曹玉萍

摘 要：作為算術(shù)思維到代數(shù)思維的有效過渡，準(zhǔn)變量思維是一種整體性思維、關(guān)系性思維、結(jié)構(gòu)性思維。在教學(xué)中，教師要發(fā)掘教材的準(zhǔn)變量因子，萌發(fā)兒童的準(zhǔn)變量意識(shí)，引領(lǐng)兒童的準(zhǔn)變量思維。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué) 準(zhǔn)變量思維 代數(shù)思維

準(zhǔn)變量思維是算術(shù)思維向代數(shù)思維的過渡，是兒童代數(shù)思維的啟蒙。在兒童數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要培養(yǎng)兒童形成“代數(shù)的眼光”，發(fā)展兒童的代數(shù)思維。教師必須精心呵護(hù)兒童的準(zhǔn)變量思維，讓兒童不僅擁有思維的程序模式，更能初步形成思維的關(guān)系模式。準(zhǔn)變量思維彌合了算術(shù)思維和代數(shù)思維的人為割裂，架設(shè)了從算術(shù)思維到代數(shù)思維的橋梁。

一、準(zhǔn)變量思維的內(nèi)涵及其培養(yǎng)意義

小學(xué)階段的數(shù)學(xué)教學(xué)主要是算術(shù)的教學(xué)，即兒童主要是運(yùn)行一種計(jì)算程序，將多個(gè)已知數(shù)量經(jīng)由四則運(yùn)算而得出未知數(shù)量的過程。例如中低年級(jí)段“一步計(jì)算的應(yīng)用題”和“兩步計(jì)算的應(yīng)用題”等，在設(shè)計(jì)意圖與解決方法上基本上都是遵循一種算術(shù)思維。運(yùn)用算術(shù)思維解決數(shù)學(xué)問題主要運(yùn)用數(shù)學(xué)的分析法和綜合法，即“執(zhí)果索因”和“由因?qū)Ч保溟g夾雜著轉(zhuǎn)化、倒推等解決問題的策略。直到教學(xué)“簡(jiǎn)易方程”，兒童才開始接觸到一種全新的思維方式——代數(shù)思維，或者說是關(guān)系思維。和算術(shù)思維比較，代數(shù)思維是一種整體性的思維模式，所以在列方程時(shí)，學(xué)生對(duì)方程兩邊都含有未知數(shù)很不適應(yīng)。在解方程時(shí)，學(xué)生對(duì)方程左右兩邊同時(shí)加或減去相同的數(shù)也很不適應(yīng)，甚至有許多學(xué)生往往習(xí)慣性在方程前也加上“=”。因?yàn)樵谒麄兊男睦铮?”號(hào)指示著一種運(yùn)算程序、解題程序，他們對(duì)“=”號(hào)所指示的等價(jià)關(guān)系沒有清晰的認(rèn)知?；诖?，筆者認(rèn)為，在小學(xué)尤其是低中年級(jí)學(xué)段，教師應(yīng)當(dāng)有意識(shí)地將數(shù)學(xué)的“準(zhǔn)變量特性”，融入到兒童日常學(xué)習(xí)中去，進(jìn)而有效防止兒童的算術(shù)思維與代數(shù)思維間的斷裂。

所謂準(zhǔn)變量思維，是指兒童能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)中所隱含的代數(shù)結(jié)構(gòu)或代數(shù)關(guān)系，對(duì)數(shù)學(xué)中的問題進(jìn)行準(zhǔn)變量式、準(zhǔn)代數(shù)式的思考。例如計(jì)算“54-26-8”，當(dāng)兒童亦步亦趨地按照計(jì)算順序進(jìn)行數(shù)學(xué)計(jì)算時(shí)，兒童的思維方式是一種程序性的算術(shù)思維；而當(dāng)兒童從整體的關(guān)系入手，減去一個(gè)數(shù)后再減去一個(gè)數(shù)，其實(shí)也就是減去了這兩個(gè)數(shù)的和，那么盡管兒童的思考對(duì)象仍然是算術(shù)，但兒童卻潛在地運(yùn)用著一種關(guān)系思維，一種著眼整體、全局的準(zhǔn)變量思維。由此不難發(fā)現(xiàn)，準(zhǔn)變量既不是常量（靜止不變的量），也不是變量（運(yùn)動(dòng)變化的量），而是介于常量和變量之間的一種數(shù)字關(guān)系或結(jié)構(gòu)解釋。而在這些數(shù)字關(guān)系或結(jié)構(gòu)解釋中卻蘊(yùn)含著鮮明的代數(shù)意義，其解決問題的過程體現(xiàn)著代數(shù)思維的色彩?？梢?，準(zhǔn)變量思維標(biāo)志著兒童代數(shù)思維的萌芽。

二、兒童準(zhǔn)變量思維的培養(yǎng)路徑

如上所述，準(zhǔn)變量思維是兒童從算術(shù)思維過渡到代數(shù)思維的“最近發(fā)展區(qū)”。因此，在教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)兒童對(duì)數(shù)學(xué)的潛在關(guān)系或結(jié)構(gòu)進(jìn)行識(shí)別、表達(dá)、轉(zhuǎn)換，讓兒童提煉出數(shù)學(xué)問題中的等量關(guān)系或等量結(jié)構(gòu)，從而讓兒童展開準(zhǔn)代數(shù)式的思考。

（一）基于教材，發(fā)掘準(zhǔn)變量因子

小學(xué)數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含著豐富的準(zhǔn)變量因子。在教學(xué)中，教師要善于發(fā)掘。準(zhǔn)變量因子是萌發(fā)兒童準(zhǔn)變量意識(shí)、培植兒童準(zhǔn)變量思維的良好載體。為此，教師要向兒童提供準(zhǔn)變量思考的豐富素材。例如一年級(jí)的“湊十法”“破十法”等就蘊(yùn)含著準(zhǔn)變量因子。

在教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材第1冊(cè)“8加幾”時(shí)，筆者首先出示一組“8加幾”的算式，讓孩子們運(yùn)用“湊十法”解決問題。然后筆者著重引領(lǐng)兒童理解“無論是8加幾，都可以先給8加一個(gè)2，再?gòu)暮笠粋€(gè)數(shù)中減去一個(gè)2，讓加上來的2和減去的2相互抵消”。由此，兒童獲得一種基于相等關(guān)系的整體視角。同樣，教學(xué)“7加幾”“9加幾”等都可以向兒童有意識(shí)地滲透準(zhǔn)變量意識(shí)。又如蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材第5冊(cè)“兩、三位數(shù)乘一位數(shù)”同樣也蘊(yùn)含著準(zhǔn)變量因子。筆者在教學(xué)“32×12”時(shí)，首先創(chuàng)設(shè)一個(gè)情境，賦予“32×12”以實(shí)際意義，結(jié)合實(shí)際意義讓兒童理解“32×12”的算理：10個(gè)32和2個(gè)32的和。然后筆者讓兒童舉例，在豐富的例子中形成兒童的準(zhǔn)變量理解：只要12不變，不管前一個(gè)數(shù)是多少，都可以用前一個(gè)數(shù)乘10加上前一個(gè)數(shù)乘2。這里，一種左右兩邊相等的恒等變形意識(shí)被有效地植入教學(xué)之中。實(shí)踐證明，這樣的教學(xué)能夠有效提高兒童的心算能力。

（二）基于兒童，萌發(fā)準(zhǔn)變量意識(shí)

培養(yǎng)兒童的準(zhǔn)變量思維不是一蹴而就的，在教學(xué)時(shí)，教師要善于捕捉機(jī)會(huì)，引導(dǎo)兒童的準(zhǔn)變量思維，萌發(fā)兒童的準(zhǔn)變量意識(shí)。

例如教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材第9冊(cè)“解決問題的策略——列舉”時(shí)，筆者讓學(xué)生從日常生活中兩種常見的現(xiàn)象入手：打電話和寄賀卡。首先讓學(xué)生嘗試畫圖，尋求解決2個(gè)人、3個(gè)人、4個(gè)人通電話和寄賀卡的簡(jiǎn)單情形。其次引導(dǎo)兒童展開準(zhǔn)變量思考：2個(gè)人之間互通電話總次數(shù)是1，3個(gè)人之間互通電話總次數(shù)是3，2個(gè)人之間互寄賀卡張數(shù)是2，3個(gè)人之間互寄賀卡張數(shù)是6……再次是引領(lǐng)兒童展開準(zhǔn)變量推理：8個(gè)人通電話、寄賀卡，10個(gè)人通電話、寄賀卡……50人通電話、寄賀卡。盡管筆者沒有引導(dǎo)兒童用抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)關(guān)系，但是孩子們通過總次數(shù)與總?cè)藬?shù)之間的變化規(guī)律，能夠自主地進(jìn)行合情推理，并能夠用具體的算式揭示出規(guī)律。再如教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材第5冊(cè)“找規(guī)律——間隔排列”時(shí)，當(dāng)孩子們?cè)诮鉀Q具體問題，如“從1樓到6樓需要75秒，那么從1樓到10樓需要多少秒”時(shí)，筆者總是要求學(xué)生“退下來”，從1樓、2樓逐層進(jìn)行探索。在孩子們自主建構(gòu)，明晰了樓數(shù)、樓梯之間的關(guān)系后，他們自然能解決問題。筆者認(rèn)為，其實(shí)這里就孕育著準(zhǔn)變量思維。孩子們?cè)诮鉀Q這類問題的過程中，也就能萌生準(zhǔn)變量意識(shí)。

（三）基于教學(xué)，引領(lǐng)準(zhǔn)變量思維

在兒童數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不僅要敏銳地捕捉教材中的準(zhǔn)變量因子，萌發(fā)兒童的準(zhǔn)變量意識(shí)，而且更要清晰、明確地培養(yǎng)并引領(lǐng)兒童的準(zhǔn)變量思維，以便讓小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與中學(xué)代數(shù)教學(xué)進(jìn)行無縫對(duì)接。在遵循兒童思維規(guī)律、把脈兒童認(rèn)知基礎(chǔ)和思維特質(zhì)的基礎(chǔ)上，教師可以引領(lǐng)兒童拾級(jí)而上，基于兒童的算術(shù)思維，引領(lǐng)兒童的準(zhǔn)變量思維，并積極導(dǎo)向兒童的代數(shù)思維。

例如在教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材第10冊(cè)“認(rèn)識(shí)方程”時(shí)，筆者首先讓學(xué)生觀察天平，天平平衡的秘密就在于“天平兩邊是相等的”，以此誘發(fā)兒童的準(zhǔn)變量意識(shí)。然后，筆者從三個(gè)角度展開教學(xué)：一是將天平上左邊有刻度的砝碼換成沒有刻度的勾碼，讓天平保持平衡；二是將天平右邊有刻度的砝碼換成沒有刻度的勾碼，讓天平保持平衡；三是將天平左右兩邊的部分有刻度的砝碼同時(shí)換成沒有刻度的勾碼，讓天平保持平衡。如此，孩子們發(fā)現(xiàn)，未知數(shù)不僅可以在方程的左邊，也可以在方程的右邊，還可以既在方程的左邊，同時(shí)也在方程的右邊。盡管天平左右兩邊的砝碼換成了勾碼，但只要天平平衡，方程兩邊就相等，方程的等式性質(zhì)就不會(huì)發(fā)生變化。一旦孩子們對(duì)方程有了這樣的理性認(rèn)識(shí)，在后續(xù)學(xué)習(xí)解方程時(shí)，他們對(duì)方程中未知數(shù)的位置，對(duì)于靈活運(yùn)用、反復(fù)運(yùn)用等式的性質(zhì)解方程都會(huì)游刃有余。在這里，筆者充分利用天平建構(gòu)了方程中等號(hào)的關(guān)系性質(zhì)，發(fā)展了兒童關(guān)于等號(hào)的關(guān)系解釋，讓兒童識(shí)別了方程中等號(hào)的關(guān)系結(jié)構(gòu)，讓兒童洞識(shí)了方程的數(shù)學(xué)本質(zhì)，由此引領(lǐng)兒童的準(zhǔn)變量思維，發(fā)展兒童的代數(shù)思維。

總之，在兒童數(shù)學(xué)教學(xué)中，算術(shù)思維是兒童的現(xiàn)實(shí)發(fā)展水平 ，而代數(shù)思維是兒童的可能發(fā)展水平?；跍?zhǔn)變量思維的誘導(dǎo)，能夠?qū)和伤阈g(shù)思維積極導(dǎo)向代數(shù)思維。因此，準(zhǔn)變量思維完全可以看成是小學(xué)算術(shù)思維向初中代數(shù)思維的積極過渡，其操作核心是運(yùn)用算術(shù)中所隱含的代數(shù)結(jié)構(gòu)、關(guān)系，對(duì)算術(shù)問題展開簡(jiǎn)單初步的代數(shù)式思考。（作者單位：江蘇省啟東市桂林小學(xué)）

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