趙珊珊

【摘要】初等幾何變換中的旋轉變換與中學幾何教學有著密切的內(nèi)在聯(lián)系，而且隨著新課程標準的實施，它在現(xiàn)行的中學教材中占有更加重要的地位.本文簡述初等幾何變換中旋轉變換的相關內(nèi)容，探討旋轉變換在初中幾何解題中的應用.

【關鍵詞】旋轉變換；初中幾何；應用

隨著德國數(shù)學家克萊因（F.Klein）《埃爾蘭根綱領》的發(fā)表，幾何已經(jīng)被視為在某種變化群下，研究圖形的不變性與不變量的學科.基于圖形的不變性，各行業(yè)均可以利用這一性質獲得便利.現(xiàn)今，初等幾何變換的思想影響著初中數(shù)學，并由此指導學生用這種思想來處理幾何問題，已成為數(shù)學課程改革的趨勢.而本文主要概述旋轉變換的相關性質，并對它的相關應用進行舉例說明.

我國對于平面幾何教學的改革也在進行，但是改革的力度還不夠，雖然在我國中學幾何教材中已引入變換的概念，但與國際上數(shù)學教學的現(xiàn)代化教育進展的并不協(xié)調.

一、旋轉變換與初中幾何教學的聯(lián)系

（一）介紹旋轉變換的基本概念

初等幾何變換一般包括合同、相似、反演變換，其中合同變換、相似變換與中學幾何教學聯(lián)系更緊密些.旋轉變換屬于合同變換.初中教材中，旋轉變換單獨列為一個章節(jié)，從直觀到抽象，從定義到性質，有助于學生全面理解這一知識點.本文對于旋轉變換的概述主要結合人教版九年級上冊旋轉這一章節(jié)的內(nèi)容以及中考題型，為此，我們首先給出旋轉變換的定義及基本性質.

定義（[1]）：設O為平面上一定點，φ為一個有向角，R是平面上的變換.如果對于任意一對對應點P，P′，通過變換R總有OP=OP′，∠POP′=φ，那么變換R叫作以O為旋轉中心，φ為旋轉角的旋轉變換，記為R（O，φ）.

顯然，旋轉變換由旋轉中心與旋轉角唯一確定，并具有下列性質（參見文[1，2]）：

性質1當旋轉角φ≠180°時，直線與其對應直線的交角等于φ.

性質2關于同一旋轉中心的兩個旋轉變換的乘積仍是一個旋轉變換.

性質3旋轉變換的逆變換仍是一個旋轉變換.

性質4非恒等的旋轉變換只有一個不變點——旋轉中心，當旋轉角φ≠180°時，旋轉變換沒有不變直線：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等.

（二）中學幾何課程對于旋轉變換的基本要求

旋轉變換是國外數(shù)學課程不可缺少的一部分.日本的《數(shù)學課程標準》要求學生理解旋轉變換并探究旋轉前后兩個圖形的聯(lián)系.美國的《統(tǒng)一核心州課程標準》中旋轉變換同樣存在.他們通過幻燈片的演示幫助學生更直觀地了解旋轉，最后通過實驗的方式展現(xiàn)旋轉變換的相關性質.

國內(nèi)的《初中數(shù)學新課程標準（2011版）》中，開始明確提出單獨列圖形的旋轉為一個獨立的章節(jié)，要求學生通過具體實例認識平面圖形關于旋轉中心的旋轉.旋轉出現(xiàn)在人教版九年級上冊的第二十三章，通過直觀的圖形的旋轉讓學生認識旋轉變換，并對它進行了具體的描述，同時由教師帶領學生一起發(fā)現(xiàn)旋轉的性質.

（三）變換思想與學生思維

初中生特征：思維比較敏銳、不完善、易受影響.他們正處于發(fā)展階段，他們自身的認知結構和思維水平尚未完善，如若教師在這個時候對他們進行正確的引導，能為學生后續(xù)的幾何學習提供很大的幫助.

因為初中生思維的發(fā)展特征，以及學習旋轉變換需要的空間想象能力，使得學生在一開始接觸這部分內(nèi)容時將受到阻礙，所以作者認為在中學幾何教學中結合教材內(nèi)容，逐步向學生介紹幾何變換的觀點和方法，是必要的、可行的.它有利于培養(yǎng)學生對幾何學習的興趣和愛好，拓展思路，提高學生的分析和解題能力，它還在現(xiàn)代數(shù)學理論中發(fā)揮著巨大的作用.

二、旋轉變換思想在初中幾何問題中的應用

旋轉變換就是以運動的觀點去看待兩個幾何圖形，即在變換下，一個圖形變?yōu)榱硪粋€圖形，這種觀點是現(xiàn)代數(shù)學中很普及且重要的觀點，與傳統(tǒng)的靜止觀點相比較，有本質的區(qū)別.將這種觀點運用到解決數(shù)學問題中，很多問題就有可能迎刃而解.

掌握旋轉變換的思想，可以幫助我們從運動的觀點制訂解題方案.既可以提供思考途徑，也可以提供解題手段.運用旋轉變換思想，比較容易發(fā)現(xiàn)題設與結論之間的聯(lián)系，想出如何對圖形施行變位、變形的策略.通過規(guī)律性的認識，有目的地添畫輔助線，更有助于揭示解題途徑.

運用旋轉變換進行解題的一般步驟，可概括為：

1.仔細讀題，分析條件和問題；

2.認真觀察圖形；

3.用旋轉變換思想來考慮解題思路；

4.靈活運用旋轉變換的性質解題.

例如圖所示，△ABD，△AEC都是等邊三角形.求證BE=DC.

分析首先讀題，由△ABD，△AEC都是等邊三角形可知，這里涉及等邊三角形的相關性質.緊接著我們由對旋轉變換的敏感性發(fā)現(xiàn)△ABE有可能是△ADC旋轉后的圖形，由此我們可以嘗試證明△ABE和△ADC全等.如若證出全等，則證出BE=DC.證明過程如下：因為△ABD，△AEC都是等邊三角形，所以AD=AB，AC=AE.又因為∠DAB=∠CAE，而∠BAC是公共角，所以∠DAC=∠BAE.綜合上述兩個結論，可以得出△ADC≌△ABE，所以BE=DC（全等三角形的對應邊相等），證畢.

總結運用旋轉變換思想解題，能夠幫助學生理清解題思路，使用簡捷的方法解決幾何類型題目中的問題.學習旋轉變換的性質和意義，不僅能幫助我們更有效地解決初中幾何問題，而且在思考其他的數(shù)學問題時也可以發(fā)揮作用.

【參考文獻】

[1]鄧鵬，康紀權，孫海.初等幾何研究[M].北京：高等教育出版社，2012.

[2]宋芝業(yè)，紀志剛.《幾何原本》與中國現(xiàn)代初等幾何學科的興起[J].自然辯證法通訊，2017（2）：17-21.