駱玉鳳 于波

[摘要] “問題解決”一直是數(shù)學教育關注與研究的重點，而學生對數(shù)學問題的理解是問題解決的關鍵。數(shù)學問題理解是學習者以問題信息的輸入和編碼為基礎，根據(jù)已有的知識和經(jīng)驗建構內部表征的過程。在信息加工理論的視角下，結合波利亞問題解決過程，構建小學生數(shù)學問題理解的認知過程：問題輸入、選擇性知覺、問題編碼、問題表征等，并獲得有關數(shù)學問題理解教學的啟示。

[關鍵詞]問題理解；小學數(shù)學；認知過程；問題解決教學

[中圖分類號]G642.4[文獻標識碼]A[文章編號]1005-4634（2018）01-0120-05

0引言

自上世紀80年代初，美國數(shù)學教師委員會提出“問題解決”應作為數(shù)學教育的核心開始?！皢栴}解決”不僅成為數(shù)學教育研究的重要內容，而且還是數(shù)學教育的主要內容與目標。在我國，“問題解決”作為義務教育數(shù)學課程標準的目標之一，貫穿在數(shù)學課程的學習過程中。

在實際的數(shù)學“問題解決”教學中，教師以解題策略與方法為重點，忽視了學生對數(shù)學問題的理解，導致學生常常因沒有理解，而不能真正解決問題，最終導致學生無法從數(shù)學問題解決中獲得思維的鍛煉、知識的鞏固、能力的提高。學生缺少對問題的理解表現(xiàn)在如下幾個方面：（1）解決問題方法呆板，無法對數(shù)學問題形成正確且完整的表征。（2）學生的知識的遷移能力較弱，不能實現(xiàn)有效地舉一反三，雖然做了許多練習題，但只是簡單的公式套用。問題解決的教學導致學生常常以將問題中的數(shù)字套進公式為原則，有時使學生知其然而不知所以然。這種現(xiàn)象就讓研究者不得不思考：學生是如何理解數(shù)學問題？教師應如何幫助學生理解數(shù)學問題？

1問題理解

數(shù)學的產(chǎn)生與發(fā)展圍繞著問題。關于問題解決的定義眾說紛紜，常與解決問題、解題、應用題相聯(lián)系。問題解決又稱為解決問題，是在已有知識經(jīng)驗基礎上的一系列有目標指向的認知操作過程，問題解決的過程是學生主動認知、積極參與的過程。

波利亞在《怎樣解題》一書中提到解題的第一環(huán)節(jié)就是“必須理解題目”，對自己所不理解的問題做出回答是不明智的，需要思考問題中的“未知量是什么？已知數(shù)據(jù)是什么？條件是什么？條件有可能滿足嗎？條件是否足以確定未知量？或者它不夠充分？或者多余或者矛盾？”[1]。理解問題作為解決問題的第一步顯得尤為關鍵。

由于對“理解”的認識與重視程度不同，所以存在著不同的觀點。如行為主義強調刺激與反應之間的聯(lián)結，大多不重視對理解的研究；認知主義強調個體的內部認知，重視理解性學習，認為“理解”就其實質而言，是將任務轉換為內部心理表征的過程，也就是在短時記憶中形成問題表征[2]。而問題表征的過程是意義賦予的過程，把新的問題內容與主體已有知識和經(jīng)驗聯(lián)系起來，注重主體的思維過程。根據(jù)認知主義對“理解”的概述，筆者將數(shù)學問題理解定義為學習者以問題信息（言語、符號、情景等）的輸入和編碼為基礎，根據(jù)已有知識和經(jīng)驗建構內部表征的過程。

數(shù)學問題解決不能簡單地理解為數(shù)學法則的運用，它是學生思維過程的體現(xiàn)。小學生思維方式具有極大的可塑性，數(shù)學教學要把握好此特點。數(shù)學問題的解決首先要理解問題，否則很難順利有效地解決問題。理解問題是提高數(shù)學教學效果的必經(jīng)之路，是避免使用題海戰(zhàn)術的法寶，特別是當教授對象為正處于思維初級階段的小學生時?；仡檾?shù)學問題解決的研究文獻，發(fā)現(xiàn)有關數(shù)學問題解決的研究多集中在問題解決的策略、能力與表現(xiàn)分析上，而忽視了對問題理解的思考。

2問題理解的認知過程

要對學生解決數(shù)學問題的內部與外部條件進行系統(tǒng)的分析，必須從學生學習行為的過程出發(fā)。阿特金森（Atkinson）與謝夫林（Shiffrin）提出將學習設想為由知覺與記憶之間的一系列階段構成的信息加工的基礎，并形成了階段信息加工模型[3]，如圖1所示。在這個信息加工模型中，感覺接受器把來自環(huán)境的信息傳輸?shù)街袠猩窠?jīng)系統(tǒng)。信息在感覺登記器暫時登記，然后轉換成可識別的模式，進入短時記憶，在這一階段出現(xiàn)的信息轉換被稱為選擇性知覺，在短時記憶中的信息經(jīng)過編碼以一定的方式表征。

這個信息加工學習論的學習與記憶模型，得到了當代研究者的廣泛認可，并且它融合了當代學習理論的主要觀點。感覺接收器到感覺登記器是一個信息的輸入過程，當信息輸入后，主體會選擇性地知覺信息，經(jīng)過“過濾”的信息進入短時記憶進行編碼存儲。通過對學習模型的分析以及認知主義對“理解”的概述，筆者認為小學生對數(shù)學問題理解的認知過程要經(jīng)過以下過程：問題輸入→選擇性知覺→問題編碼→問題表征等，具體如圖2所示。

2.1問題輸入

問題輸入是指問題解決者必須通過感受接收器（視覺、聽覺等）接受刺激，將所感知的信息傳入腦部神經(jīng)系統(tǒng)，同時意識到自己正在面臨的問題。在這個環(huán)節(jié)中，學生需要運用多種感官接收問題傳達的信息，包括“已知數(shù)據(jù)”“未知量”“條件”。問題呈現(xiàn)的方式和情景影響學生對問題的注意。在問題輸入環(huán)節(jié)，問題的刺激程度和學生的注意力都會影響下面步驟的進展情況。其中，學習者的注意力是進一步信息加工的前提條件。

2.2選擇性知覺

選擇性知覺就像一個過濾器，是問題解決者根據(jù)自己的已有經(jīng)驗、認知風格和解決問題的需要等方面，有目的地把刺激信息作為知覺的對象進行信息加工的過程。選擇性知覺決定了認知主體將什么作為主要部分，將剩余的作為主體的背景，從而使知覺的對象能夠得到清晰的反映，而背景只能得到比較模糊的反映。選擇性知覺決定著問題中的哪些信息、多少信息會進入學習者的短時記憶中進行編碼。波利亞強調，學生在理解問題時，應該將“已知數(shù)據(jù)”“未知量”“條件”以及它們之間的關系作為關注的主體，同時還應該考慮條件是否充分或者多余的情況。

2.3問題編碼

問題編碼是指對工作記憶中的問題信息進行加工并以一定形式儲存的過程，其實質是對問題信息賦予意義的過程。問題解決者的已有知識、經(jīng)驗、記憶力等因素影響問題的編碼，因此將當前問題與已有知識之間建立連接能夠幫助問題解決者理清問題信息之間的關系，進而促進問題解決者對信息的有意義加工，比如已知數(shù)據(jù)與未知量、未知量與條件的關系等，同時也有益于選擇適當?shù)姆绞絻Υ妗?img alt="" src="https://cimg.fx361.com/images/2018/03/22/jayy201801jayy20180122-3-l.jpg" style=""/>

2.4問題表征

問題的內部表征是通過問題解決者對問題進行選擇性知覺后，對進入工作記憶存儲的信息以一定的方式形成問題空間的過程，也是把外部的物理刺激轉變?yōu)閮炔啃睦锓柕倪^程?！皢栴}表征既是一種過程，即對問題的理解和內化；也是問題理解的一種結果，即問題在頭腦中的呈現(xiàn)方式。問題表征質量的高低將會直接影響到問題的解決?！盵4]問題內部表征的形式有兩種：語言表征和表象表征，特別說明的是，在工作記憶中的問題信息是當前激活的對象，問題表征是將理解了的問題包含的信息，以語言信息與圖像信息的形式存在。在教學中通常體現(xiàn)在學生借助語言或圖像復述問題，以了解學生理解問題的情況。

整個認知過程需要學生執(zhí)行控制和預期的參與，執(zhí)行控制是指學生已有的知識對現(xiàn)在學習過程的影響，預期是指學生的動機系統(tǒng)對學習過程的影響。整個學習過程都是在“執(zhí)行控制”和“預期”兩個結構的作用下進行，體現(xiàn)了學生的主體性與主觀能動性。

3“分數(shù)混合運算”問題理解的過程分析

筆者以北京師范大學版小學六年級上冊第二單元“分數(shù)的混合運算”的例題一為例，對數(shù)學問題的理解過程進行分析。“分數(shù)的混合運算（一）”所要達到的教學目標是讓學生在解決有關分數(shù)乘除混合運算的具體問題的過程中，會用畫圖的方式直觀呈現(xiàn)數(shù)量關系；結合具體情境體會分數(shù)混合運算的順序與整數(shù)混合運算一樣，會正確計算分數(shù)混合運算；能解決有關分數(shù)混合運算的簡單實際問題。需要解決的數(shù)學問題，例題如圖3所示。

由圖3所示，這個數(shù)學問題呈現(xiàn)的是將數(shù)學問題寓于一定的現(xiàn)實情境，學生需要從情境中選擇問題信息，將問題信息與已知的認知建立聯(lián)系。根據(jù)學生問題理解的認知過程分析如下。

第一步，問題輸入，問題的呈現(xiàn)方式影響學生的輸入方式，學生通過視覺接受圖文所帶來的刺激意識到一個問題的存在，“航模小組多少人？”，除此以外，整個圖文所傳達的信息都是學生可能接收到的，包括“我們氣象小組12人”等，這時候學生對問題的態(tài)度與注意程度也影響問題輸入。

第二步，選擇性知覺，其作用體現(xiàn)在學生將問題的哪些部分當作認知的主體。如果學生將圖畫看成是主體，那么文字就是背景，其接收的信息就是來自圖片情景，由圖3呈現(xiàn)的航模小組的人數(shù)為3，得出答案。反之，如果其將文字作為知覺的主要對象，圖片就是文字的背景，而在文字表達中，也存在選擇性知覺，學生傾向于將他所熟悉的作為主體。在例題中，學生需要知覺的文字對象有“氣象小組”“攝影小組”“航模小組”“12”“1/3”“3/4”等。

第三步，問題編碼，學生對工作記憶中有關的問題信息進行加工并以一定形式儲存。將選擇性知覺的信息通過與已有知識、經(jīng)驗之間建立聯(lián)系進行加工，等待提取、組織與處理。這個數(shù)學問題的編碼需要學習者理清問題信息之間的關系，已知數(shù)據(jù)與未知量、未知量與條件的關系等，如未知量是要得到航模小組多少人？航模小組與攝影小組之間、攝影小組與氣象小組之間的關系。因此，需要例題當中的關鍵信息，比如氣象小組12人、攝影小組是氣象小組的1/3、航模小組是攝影小組的3/4，存儲在工作記憶中。

第四步，問題表征，表征是學生對于進入工作記憶中的信息的組織方式，一般有言語表征與表象表征。由于該數(shù)學問題的條件與目標之間有較為復雜的關系，又加之此階段的學生處在具體到抽象思維的過渡階段，因此問題的表征主要引導學生畫關系圖，通過抽象直觀的表象進行表征，最終理解數(shù)學問題，具體如圖4所示。

預期和執(zhí)行控制也參與到小學生對數(shù)學問題的理解過程中。在例題中，如果學生認為自己有能力、有信心解決該問題，那么將在問題的理解處在積極主動的地位；反之，將會消極地排斥思考、理解問題。執(zhí)行控制主要體現(xiàn)在學生利用已有知識進行問題理解。學生類似的經(jīng)驗將利用遷移到該問題的解決當中。如果學生解決過類似的問題，那么學生采用同樣的方法可能也能夠解決此題。從整個過程可以看出，教學的重點不僅僅為要求學生能解決這個數(shù)學問題，而是能夠通過問題解決過程的教學，培養(yǎng)學生的理解能力與思維能力。

4教學啟示

教學的目的在于激活和支持內部學習過程。數(shù)學問題理解是依附于數(shù)學問題解決的教學進行的。因此，教師要扮演好引導者和促進者的角色，為學生的學習搭建平臺，優(yōu)化數(shù)學問題解決的教學設計。

4.1順應學生數(shù)學問題理解的認知過程

學生對數(shù)學問題的理解要經(jīng)歷數(shù)學問題輸入、選擇性知覺、問題編碼以及問題表征等過程，教師是學生學習的引導者、合作者與支持者，學生的學習需要教師教學的激活與支持。學生理解數(shù)學問題的任何階段都有其關鍵，當學生無法理解問題或者問題理解有困難時，教師需要明晰學生問題的理解過程，給學生提供理解的支持。首先，問題呈現(xiàn)的方式和情景影響問題輸入，問題呈現(xiàn)應直觀、清晰且符合小學生的認知水平。其次，選擇性知覺決定哪些信息成為加工的主體，教師可以根據(jù)學生對問題的語言描述與問題主要部分的提取判斷學生是否理解正確。波利亞指出在問題理解教學時，教師需要學生復述問題，學生應該能夠流暢地闡述該題目；學生還應該能指出題目的主要部分，即未知量、已知數(shù)據(jù)以及條件，因此教師千萬不能錯過這樣一些問題——已知數(shù)據(jù)是什么？條件是什么？學生應該仔細地、重復地從各個方面來考慮問題的主要部分。當學生對問題進行編碼時，教師需要通過與學生交流，判斷學生不能順利編碼的原因：是理不清問題的條件與條件之間、條件與目標之間的關系？還是由于信息量過大、關系復雜，難以將提取的信息儲存在工作記憶中？

4.2問題呈現(xiàn)要符合小學生的內部表征

數(shù)學問題包由文字、圖表、符號等構成，數(shù)學問題的理解其實也是對數(shù)學問題所呈現(xiàn)內容的理解，即能處理和加工數(shù)學言語、圖表、符號傳達的信息。其中，言語信息的掌握是關鍵，有助于學生獲得外部表征，也是內部表征所需的工具。問題呈現(xiàn)方式直接可以影響學生的問題理解和解決，問題呈現(xiàn)依賴于問題情境，當問題情境能夠刺激頭腦已有的圖式時，學生對問題能夠做出快速積極的反應。因此，恰當?shù)难哉Z信息、問題情境的創(chuàng)設可以提高學生的問題解決能力。在教學中，教師可以通過創(chuàng)設與學生有聯(lián)系的情境，呈現(xiàn)學生能夠理解的語言等，幫助學生順利地進行問題的內部表征。

4.3激活學生有益經(jīng)驗刺激編碼

學生已有知識、經(jīng)驗、記憶力等因素影響問題的編碼，因此數(shù)學的教學要注意在當前問題與已有知識、經(jīng)驗之間建立連接，以便能夠促進信息的有意義加工與儲存。學生的經(jīng)驗主要源于日常的生活經(jīng)歷與已經(jīng)解決了的問題。經(jīng)驗利于學習解決問題，既有可能幫助學生進行問題理解，又有可能阻礙學生的理解，比如思維定勢，當學生的思維陷入過去已經(jīng)獲得的無益經(jīng)驗時將無法繼續(xù)正確地理解問題。因此，在教學中需要調動學生有益的經(jīng)驗，將問題與已知知識建立有意義的聯(lián)系并進行加工，最后存儲在工作記憶中進行有效編碼，等待提取、組織與處理。

小學生的數(shù)學問題理解值得廣大數(shù)學教師關注。理解問題的重要性不僅僅在于更好地解決數(shù)學問題，而且在于培養(yǎng)學生良好的思維習慣與問題理解的能力。教師在問題解決教學設計時，知識的鞏固與運用固然重要，學生的認知水平與認知過程也需要特別關注。學生的認知是教學的起點，以學生的認知發(fā)展水平為基礎是因材施教的體現(xiàn)。因此，對小學生數(shù)學問題理解過程的探究能夠為教學提供一定支持。

參考文獻

[1] 波利亞.怎樣解題[M].北京：科學出版社，1982：6.

[2] 高文.教學模式論[M].上海：上海教育出版社， 2002：227.

[3] 羅伯特·米斯·加涅.教學設計原理[M].上海：華東師范大學出版社，2007：9.

[4] 胥興春，劉電芝.問題表征方式與數(shù)學問題解決的研究[J].心理科學進展， 2002，10（3）：264-269.