張圍

【摘 要】數(shù)學(xué)中兩大研究對(duì)象“數(shù)”與 “形”的矛盾統(tǒng)一是數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)在因素，數(shù)形結(jié)合是貫穿于數(shù)學(xué)發(fā)展歷史長(zhǎng)河中的一條主線，并且使數(shù)學(xué)在實(shí)踐中的應(yīng)用更加廣泛和深入。一方面，借助于圖形的性質(zhì)可以將許多抽象的數(shù)學(xué)概念和數(shù)量關(guān)系形象化、簡(jiǎn)單化，給人以直覺的啟示。另一方面，將圖形問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，以獲得精確的結(jié)論。這種“數(shù)”與“形”的信息轉(zhuǎn)換，相互滲透，不僅可以使一些題目的解決簡(jiǎn)捷明快，同時(shí)還可以大大開拓我們的解題思路，為研究和探求數(shù)學(xué)問題開辟了一條重要的途徑。因此，數(shù)形結(jié)合不應(yīng)僅僅作為一種解題方法，而應(yīng)作為一種重要的數(shù)學(xué)思想，它是將知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的“橋”。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合；運(yùn)用

數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)（恩格斯語）。數(shù)學(xué)中兩大研究對(duì)象“數(shù)”與 “形”的矛盾統(tǒng)一是數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)在因素，數(shù)形結(jié)合是貫穿于數(shù)學(xué)發(fā)展歷史長(zhǎng)河中的一條主線，并且使數(shù)學(xué)在實(shí)踐中的應(yīng)用更加廣泛和深入。一方面，借助于圖形的性質(zhì)可以將許多抽象的數(shù)學(xué)概念和數(shù)量關(guān)系形象化、簡(jiǎn)單化，給人以直覺的啟示。另一方面，將圖形問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，以獲得精確的結(jié)論。這種“數(shù)”與“形”的信息轉(zhuǎn)換，相互滲透，不僅可以使一些題目的解決簡(jiǎn)捷明快，同時(shí)還可以大大開拓我們的解題思路，為研究和探求數(shù)學(xué)問題開辟了一條重要的途徑。因此，數(shù)形結(jié)合不應(yīng)僅僅作為一種解題方法，而應(yīng)作為一種重要的數(shù)學(xué)思想，它是將知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的“橋”。而課堂中多媒體的應(yīng)用更有利于體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，有利于突破教學(xué)難點(diǎn)，有利于動(dòng)態(tài)地顯示給定的幾何關(guān)系，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)愉快的課堂教學(xué)氣氛，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)，愛學(xué)數(shù)學(xué)。

一、“數(shù)”“形”結(jié)合是推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力

（1）“數(shù)”產(chǎn)生于各種“形”的計(jì)算， “數(shù)”又借助于“形”得以記錄、使用、計(jì)算。解決“形”的問題可使用“數(shù)”作為工具，而“數(shù)”的關(guān)系可以用“形”來證明。

例如解析幾何中幾何問題的代數(shù)化，就是用代數(shù)方法解決幾何問題，如關(guān)于直線斜率、關(guān)于距離、關(guān)于線段定比分點(diǎn)等等?！敖馕鰩缀巍边@個(gè)名詞本身就意味著“解析方法”與“幾何方法”的結(jié)合，而正是這種結(jié)合開創(chuàng)了數(shù)學(xué)的新局面。

（2）對(duì)“形”的相互關(guān)系的比較、度量，促進(jìn)了“數(shù)”的概念的發(fā)展，豐富了計(jì)算方法。典型例子是無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)：正方形的邊長(zhǎng)與其對(duì)角線的長(zhǎng)度之間不存在公度線段，即不存在一條線段？琢，用它去量一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)及其對(duì)角線的長(zhǎng)都正好得到整數(shù)倍，由此導(dǎo)致無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)。一些代數(shù)恒等式也可由幾何方法給出證明，例如，利用下圖，可以導(dǎo)出代數(shù)恒等式

二、數(shù)形結(jié)合在教學(xué)中的運(yùn)用

“數(shù)無形時(shí)不直觀，形無數(shù)時(shí)難入微”道出了數(shù)形結(jié)合的辯證關(guān)系，數(shù)形結(jié)合簡(jiǎn)言之就是：見到數(shù)量就應(yīng)想到它的幾何意義，見到圖形就應(yīng)想到它的數(shù)量關(guān)系。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合對(duì)啟發(fā)思路，理解題意，分析思考，判斷反饋都有著重要的作用。數(shù)形結(jié)合滲透在中學(xué)數(shù)學(xué)的每個(gè)部分，根據(jù)數(shù)形結(jié)合的觀點(diǎn)，可以通過對(duì)數(shù)量關(guān)系的討論來研究圖形的性質(zhì)，也可利用圖形的性質(zhì)來反映變量之間的相互關(guān)系，因此數(shù)形結(jié)合可以使數(shù)和形相互啟發(fā)、相互補(bǔ)充、相互印證。為了培養(yǎng)學(xué)生形成數(shù)形結(jié)合的思維習(xí)慣，在初一代數(shù)教學(xué)中就要有意識(shí)地滲透數(shù)形結(jié)合的思想和方法。

在《有理數(shù)》一章中，數(shù)軸就是把數(shù)和形結(jié)合在一起的內(nèi)容。這樣，在討論相反數(shù)、絕對(duì)值、倒數(shù)的幾何意義時(shí)，形象易記。下面具體分析一下。

（1）利用圖象，創(chuàng)造學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)情境。初一學(xué)生通過溫度計(jì)引出數(shù)軸概念，能夠具體、直觀地掌握負(fù)數(shù)的意義。利用數(shù)軸把點(diǎn)與數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系揭示出來，這樣數(shù)量關(guān)系常?？梢酝ㄟ^幾何圖形做出直觀地反映和描述。

（2）相反數(shù) 在數(shù)軸上，相反數(shù)就是在原點(diǎn)兩旁到原點(diǎn)距離相等的兩個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)。零的相反數(shù)是它本身即原點(diǎn)。如圖：

（3）絕對(duì)值在數(shù)軸上，一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)離開原點(diǎn)的距離。在下圖中，A點(diǎn)到原點(diǎn)的距離比B點(diǎn)到原點(diǎn)的距離大。

（4）倒數(shù)在數(shù)軸上表示a與1的位置關(guān)系?？梢越Y(jié)合數(shù)軸來加以分析，把0、+1、-1作為分界點(diǎn)，然后再作討論。

觀察是人們認(rèn)識(shí)客觀事物的開始，直觀是圖形的基本特征。例如，利用數(shù)軸可以比較兩個(gè)有理數(shù)大小，學(xué)生在學(xué)習(xí)兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小時(shí)，常常轉(zhuǎn)不過符號(hào)關(guān)，利用數(shù)軸學(xué)生可以準(zhǔn)確、快速地確定結(jié)論。相反數(shù)概念的引入、理解，都依賴“數(shù)軸”，特別是教材第一次出現(xiàn)字母表示數(shù)：數(shù)？琢的相反數(shù)是-？琢?xí)r，學(xué)生會(huì)出現(xiàn)思維難點(diǎn)，利用數(shù)軸可以幫助學(xué)生理解：？琢可以是正數(shù)、0、負(fù)數(shù)。

數(shù)、形在一定的條件下的相互轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)中最常見的規(guī)律之一，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容中，把數(shù)和形結(jié)合起來研究的方法貫穿始終。在介紹函數(shù)概念時(shí)，介紹集合-用文氏圖表示集合的關(guān)系；用數(shù)軸的全體或部分來表示定義域、值域，也是幾何形象；函數(shù)關(guān)系與圖象--用平面點(diǎn)集組成的曲線來描述函數(shù)的性質(zhì)：奇偶性--關(guān)于原點(diǎn)或坐標(biāo)軸的對(duì)稱性，單調(diào)性--圖象的走勢(shì)升降，最大值-最高點(diǎn)，最小值-最低點(diǎn)，有界性--是否存在平行線或直線，周期性--圖象能否有規(guī)律地重復(fù)出現(xiàn)或疊合等等。在代數(shù)的核心內(nèi)容函數(shù)教學(xué)中，充滿了幾何語言、幾何形象的描述及其對(duì)我們理解應(yīng)用的幫助。

三角函數(shù)、復(fù)數(shù)、微積分與立體幾何等內(nèi)容中，都可以利用數(shù)形結(jié)合，幫助我們更快、更好地解決問題。在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合已成為一條重要的教學(xué)原則。

三、數(shù)形結(jié)合在解題中的運(yùn)用

作為解題方法，“數(shù)形結(jié)合”實(shí)際上包含兩方面的含義：一方面對(duì)“形”的問題，引入坐標(biāo)系或?qū)ふ移鋽?shù)量關(guān)系式，用“數(shù)”的分析加以解決；另一方面對(duì)于數(shù)量間的關(guān)系問題，分析其幾何意義，借助形的直觀來解。

1.善于觀察圖形，以揭示圖形中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系。

2.正確繪制圖形，以反映圖形中相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系。

3.切實(shí)把握“數(shù)”與“形”的對(duì)應(yīng)關(guān)系，以圖識(shí)性，以性識(shí)圖。

四、多媒體技術(shù)為數(shù)形結(jié)合的實(shí)施架設(shè)了橋梁

對(duì)于一些較復(fù)雜、抽象、需有一定想象能力、老師光用嘴和筆說不清的問題，借助于多媒體將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)引入課堂教學(xué)，可以活躍課堂氣氛，減輕教學(xué)負(fù)擔(dān)，激發(fā)學(xué)生的探究欲望，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、猜想、發(fā)現(xiàn)的能力。多媒體技術(shù)使數(shù)學(xué)的實(shí)驗(yàn)手段豐富起來。計(jì)算機(jī)強(qiáng)大的計(jì)算、圖形、圖像、動(dòng)畫等能力，能為抽象思維提供直觀模型，使數(shù)學(xué)關(guān)系的靜態(tài)結(jié)構(gòu)表現(xiàn)為時(shí)空中的動(dòng)態(tài)過程。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)苁箤W(xué)生加深對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解，通過相應(yīng)的技術(shù)手段，為數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)提供了絕好的工具和途徑。學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)，能探索數(shù)學(xué)規(guī)律，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)命題，提高創(chuàng)新能力。

例如，利用《幾何畫板》畫圖后，馬上就可以測(cè)算出數(shù)值，并能把圖形變化過程中的數(shù)量關(guān)系的變化（哪怕是微小的變化）直觀地顯示出來，數(shù)與形的變化同時(shí)進(jìn)行，數(shù)形結(jié)合，為數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)提供了絕好的試驗(yàn)工具，這在傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)中根本無法辦到，《幾何畫板》是幫助學(xué)生學(xué)通數(shù)學(xué)的有效工具。

例如，利用計(jì)算機(jī)做下列數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，學(xué)生一人一機(jī)，機(jī)內(nèi)裝有顯示一般正弦函數(shù)y=Asin（？棕x+？準(zhǔn)）的圖象的應(yīng)用軟件（操作界面見圖2）。啟動(dòng)該軟件后，學(xué)生可用鼠標(biāo)任意改變畫面中的點(diǎn)C、點(diǎn)J、點(diǎn)F的位置，亦即改變參數(shù)A、？棕、？準(zhǔn)的值，使圖象產(chǎn)生相應(yīng)的變化。學(xué)生手、眼、腦并用，通過考察函數(shù)式y(tǒng)=Asin（？棕x+？準(zhǔn)）中三個(gè)參數(shù)A、？棕、？準(zhǔn)對(duì)函數(shù)圖象的影響，對(duì)圖象的振幅變換、周期變換、相位變換產(chǎn)生感性認(rèn)識(shí)。整個(gè)過程直觀、形象，充分顯現(xiàn)數(shù)與形相互依賴的變化過程，對(duì)于學(xué)生更好的理解和掌握正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，從理論上探究相關(guān)的數(shù)學(xué)規(guī)律打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

下面是一例發(fā)現(xiàn)三角形內(nèi)接矩形的面積變化規(guī)律的“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”的做法。如圖3，在△ABC中，E是OB邊上的任意一點(diǎn)，以E為頂點(diǎn)作△ABC的內(nèi)接矩形EFGH，使矩形的一邊EH在OB上，使點(diǎn)E在OB上運(yùn)動(dòng)，矩形面積隨之變化。設(shè)OE為x，建立x與矩形面積間的函數(shù)關(guān)系，讓學(xué)生觀察，當(dāng)x變化時(shí)，矩形面積的變化特點(diǎn)及是否有最大值。然后顯示當(dāng)E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的動(dòng)點(diǎn)K（x，S）（S為矩形面積）的運(yùn)動(dòng)軌跡（其軌跡為開口向下的一段拋物線）。最后改變△ABC的形狀，研究△ABC的底邊BC或BC邊上的高變化時(shí)，對(duì)拋物線形狀有什么影響。計(jì)算機(jī)強(qiáng)大的圖形、圖像功能，把“數(shù)”與“形”緊緊結(jié)合在一起，使抽象的數(shù)學(xué)變得形象、生動(dòng)、有趣，大大激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和認(rèn)知主體作用的發(fā)揮。

總之，教師可以通過各種形式有意識(shí)的使學(xué)生領(lǐng)會(huì)到“數(shù)形結(jié)合”方法具有形象、直觀易于說明等優(yōu)點(diǎn)，并初步學(xué)會(huì)用“數(shù)形結(jié)合”觀點(diǎn)去分析問題，解決問題。但如何進(jìn)一步提高數(shù)形結(jié)合法解題的能力，必須積累解題的經(jīng)驗(yàn)，才能享受到成功的喜悅。

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