黃梓怡

【摘要】學(xué)生在初中階段從小學(xué)的直觀、操作性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)向理性思維、演繹推理、證明性學(xué)習(xí)，因此數(shù)學(xué)課程中應(yīng)當(dāng)注意培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)幾何直觀能力，在動(dòng)手畫圖中感知幾何直觀，在分析圖形中培養(yǎng)幾何直觀，利用數(shù)形結(jié)合解答數(shù)學(xué)題時(shí)應(yīng)用幾何直觀思想，從而幫助學(xué)生擴(kuò)寬數(shù)學(xué)思維，解決學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)遇到的困難。

【關(guān)鍵詞】幾何直觀 畫圖 數(shù)形結(jié)合

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2018）11-0135-02

引言

幾何直觀是數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)里十大核心概念之一，幾何直觀通俗講就是將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題利用圖形描繪、分析而使其變得簡(jiǎn)單、形象，數(shù)學(xué)的精髓在于數(shù)學(xué)知識(shí)中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，通過(guò)“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”，幾何直觀思想可以有助于學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在小學(xué)階段學(xué)生的思維水平離不開(kāi)具體事物的支持，數(shù)學(xué)問(wèn)題具體化，問(wèn)題就容易理解。那么中學(xué)階段學(xué)生思維慢慢向形式化階段靠攏，用數(shù)學(xué)抽象思維代替數(shù)學(xué)直觀，就需要培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的幾何直觀。因此幾何直觀在整個(gè)數(shù)學(xué)中也有著重要的作用和廣泛的應(yīng)用。

一、繪畫圖形，感知幾何直觀

布魯納關(guān)于兒童智力發(fā)展的研究表明，兒童的認(rèn)知發(fā)展需要經(jīng)歷三個(gè)發(fā)展階段：動(dòng)作認(rèn)知（操作水平）、圖形認(rèn)知（表象水平）和符號(hào)認(rèn)知（分析水平）。在小學(xué)階段中學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解往往通過(guò)實(shí)物觀察，而步入初中階段對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維要求就更高。不管是教科書中的例題出現(xiàn)還是思想方法的運(yùn)用，都體現(xiàn)出幾何直觀的思維之重要。教師在課堂上要充分挖掘教學(xué)精髓，敢于發(fā)展學(xué)生的空間想象能力，敢于畫出對(duì)習(xí)題理解所得到的圖形，引導(dǎo)學(xué)生把看似復(fù)雜的語(yǔ)言文字用簡(jiǎn)單明了的數(shù)學(xué)圖形或者符號(hào)表示出來(lái)，這樣問(wèn)題與條件關(guān)系就可以理清，問(wèn)題就能迎刃而解。

例如（2017陜西西安三十九中，13）學(xué)生在學(xué)習(xí)平行四邊形的應(yīng)用時(shí)，在平行四邊形ABCD中，AB=5，BC=4， ∠DAB=60°，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥DC，垂足為E，則求OE的長(zhǎng)度？這道題學(xué)生在沒(méi)有圖形的情況下是無(wú)法理解題意從而進(jìn)行解答，教師要提示學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)工具畫出圖形，在繪畫圖形的的過(guò)程中不單單是純粹的畫圖，也是一種加深理解題意的方式。

在直觀圖的支撐下，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察直觀圖，想求出OE的長(zhǎng)度就要轉(zhuǎn)化到三角形中，那么在三角形DOC中無(wú)法找到相應(yīng)的條件去解決問(wèn)題，通過(guò)引導(dǎo)回憶平行四邊形的性質(zhì)可以得到延長(zhǎng)EO交AB于點(diǎn)F，這時(shí)EF就是平行四邊形的高，求OE，就轉(zhuǎn)換成求平行四邊形的高，如圖所示：

而已知條件給出∠DAB=60°，求平行四邊形的高就接著轉(zhuǎn)化成過(guò)點(diǎn)D的高，這樣已知AD=4，∠DAB=60°數(shù)形結(jié)合可以得出DG的長(zhǎng)，從而可以求出OE的長(zhǎng)度。學(xué)生通過(guò)自己的動(dòng)手繪圖在解決問(wèn)題時(shí)有一個(gè)更清晰的思路，學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)看圖形比讀文字更快速獲取已知條件，使學(xué)生真切體驗(yàn)到運(yùn)用幾何直觀的方便快捷。對(duì)幾何直觀有了最基本的認(rèn)識(shí)，初步體驗(yàn)到幾何直觀在解題中的應(yīng)用。

二、分析圖形，培養(yǎng)幾何直觀

新課標(biāo)提出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問(wèn)題，借助幾何直觀，可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果?！碑?dāng)學(xué)生學(xué)會(huì)根據(jù)題意畫圖后還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，還需要學(xué)生學(xué)會(huì)識(shí)圖、讀圖、分析圖，對(duì)題中出現(xiàn)的已知信息進(jìn)行自我組合，結(jié)合圖形找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，從而順利解答題目。

例如（2017黑龍江哈爾濱，20）如圖在矩形ABCD中，M為BC邊上的一點(diǎn)，連接AM，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AM，垂足為E，若DE=DC=1，AE=2EM，則BM的長(zhǎng)是多少？題中給出圖形和已知條件這時(shí)需要學(xué)生獨(dú)立思考分析圖形由已知條件能否創(chuàng)造條件去解決問(wèn)題。

師：題中要求求出BM的長(zhǎng)度？而給出的條件是，DE=DC=1，AE=2EM，那么通過(guò)這些條件可以得到什么？（學(xué)生這時(shí)候一般情況下得不到什么結(jié)論）這時(shí)老師繼續(xù)引導(dǎo)畫一條輔助線，連接DM。

生（觀察這條輔助線）：可以得到EM=CM，因?yàn)椤螪EM=90°，∠DCM=90°，DE=DC=1，△DEM和△DCM全等，得出EM

=CM。

師：僅僅找到的CM數(shù)量關(guān)系是不夠的，能否找到的CB數(shù)量關(guān)系？

生1：BC=AD轉(zhuǎn)化成求AD的長(zhǎng)度。

生2：用方程思想設(shè)未知數(shù)表達(dá)CB的數(shù)量關(guān)系。

師：同學(xué)們的這些想法都非常好，能不能大家討論一下看怎么結(jié)合方程思想去表示出CB或者AD？

經(jīng)過(guò)一番討論后老師跟著學(xué)生的思路假設(shè)CM=EM=x，這時(shí)可以根據(jù)題中已知條件寫出AE=2x，從而通過(guò)勾股定理表達(dá)出AD2=1+4x2。這時(shí)候同學(xué)們會(huì)發(fā)現(xiàn)依靠這一個(gè)式子解不出未知數(shù)的值，需要繼續(xù)尋找相關(guān)等量關(guān)系，老師提示學(xué)生觀察圖形AD和BM分別在△AED和△MBA中，是不是可以證明這兩個(gè)三角形全等或者相似呢？學(xué)生經(jīng)過(guò)提示證明出這兩個(gè)三角形全等，因此MA=AD=3x，因此得出AD2=1+4x2=9x2，從而解出方程得到BM的長(zhǎng)度。

解答問(wèn)題過(guò)程中單單看文字經(jīng)常是無(wú)從下手，訓(xùn)練學(xué)生畫出圖形以后數(shù)形結(jié)合，根據(jù)圖形里所隱藏的豐富的數(shù)學(xué)信息，更準(zhǔn)確的找出每一個(gè)數(shù)量關(guān)系。既可以為學(xué)生的獨(dú)立動(dòng)手能力打下基礎(chǔ)，又可以快速理清題目的數(shù)學(xué)思路。學(xué)生的幾何直觀培養(yǎng)和訓(xùn)練是一個(gè)過(guò)程，不能急于求成，當(dāng)學(xué)生解題遇到瓶頸，教師應(yīng)當(dāng)有意識(shí)的引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用繪圖輔助解題。

三、數(shù)形相輔，發(fā)展幾何直觀

數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)抽象而又復(fù)雜，當(dāng)數(shù)學(xué)的抽象用直觀明了的幾何圖形表達(dá)出來(lái)，那么學(xué)生在解題道路上越走越輕松，有了數(shù)與形的相輔相成，相互轉(zhuǎn)化，數(shù)學(xué)可以突破理解題意的難點(diǎn)，培養(yǎng)出更寬闊的數(shù)學(xué)思維，有助于學(xué)生一題多解、一題多變，通過(guò)圖形的變化，培養(yǎng)其創(chuàng)造精神和豐富的空間想象能力。

例如（2015重慶巴南，12）矩形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，點(diǎn)D為對(duì)角線OB的中點(diǎn)，反比例函數(shù)y=■在第一象限內(nèi)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，且分別交AB、BC于E、F兩點(diǎn)，若四邊形BEDF的面積為6，則k的值是多少？

在圖形的輔助下，教師適當(dāng)?shù)丶右詥l(fā)，從問(wèn)題入手用逆向思想尋找已知條件，問(wèn)題是求k的值，也就是要求反比例函數(shù)，由圖像觀察發(fā)現(xiàn)反比例函數(shù)上有三個(gè)點(diǎn)分別是點(diǎn)F、D、E，求出這三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)也就可以得出反比例函數(shù)的表達(dá)式了。在已知條件中給出點(diǎn)D是OB的中點(diǎn)，那么教師在這個(gè)地方要提問(wèn)學(xué)生點(diǎn)D的坐標(biāo)和點(diǎn)A坐標(biāo)、點(diǎn)B坐標(biāo)都有什么關(guān)系？學(xué)生會(huì)靠攏老師提問(wèn)的方向去思考這些點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，于是點(diǎn)D在反比例函數(shù)圖像上可以得出假設(shè)點(diǎn)Dm， ，那么隨之就可以寫出點(diǎn)，點(diǎn)A（2m， 0），同時(shí)我們也可以看出點(diǎn)F和點(diǎn)C的縱坐標(biāo)相等，點(diǎn)E和點(diǎn)A的橫坐標(biāo)相等，帶入反比例函數(shù)解析式即可寫出這兩點(diǎn)坐標(biāo)，即，回到題干中剩下一個(gè)條件沒(méi)有用上，四邊形的面積再次通過(guò)圖形觀察出是由△FDB和△BDE的面積和構(gòu)成，轉(zhuǎn)化成求兩個(gè)三角形的面積，三角形上的點(diǎn)之間的距離可以得出三角形的底邊和高，從而構(gòu)成一個(gè)含有m和k的方程，即=6求出了k的取值。

這道題同樣體現(xiàn)了圖形的重要性，復(fù)雜的運(yùn)算推理通過(guò)直角坐標(biāo)系的建立變得清晰簡(jiǎn)潔，這種簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建跳出了題目本身的繁雜，讓問(wèn)題迎刃而解。

總結(jié)

作為數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)在熟知數(shù)學(xué)教材的同時(shí)，對(duì)教材編寫者的良苦用心有基本的了解，將幾何直觀的思維有意識(shí)地引導(dǎo)、潛移默化地滲透進(jìn)學(xué)生的腦海里。讓學(xué)生逐漸形成幾何直觀的意識(shí)和能力，用幾何直觀地思想方法對(duì)數(shù)學(xué)的一題多變、一題多解中的靈活性有更強(qiáng)的解決能力，真正做到舉一反三、事半功倍。充分調(diào)動(dòng)學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性，給數(shù)學(xué)教學(xué)帶來(lái)更好的效果。

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