域在高中數(shù)學(xué)解題中，還有一個(gè)重要的作用，就是對(duì)于函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行相應(yīng)的分析。函數(shù)的單調(diào)性簡(jiǎn)單而言，就是在定義域中函數(shù)函數(shù)值的變化，函數(shù)有單調(diào)函數(shù)與非單調(diào)函數(shù)之分，其中單調(diào)函數(shù)又有單調(diào)遞增以及單調(diào)遞減的情況。定義域在函數(shù)單調(diào)性的求解中十分關(guān)鍵[2]，主要在以下兩個(gè)方面展開(kāi)分析。首先，對(duì)于基本函數(shù)，我們往往可以根據(jù)函數(shù)的定義域，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解。例如，冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)等基本函數(shù)可以實(shí)現(xiàn)函數(shù)單調(diào)性的直接分析。其次，在高等數(shù)學(xué)中，符合函數(shù)單調(diào)性的求解往往是十分復(fù)雜的，因此就需要運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)進(jìn)行分析，定義域有著重要的作用。例如：

求解函數(shù)的單調(diào)性，定義域?yàn)?/p>

首先對(duì)于函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，即，然后通過(guò)判斷導(dǎo)函數(shù)的取值范圍進(jìn)行相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性求解。將定義域分為兩個(gè)區(qū)段，與，上述兩個(gè)區(qū)段的定義域下，導(dǎo)函數(shù)分別是大于0或者小于0，這就能夠得出函數(shù)單調(diào)性，即導(dǎo)函數(shù)大于0，函數(shù)單調(diào)遞增，反之，函數(shù)單調(diào)遞減。函數(shù)單調(diào)性的確定，是函數(shù)問(wèn)題求解的常見(jiàn)形式，而定義域是問(wèn)題求解中的關(guān)鍵，應(yīng)當(dāng)不斷地引起我們的重視。其一，函數(shù)單調(diào)性求解往往基于復(fù)雜的符合函數(shù)進(jìn)行求解，因此重點(diǎn)分析定義域，對(duì)于函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行分析，十分關(guān)鍵。其次，在單調(diào)性求解的過(guò)程中，注意函數(shù)定義域在導(dǎo)函數(shù)中的適用性十分關(guān)鍵，即函數(shù)定義域可能在導(dǎo)函數(shù)中不適用，應(yīng)當(dāng)引起我們的重視。

三、具體問(wèn)題討論范圍的限定

數(shù)學(xué)的本質(zhì)總的來(lái)說(shuō)就是解決問(wèn)題，即不斷地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)實(shí)現(xiàn)對(duì)于相關(guān)問(wèn)題的求解，這也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)所在。函數(shù)是重要的數(shù)學(xué)工具，在解決實(shí)際問(wèn)題中，函數(shù)能夠?qū)τ谙鄳?yīng)的規(guī)律進(jìn)行反映，對(duì)于問(wèn)題解決十分關(guān)鍵。定義域在實(shí)際問(wèn)題的解決過(guò)程中，最為重要的作用就是能夠限定具體問(wèn)題的討論范圍，這對(duì)于實(shí)際問(wèn)題的解決十分關(guān)鍵。首先，實(shí)際參數(shù)作為因變量，與目標(biāo)值建立了相應(yīng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，定義域能夠限定范圍，使得問(wèn)題討論求解不斷地簡(jiǎn)化。例如，建立溫度了與氣體密度的函數(shù)，函數(shù)是十分復(fù)雜的，進(jìn)行全面規(guī)律分析十分困難，但是根據(jù)實(shí)際情況，普通溫度的變化僅僅在一個(gè)區(qū)間內(nèi)，因此只有在相應(yīng)區(qū)間進(jìn)行問(wèn)題的討論分析十分關(guān)鍵。其次，實(shí)際問(wèn)題中解決中，定義域?qū)用娴拇_定，不僅僅簡(jiǎn)化了問(wèn)題的解決過(guò)程中，而且對(duì)于實(shí)際問(wèn)題的解決有著很好的實(shí)際導(dǎo)向。使得問(wèn)題的求解更加具有針對(duì)性?？偟膩?lái)說(shuō)，定義域定義了函數(shù)關(guān)系的作用范圍，不斷地對(duì)于定義域進(jìn)行分解，合并以及相應(yīng)的劃分，對(duì)于問(wèn)題求解十分關(guān)鍵，使得問(wèn)題求解更加具有針對(duì)性。

函數(shù)定義域是數(shù)學(xué)問(wèn)題的中重要的基本概念，對(duì)于問(wèn)題求解，對(duì)于整體層面數(shù)據(jù)能力的提升有著重要意義。在高等數(shù)學(xué)中，定義域?qū)τ诤瘮?shù)問(wèn)題的求解十分關(guān)鍵，尤其是在實(shí)際問(wèn)題的求解中，積極應(yīng)用定義域的特性，不斷地結(jié)合對(duì)應(yīng)關(guān)系，以及值域進(jìn)行分析，十分必要?？偟膩?lái)說(shuō)，在定義域內(nèi)容層面的學(xué)習(xí)中，需要不斷地學(xué)習(xí)基本概念，靈活運(yùn)用，創(chuàng)新實(shí)踐，將課程知識(shí)與生活實(shí)踐相結(jié)合也是新教育理念發(fā)展層面的要求。

參考文獻(xiàn)：

[1]周維.淺談定義域在高等數(shù)學(xué)解題中的一些作用[J].大學(xué)數(shù)學(xué)， 1995（3）：256-258.