周康

摘 要：數(shù)學推理是由已知判斷推出未知結(jié)論的過程，數(shù)學推理主要包括合情推理和演繹推理。小學生數(shù)學推理需要情境、方法的支持，需要教師的呵護。教師要為學生數(shù)學推理搭建平臺、指引方向和提供線索，引導學生積極參與到推理活動中來。積累學生推理活動經(jīng)驗，引導學生感悟推理的思想方法，進而培育學生數(shù)學“核心素養(yǎng)”。

關鍵詞：數(shù)學教學；核心素養(yǎng)；推理能力

推理是學生數(shù)學學習的基本思維形式，也是數(shù)學教學的核心內(nèi)容?！读x務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》提出了十個核心詞，推理能力就是十個核心詞之一?！墩n標》要求要“將推理能力的培育貫穿于學生整個數(shù)學學習過程之中”。近年來，有專家認為，這十個核心詞就確證和表征著學生的數(shù)學“核心素養(yǎng)”。而東北師范大學史寧中教授甚至認為，數(shù)學的基本思想就是“抽象、推理與模型”，可見，推理在數(shù)學中的地位。那么，什么是“數(shù)學推理”？小學數(shù)學教學中如何培育學生的推理能力？

一、如何理解小學數(shù)學中的推理？

所謂“推理”，通俗地說就是由已知判斷（前提）推出未知判斷（結(jié)論）的過程。廣義地說，一切數(shù)學公式、定理和法則等都是推理的結(jié)果。換言之，任何數(shù)學知識都有存在的依據(jù)。狹義地看，推理是“從事實和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出一個命題的思維過程”。數(shù)學推理主要包括“合情推理”和“演繹推理”。其中，“合情推理”即是從已有事實出發(fā)，依憑數(shù)學直覺、數(shù)學已有知識經(jīng)驗，通過類比或者歸納等推斷某些結(jié)果的過程。顯然，合情推理又包括類比推理和歸納推理（包括“不完全歸納推理”和“完全歸納推理”）?！把堇[推理”即是從已有事實和確定的規(guī)則出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計算。應該說，推理的主要形式就是演繹推理。一般認為，合情推理是從特殊到一般的推理，而演繹推理是從一般到特殊的推理。

在小學數(shù)學教學中，合情推理應占據(jù)主導地位，這是由學生的年齡和心理特征所決定的。但在教學中，教師絕不能忽視學生演繹推理能力的培育。數(shù)學的本質(zhì)就是抽象、概括，因此，演繹推理是整個數(shù)學知識體系中推理的主導方式。通過演繹推理，學生能夠提煉數(shù)學的本質(zhì)屬性，能夠幫助學生去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里。只不過由于學生的思維尚處于具體形象思維階段，所以，小學數(shù)學教學中的推理以合情推理為主。此外，由于合情推理常常用來猜想，演繹推理常常用來證明，而小學生的想象力是豐富的，因此小學數(shù)學教學應當以合情推理為主。因此，在小學數(shù)學推理教學中，教師要容忍“不嚴格的清楚”，允許學生“大膽地猜測”，引導學生“小心地求證”（胡適語）。

二、小學階段如何培育學生的推理能力？

培育小學生的推理能力需要教師在日常教學中引導學生觀察、比較、聯(lián)想、猜測，甚至需要激發(fā)學生的數(shù)學靈感，引發(fā)學生的數(shù)學想象。合情推理有時猶如一個暗箱，是跳躍性、看不見的數(shù)學思維，是一種“敏感性精神”；而演繹推理需要將思維敞亮出來，需要學生清晰地表達、論證，是一種“幾何學精神”（帕斯卡爾語）。教學中，教師要根據(jù)知識的特質(zhì)和學生的具體學情，培育學生的數(shù)學推理能力。

1. 情境孕育，為學生的數(shù)學推理鋪平道路

小學生推理能力的培育需要情境的土壤。心理學研究表明，只有在“心理安全”和“心理自由”（羅杰斯語）的狀態(tài)下，學生才能展開有效的推理，尤其是具有發(fā)現(xiàn)性的合情推理。許多數(shù)學知識的發(fā)現(xiàn)，都是源于學生的自由想象。著名數(shù)學家龐加萊的研究告訴我們，人們頭腦中儲存了一種類似原子的數(shù)學概念或者思想，龐加萊稱之為“觀念原子”。當學生處于心理自由的狀態(tài)時，這些觀念原子就被激發(fā)，處于相互碰撞、相互組合的狀態(tài)，由此能夠誕生一系列靈感，這就是一種“科學的機敏”。

例如教學《圓的周長》，筆者用圓的一個外切正方形和一個內(nèi)接正六邊形，引發(fā)學生猜測圓的周長的大小。由于有圖形的支撐，學生可以展開深入的觀察、比較、猜想，學生之間在心理自由的狀態(tài)下掀起了“思維的風暴”。有學生認為，圓外的正方形的邊長正好是圓的直徑，所以圓外的正方形的周長是圓的直徑的四倍；有學生認為，圓內(nèi)正六邊形的邊長正好是圓的半徑，所以圓內(nèi)的正六邊形的周長是直徑的3倍。應該說，學生的數(shù)學表達是學生數(shù)學觀察、推理的結(jié)果。可以看出，這里的推理是“合情推理”與“演繹推理”的交織、融合。一方面，學生能夠洞察圓的直徑與正方形邊長和正六邊形邊長的關系，是一種數(shù)學直覺，可以認為是合情推理；另一方面，學生能夠?qū)A的直徑和正方形的周長以及正六邊形的周長聯(lián)系起來得出結(jié)論，這是邏輯思維的結(jié)果，是一種演繹推理。更有學生將大家的數(shù)學表達聯(lián)通起來思考，認為圓的周長應該比正方形的周長小，比正六邊形的周長大，即在正方形的周長和正六邊形的周長之間，這就是演繹推理了。

學生對數(shù)學知識存在著天然的好奇心和求知欲，教學中教師要在民主、平等的教學氛圍中搭建學生數(shù)學發(fā)現(xiàn)的“腳手架”，催生學生的數(shù)學猜想、發(fā)現(xiàn)。在這個過程中，學生能夠展開出神入化般的創(chuàng)造性思維活動。通過充分地醞釀、冥想，學生能夠形成出乎意料的發(fā)現(xiàn)，找尋到一種驚喜的感覺。

2. 方法催生，為學生的數(shù)學推理指引方向

學生的數(shù)學推理需要教師的助推，有時教師數(shù)學方法的點撥和數(shù)學思想的啟迪能夠為學生的數(shù)學推理提供線索。推理，有時就是要善于發(fā)現(xiàn)事物內(nèi)部的關系或者結(jié)構(gòu)。著名數(shù)學教育家波利亞認為，“數(shù)學不僅要教證明，也要教方法、教猜想”。教學中，教師可以這樣點撥學生，“猜測一下，它可能是？”“仔細觀察，你覺得可能怎樣？”“從整體上看，你有什么想法？”“深入地比較，你有怎樣的發(fā)現(xiàn)？”“操作一下，看看……”。方法的催生，能夠為學生的數(shù)學推理指引方向。

例如教學《平行四邊形的面積》，筆者首先和學生一起復習了“長方形的面積公式”“正方形的面積公式”，然后向?qū)W生出示了平行四邊形圖，圖上標有底、斜邊和高的長度。在此基礎上，學生對平行四邊形的面積形成了三種猜想：一是認為平行四邊形的面積用“底×斜邊”；二是認為平行四邊形的面積用“（底+斜邊）×2”；三是認為平行四邊形的面積用“底×高”。第二種猜想顯然是一種“偽猜想”，因為它不是算的平行四邊形的面積，而是算的平行四邊形的周長，因而被大家迅速否定。接著，“猜想一”和“猜想三”的學生分別說出了猜想的依據(jù)?！安孪胍弧钡膶W生認為，平行四邊形的框架可以通過推拉轉(zhuǎn)化成長方形，平行四邊形的底是長方形的長，平行四邊形的斜邊是長方形的寬，因為長方形的面積是長×寬，所以平行四邊形的面積是底×斜邊。“猜想三”的學生認為，可以將平行四邊形沿著高剪開，然后通過平移，轉(zhuǎn)化成長方形?；趯W生各自的理由，筆者出示了一個長方形的框架，然后慢慢斜拉，學生發(fā)現(xiàn)長方形漸漸演變成平行四邊形，“猜想一”的學生很興奮，但是隨著傾斜度的加大，學生直觀看到平行四邊形的面積越來越小，最后接近于0。于是，學生的“猜想一”被證偽。進而學生在“猜想三”的引導下，展開了實踐探索。數(shù)學實驗與演繹推理圓融，一方面，學生對平行四邊形進行剪、移、拼，另一方面，學生根據(jù)平行四邊形底、高與長方形的長、寬之間的關系，演繹出平行四邊形的面積公式。

教師突出平行四邊形和長方形之間的關系，為學生的合情推理和演繹推理提供線索。學生從對事物的表面特征轉(zhuǎn)向依據(jù)事物內(nèi)部的關系或結(jié)構(gòu)，在更高的思維層次上實現(xiàn)了平行四邊形和長方形之間的轉(zhuǎn)化。學生自覺地尋找平行四邊形和長方形深刻的本質(zhì)聯(lián)系，而這正是對學生啟蒙演繹推理所必需的。

3. 興趣呵護，為學生的數(shù)學推理提供動力

眾所周知，絕大部分小學生的推理都屬于合情推理，但合情推理中也有演繹的成分，這是因為合情推理有時需要借助于“證明和證偽（反駁）”。從某種意義上說，反駁本身就是一種演繹推理。學生清楚地知道，對于一個結(jié)論，只需要舉出一個反例，就能推翻它。在小學數(shù)學教學中，當學生的知識、經(jīng)驗和心智都不那么足夠時，教師要容忍學生在某些方面的“不嚴格的清楚”，呵護學生的推理興趣。只有這樣，才能為學生的數(shù)學推理提供動力。對于小學生而言，有時，“不嚴格的清楚”反而比“嚴格的不清楚”更好。

例如教學《小數(shù)的意義》，在學生認識到十分之幾米是零點幾米、十分之幾元是零點幾元后，筆者啟發(fā)學生推理“百分之幾米是零點幾米、百分之幾元是零點幾元”。學生認為，百分之幾米就是零點幾幾米、百分之幾元就是零點幾幾元，百分之幾就是零點幾幾。由此，自然地穿越“嚴格的不清楚”的屏障，抵達“不嚴格的清楚”的境地。在此基礎上，筆者讓學生對自己的推理舉例驗證，學生形成了精彩的演繹：0.05米是5厘米，■米也是5厘米，所以0.05米就是■米，0.05就是■；0.25元是2角5分，■元也是2角5分，所以0.25元就是■元，0.25就是■。在這里，學生演繹推理的大前提、小前提和結(jié)論一目了然。這樣的教學，學生收獲了滿滿的自信和成功。

在小學階段，筆者認為，呵護學生的推理興趣比培養(yǎng)學生的推理能力在某種意義上更為重要。對于學生而言，“不嚴格的清楚”很有價值，它們絲毫不會影響學生對于數(shù)學新知的求證。學生的推理能力發(fā)展具有階段性，小學階段的使命是積極地啟蒙。只要不違背結(jié)論的科學性，教師就要容忍學生的“不嚴格推理”。

學生的數(shù)學學習是學生不斷地進行抽象、推理和建構(gòu)數(shù)學模型的過程。學生在推理的過程中能夠促進對數(shù)學知識的本質(zhì)理解。教學中，教師要不斷積累學生的推理活動經(jīng)驗，感悟推理的數(shù)學思想方法，引導學生積極參與到推理學習活動中來。在這個過程中，學生的數(shù)學“核心素養(yǎng)”悄然創(chuàng)生。