任俊

摘 要：相比初中數(shù)學來說，高中數(shù)學的教學內(nèi)容比較抽象，難以理解，而數(shù)形結(jié)合思想的滲透及其方法的運用，可以幫助學生形象化地理解抽象的數(shù)學知識。所以作為數(shù)學教師，我們應(yīng)該結(jié)合三角函數(shù)、直線與圓錐曲線、向量、解方程、求函數(shù)值域或最值的教學，探究數(shù)形結(jié)合方法的運用。

關(guān)鍵詞：高中；數(shù)學教學；數(shù)形結(jié)合

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9132（2018）24-0081-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2018.24.050

初中數(shù)學內(nèi)容比較具體，以模仿練習為主。學生在幾年的學習中，已經(jīng)形成了一定的思維模式。但高中數(shù)學內(nèi)容比較抽象，更加注重對于知識的理解與運用，這對于剛升入高中的學生來說，具有很大的挑戰(zhàn)。針對這一問題，教師應(yīng)該運用數(shù)形結(jié)合方法，幫助學生完成這一認知規(guī)律的過渡。實踐證明，這一方法在高中數(shù)學教學中也具有很多的優(yōu)勢。

一、三角函數(shù)教學中數(shù)形結(jié)合方法的運用

1.三角函數(shù)定義。在求正弦、余弦、正切值的時候，我們會發(fā)現(xiàn)學生解決問題的辦法有很多種，但基本上都是采用定義來求解。關(guān)于三角函數(shù)的問題，學生在初中階段就已經(jīng)學習過了，所以高中生對此并不陌生。在高中數(shù)學教學中，三角函數(shù)仍為教學的重點，其定義的解讀就需要采用數(shù)形結(jié)合的方法。通過作圖，學生憑借觀察圖，便能夠直觀地找出問題的答案，以此來增強對于概念的理解與形象記憶。

2.同角三角函數(shù)關(guān)系。高中數(shù)學中關(guān)于同角三角函數(shù)關(guān)系的推導(dǎo)有兩種方法。一種是通過直接的代數(shù)運算，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系，根據(jù)已知條件，列方程組來推導(dǎo)。這種方法運算過程比較復(fù)雜，很容易在計算過程中出錯。另一種是通過條件，運用圖像和定義，學生就可以直觀地表示出來。顯然，第二種方法比較便捷、有效。

3.三角函數(shù)性質(zhì)。在求解三角函數(shù)角的集合和求解角中，我們也能夠采用數(shù)形結(jié)合的辦法，其中比較常用的便是將單位圓、正余弦的圖像與代數(shù)式相結(jié)合的方法。而且這兩種方法也可以啟發(fā)學生開拓思維，一題多解，將所學知識活學活用，輕松解決數(shù)學難題。同樣，在遇到比較大小問題時，我們也可以將所要比較的三角函數(shù)值通過圖像表示出來。例如，在比較sin25°和cos25°的大小時，我們可以有幾種方法：一是通過單調(diào)區(qū)間進行對應(yīng)角度的大小比較；二是運用數(shù)形結(jié)合思想，分別作出正弦、余弦圖像，然后通過對比函數(shù)值所在位置就可以明確它們的大??；三是運用單位圓圖像，進行函數(shù)值的大小比較。顯然，第二種和第三種方法都運用了數(shù)形結(jié)合的思想，都比第一種方法要簡單，而且第一種方法不適用于解決不是同一單調(diào)區(qū)間的題目。

二、直線與圓錐曲線教學中數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用

（一）直線與圓

1.刻畫直線傾斜程度。關(guān)于這個問題，我們可以從數(shù)、形兩個角度來刻畫，這樣比較形象具體、一目了然，也方便學生理解。

2.平面內(nèi)兩條直線位置關(guān)系的判定。我們主要通過畫圖或利用直線方程兩種方法來判定平面內(nèi)兩條直線之間的位置關(guān)系。前者比較形象直觀，比較受學生喜愛。當然，為了確保結(jié)果的準確性，我們可以采用算式進行檢驗，充分發(fā)揮數(shù)形兩種方法的互補作用。

3.對稱問題。我們解決直線關(guān)于原點對稱問題的時候，通常采用三種方法——截距式法、對稱點法、點到直線距離的方法。相比較來說，前兩種方法更為簡單，學生可以在圖上找到對稱點，然后進行驗證即可。

4.求圓的方程。這類問題的解決，我們通常采用待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法，顯然前者需要解方程組，操作起來會比較麻煩，容易出錯，而后者通過圖像，簡潔明了。

（二）圓錐曲線——以圓錐曲線定義為例

在教學過程中，我們通過數(shù)形結(jié)合方法對曲線進行定義，可以讓學生更為直觀地認識曲線，其中橢圓幾何特征還是比較明顯的。通過觀察圖形，學生可以很快地找到題目中隱藏的已知條件，將全部已知條件代入函數(shù)圖像中，便很容易解出問題的答案。再者，雙曲線與橢圓類似，圖形也可以為我們提供一些已知條件，方便我們進一步運算。

三、向量教學中數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用

1.用向量解決平面幾何教學。幾何中關(guān)于直線平行、垂直的問題可以借助向量來解決。我們可以將已知條件在圖上以坐標的形式呈現(xiàn)出來，再將未知量在圖中想辦法表示出來，進而通過方程組來得出我們想要的結(jié)果。

2.用向量解決立體幾何教學。與平面幾何一樣，立體幾何中關(guān)于垂直、平行、夾角與距離等問題的解答也可以借助向量來完成。數(shù)形結(jié)合方法的運用，將向量中的分解法、坐標法等遷移到立體幾何中。我們可以在圖中標出已知各點，然后通過向量的方法求解即可。

四、解方程、求函數(shù)值域或最值教學中數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用

1.解方程教學。方程問題的解答，我們可以引導(dǎo)學生構(gòu)建函數(shù)，將已知的函數(shù)通過圖像的形式展現(xiàn)出來，然后再進行求解。值得注意的是，教師一定要提醒學生認真仔細，避免因為圖繪制錯誤而產(chǎn)生錯誤的結(jié)果。當然，我們也不能完全依賴數(shù)形結(jié)合的方法，在具體操作中也應(yīng)該結(jié)合代數(shù)式，選用的基本原則便是方便、快捷、準確。

2.求函數(shù)值域或最值教學。最值問題運用數(shù)形結(jié)合的方法最為方便，我們繪制的圖像的最高點或者最低點便是我們要求的坐標。這種方法使我們一目了然地便可以知道我們要求得的坐標所在的位置，也可以作為我們驗證結(jié)果正確與否的參照之一。

數(shù)形結(jié)合對于高中數(shù)學三角函數(shù)、直線與圓錐曲線、向量、解方程、求函數(shù)值域或最值教學的作用已經(jīng)得到了教師與學生的普遍認可，可以幫助學生理解抽象的教學內(nèi)容，對于課堂教學效率的提升有顯著效果。

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