李織蘭 蔣曉云 楊起群 姚衛(wèi)姍 劉丹

【摘要】本文結合教學片段論述教師在教學“認識圓周率”一課時，利用“我們用測量的方法能得出圓周率的準確值嗎？”這一問題讓學生展開思考，引導學生關注圓周率的獲得過程；從古代數學著作《周髀算經》提出“周三徑一”的說法，到劉徽“割圓求周”，再到祖沖之“刻苦求精”求出圓周率，帶領學生經歷一次“數學文化之旅”；提出數學教學應帶領學生品味數學“悠久歷史”帶來的自豪感，讓學生體會到數學家鍥而不舍的探索精神，感受到數學的嚴謹性，做到讓學生在數學學習中“學知識、育德行、增智慧”。

【關鍵詞】圓周率 教學片段 數學文化

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2018）01A-0077-03

桂林師范高等?？茖W校2014級農村小學全科公費師范畢業(yè)生劉丹在“桂林市農村小學全科教師專業(yè)發(fā)展論壇”的教研活動中展示人教版“圓的周長”一課。參加活動的教師被劉老師新穎的教學設計、教學藝術和課堂教學中表現出來的濃厚的數學文化氣息深深吸引。這節(jié)課的“認識圓周率”的教學片段，恰當地用數學史料、趣事，反映數學方法的突破，對學生進行理性教育、德育教育，培養(yǎng)學生科學精神，讓學生在“歷史的故事”中學知識、育德行、增智慧。

劉老師在學生通過簡單實驗初步體驗了圓周率和利用圓周率計算圓的周長之后安排了這個教學片段，教學片段以圓周率的探索過程為主線，以體現圓周率的文化價值為主格調，為學生打開了一扇探索數學文化發(fā)展史的窗戶，為學生進一步理解圓周率的意義及在中學的相關數學學習中留下一片想象的空間。這個片段集中體現了數學文化的形成過程，是學生經歷數學思考的過程，也是學生領悟思想方法的過程，更是學生豐富情感體驗、提升數學核心素養(yǎng)的過程。

一、以導質疑、以疑促學

師：在計算圓的周長的時候需要用到圓周率。說到圓周率，我們都知道它是圓的周長和直徑之間固定的倍數關系，也是一個無限不循環(huán)小數，這么復雜的一個數，它是怎么來的呢？

生：測量得出來的。

師：我們用測量的方法能得出圓周率的準確值嗎？

生1：能，我們測量的所有的圓，它的周長都是它直徑的3倍多一些。

生2：不能，我們小組的實驗報告表中每一次的實驗數據都不一樣，而且3倍多一些，多的部分也不一樣。

生1：也許是你們的實驗有誤差。

師：你們的意思是這個倍數的精確程度取決于我們測量的誤差大小。如果測量時很精確，圓的周長都是它直徑的3.14倍嗎？

生1：是的。

師：老師用先進的測量工具盡量精確地測量了2個圓的周長和直徑，得出的“圓周率”的結果不完全一樣，而且沒有一個剛好是3.14（教師呈現實驗數據如表一所示）。

師：看來用測量的方法是無法得到圓周率的。

師：人類對客觀事物的認識是一個過程，是在實踐基礎上從感性認識到理性認識、又從理性認識到實踐的無限發(fā)展的過程。其實，數學對人類文明最大的貢獻是理性精神。理性精神是一種“推演的精神”“邏輯的精神”，是一種求真、求美的精神。我國古代數學家用“理性”的方法研究圓周率至少有兩千多年的歷史。下面我們來讀一讀課文中的“你知道嗎？”（如圖1所示），讓我們穿越時空，經歷一次數學文化之旅。

[評析]

朱熹曾說：“讀書無疑者，須教其有疑；有疑者，須教無疑，到這里才是長進?！苯處熤挥凶寣W生對已知的“圓周率是一個固定不變的數”產生懷疑，他們才會去關注人們得出圓周率的過程。教師想要發(fā)揮數學文化的教育功能，就應積極培育學生的“求真”精神，讓學生形成理性思維、學會理性方法、感悟理性的力量。

學起于思，思源于疑。教師以導質疑、以疑促學，調動了學生讀書、思索、答問的積極性，發(fā)展了學生的創(chuàng)新思維，培養(yǎng)了學生的核心素養(yǎng)。

二、數學文化之旅

（一）數學文化喚起篇：周三徑一

師：故事記載了在2000多年前我們的祖先通過輪子轉一圈的長度，觀察到圓的周長和其直徑之間有一定的聯系。數學家通過測量、計算得出圓的周長總是它的直徑的3倍左右。我國古代數學著作《周髀算經》提出“周三徑一”的說法。魏晉時期的劉徽于公元263年給《九章算術》作注時發(fā)現“周三徑一”只是圓內接正六邊形的周長和該圓的直徑的比值。大家想去了解一下嗎？

師（播放課件）：大家觀察這幅圖（如圖2所示），看一看其中都有哪些圖形。

生：有圓、正六邊形，還有6個等邊三角形。

師：我國古代數學家就在圓內作一個正六邊形來代替圓，用正六邊形的周長除以圓的直徑得出圓周率的近似值。

師：正六邊形的周長和圓的直徑的比值是多少？

生：等邊三角形的邊長等于圓的半徑，正六邊形的邊長與圓的半徑一樣長，正六邊形的周長和圓的直徑的比值是3。

師：對，我們看大屏幕。圓的半徑與正六邊形的邊長一樣長，也就是說，用正六邊形的周長代替圓的周長，求出圓周率π的近似值為3。這就是古人提出的“周三徑一”。

[評析]

“魏晉時期的劉徽于公元263年給《九章算術》作注時，發(fā)現‘周三徑一只是圓內接正六邊形周長和直徑的比值。大家想去了解一下嗎？”教師的這句話喚起學生強烈的用數學的方法探究“周三徑一”的欲望。

每一名學生都能在課堂上冷靜思考，用數學思維去發(fā)現數學問題。數學思考的內在美，正是在這樣一種“潤物無聲”的對話和思辨過程中悄悄滋潤著學生的心靈，化作學生思考的力量源泉。

（二）數學文化彰顯篇：割圓求周

片段一

師：比較圓和正六邊形的周長，你看出了“用正六邊形的周長代替圓的周長”有什么問題？

生：用正六邊形的周長代替圓的周長誤差太大。

師：古人后來又提出了“周三徑一有余”的說法，但究竟余多少？

師（出示圖3）：魏晉時期的數學家劉徽提出了“割圓求周”的方法：把圓周分成六等分、十二等分、二十四等分……這樣繼續(xù)分割下去，所得多邊形的周長就無限接近于圓的周長。

師：比較一下，正十二邊形的周長和正六邊形的周長相比，誰更接近圓的周長？

生：正十二邊形的周長更接近圓的周長。

師：如果把圓繼續(xù)分，分成正二十四邊形、正四十八邊形……想一想，如果我們這樣一直分下去，會有什么發(fā)現？

生：分的份數越多，正多邊形的周長就越接近圓的周長。

師：那么，正多邊形的周長和直徑的比值就越來越接近？

生：圓周率！

師：請一位同學讀一讀劉徽的關于“割圓術”的這段話。

生：割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣。

師：誰來解釋一下這段話？

生：分得越細、正多邊形邊數越多，多邊形的周長與圓的周長就越接近。

生：分到不能再分的時候，多邊形的周長與圓的周長就沒有差別了。

師：正多邊形的邊數到2萬時，還能再“細”分嗎？

生：能。

師：那什么時候不能再分？

生：無窮多條邊的時候。

師：“割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣。”我們可以解釋為“正多邊形的邊數達到‘無窮多時，正多邊形的周長就是圓的周長”。

[評析]

通過這樣的教學過程，學生不僅深刻地感受了“割圓術”的精妙，而且在無形中形成了極限思想。

片段二

師：劉徽首創(chuàng)的“割圓術”是中國古代極限觀念的體現。劉徽一生都為數學刻苦探求、學而不厭，給我們中華民族留下了寶貴的財富。

（教師用多媒體展示：劉徽用“割圓術”求圓的周長和直徑的比值，計算到正一百九十二邊形，得出這個正多邊形的周長和圓的直徑的比的近似值是3.14，即π≈3.14。如表二所示）

師：我們常用π≈3.14計算圓的周長，也稱圓周率的近似值3.14為“徽率”。

[評析]

劉徽對世界數學的最大貢獻是他的“割圓術”方法與無限細分逐步逼近的極限思想。他首創(chuàng)的方法，不僅為200年后祖沖之對圓周率的計算提供了思想方法和理論依據，還對中國古代數學研究產生了很大的影響。學生通過對“割圓術”的了解，在感嘆中國數學文化博大精深的同時，也感受到數學極限思想的奇妙。

（三）數學文化震撼篇：刻苦求精

片段一

師（多媒體展示）：假設一顆人造衛(wèi)星繞著圓形軌道飛行，這個圓形軌道的直徑是13428008米。衛(wèi)星飛行一圈是多少米？

生：我用π≈3.14計算，衛(wèi)星飛行一圈是42163945.12米。

生：我用π≈3計算，衛(wèi)星飛行一圈是40284024米。

師：實際上，衛(wèi)星飛行一圈約42185330.57米，用π≈3.14計算，運算結果與實際相差21385.45米，用π≈3計算，運算結果與實際相差1901306.57米。

生：可能是圓周率的近似值π≈3.14不夠精確。

生：圓很大時，用圓的內接正一百九十二邊形的周長代替圓的周長還是不夠精確。

師：在無需精確結果估算圓的周長時，可用直徑乘以3，即π≈3，計算簡潔快速，“周三徑一”的價值不言而喻；計算日常生活中的車輪周長、圓桌周長等時可取圓周率π≈3.14；但在計算衛(wèi)星的軌道周長時，就會“失之毫厘，謬以千里”。

[評析]

教師在學生完成練習題之后，呈現對比性問題啟發(fā)學生思考：估算圓形的周長，直徑乘3，簡潔快速；計算衛(wèi)星的軌道，圓周率取整數3和3.14，周長相差約190萬米，“失之毫厘，謬以千里”，圓周率精確度的作用凸顯無遺?，F實的情境、鮮明的對比，學生真切地感受到研究圓周率的獨特價值。

片段二

師：數學家祖沖之，他也是天文學家，他也認為π≈3.14還不夠精確。于是，他在家中做了一個直徑為一丈大的圓，1丈≈3.333米。同學們，（教師邊走邊比劃直徑為一丈的圓）你能想象這個圓的大小嗎？

生：能！

師：在這樣一個大圓里，祖沖之在劉徽的基礎上繼續(xù)“割圓”，分成正三百四十八邊形、正七百六十八邊形……當分出正兩萬四千五百七十六邊形時，這個正多邊形每條邊的長度大約是0.4毫米。同學們請在尺子上找找，看0.4毫米有多長。

（學生的驚訝聲、贊嘆此起彼伏）

師：這時，多邊形和圓會怎么樣？

生：非常接近！

師：求出的正多邊形的周長和圓的直徑的比值與圓周率就會怎樣？

生：非常接近！

[評析]

“直徑為一丈的大圓的內接正兩萬四千五百七十六邊形的邊長不足0.4毫米”的直觀感受，使學生的情感得以洗禮、心靈受到震撼。

片段三

師：祖沖之在劉徽開創(chuàng)的方法的基礎上，首次將“圓周率”精算到小數點后第七位，即π在3.1415926和3.1415927之間，他提出的“祖率”對數學的研究有重大貢獻。直到16世紀，阿拉伯數學家阿爾·卡西才打破了這一紀錄。

師：請同學們大聲讀出課文中介紹的祖沖之的研究成果。

生：約1500年前，中國有一位偉大的數學家和天文學家祖沖之，他計算的圓周率在3.1415926和3.1415927之間，成為世界上第一個把圓周率的值精確到7位小數的人。這一成就比國外大約要早1000年。

[評析]

祖沖之研究的“圓周率”結果極大地震撼了學生的心靈，豐富了學生對數學學習的情感體驗。