曹義平

摘 要：“示意圖”是表征題意、分析問題的重要載體，能夠讓學生“不可見的思維”可視化。教學中，教師要引領學生“畫示意圖”“看示意圖”“思示意圖”和“用示意圖”。在“示意圖”的不斷導構中敏銳、豐富學生的“圖感”。

關鍵詞：示意圖；圖導圖構；圖感

“示意圖”是一種直觀表征題意、直觀表征學生思維的載體。由于數(shù)學符號所表征的題意是抽象的，學生的數(shù)學思維是看不見的。因此，如何讓抽象的數(shù)學題意直觀化，如何讓“不可見的思維”可視化就成為數(shù)學教學必須研究的課題。教學中，將抽象的數(shù)學問題、不可見的分析問題過程與直觀的圖形結合起來，能夠充分展現(xiàn)數(shù)學問題的本質，打開學生的思維大門，提升學生的數(shù)學素養(yǎng)。在這個意義上，“示意圖”是學生數(shù)學學習的導航儀，是學生數(shù)學學習的“拐杖”。所以著名圖論專家斯蒂恩說：“如果一個特定的問題可以轉化為一個圖像，那么就整體地把握了問題?！?/p>

一、在“畫示意圖”中表征題意

但凡學優(yōu)生都有這樣的經(jīng)驗：面對一個復雜的數(shù)學問題，若借助圖形進行直觀表征，往往能讓我們產(chǎn)生一種“山重水復疑無路，柳暗花明又一村”的豁然開朗之感。通過“示意圖”，讓學生觀察、把握、觸摸到認知對象，直觀、清晰地展示負載的數(shù)量關系，幫助學生厘清思路。正如北京教育學院數(shù)學系張丹教授所指出的，“畫圖策略是一種非常重要的分析問題和解決問題的策略，它是利用‘圖的直觀來對問題關系、結構進行表達，從而幫助人們分析問題和解決問題。同時畫圖又是一個‘去情境化的過程，它把情境中的數(shù)量關系進行提煉，并且進行直觀表達?！?/p>

例如：教學蘇教版小學數(shù)學三年級上冊的《間隔排列》，學生對于一些抽象的問題難以想象、思考，如“爬樓梯”“公交車發(fā)車”“鋸木頭”等問題。為此，教學中，筆者運用多媒體課件，將習題中的數(shù)量關系、場景圖用“示意圖”來表示，讓學生借助示意圖這個“拐杖”深度思考條件、問題以及條件和問題之間的關系。

純文字形式呈現(xiàn)的問題相對比較抽象，僅憑文字敘述有時學生很難直接看出題中的數(shù)量關系。而通過“畫示意圖”，學生就能直觀地看到，層數(shù)為兩端物體，比樓梯多1；發(fā)車次數(shù)在兩端，比發(fā)車的時間間隔多1；鋸木頭的段數(shù)在兩端，比鋸木頭的次數(shù)多1。有了這樣的“圖導”，學生在自主解決“廣告牌問題”“男女排隊問題”“圖釘釘紙問題”時就能主動地進行“圖構”。“畫示意圖”讓學生的數(shù)學學習從外在的“畫”轉化為內(nèi)在的“看”“思”，激發(fā)起學生的生活情景想象，促進了學生數(shù)學思維水平的發(fā)展。學生從畫示意圖開始，逐步地分析問題、解決問題，這就是一種“數(shù)學化”培養(yǎng)。

有了這樣的“畫圖意識”，學生在遭遇復雜的數(shù)學問題時就能主動想到畫圖，就能產(chǎn)生畫圖的需要，就能讓“做數(shù)學”與“思數(shù)學”有機結合。通過畫圖，不僅提高了學生解決問題的技能技巧，而且更為重要的是形成了學生解決問題的策略。

二、在“讀示意圖”中分析問題

“示意圖”是學生解決數(shù)學問題的工具，教學中，教師不僅要引導學生“畫示意圖”，還要引導學生“看示意圖”“讀示意圖”，引導學生積極發(fā)掘圖中的數(shù)學信息，進而為學生分析問題、解決問題服務。有些學生能夠根據(jù)題意畫圖，但卻不會看圖。其實，畫圖不是目的，而是學生數(shù)學學習的手段。教學中，教師要引導學生在“圖”與“題”之間來回穿行，甚至邊畫圖邊看題，邊看題邊畫圖。只有在“看示意圖”“讀示意圖”中，才能不斷積累學生的看圖讀圖經(jīng)驗，提升學生的問題分析和解決能力。

例如：教學蘇教版二年級下冊《有余數(shù)的除法》，教輔資料《課時作業(yè)本》中有這樣一道習題：小紅有10元錢，小明有16元錢，小明給多少錢給小紅，兩人的錢就同樣多？許多學生看到題目后，根據(jù)小明和小紅錢數(shù)的相差關系，認為小明給6元錢給小紅，兩人的錢數(shù)就同樣多了。為此，筆者讓學生畫出示意圖，學生畫圖（圖4）。

盡管學生畫出了符合題意的示意圖，但他們卻不能看懂圖意，更沒有將目光聚焦于小明和小紅錢數(shù)的相差數(shù)。為此，筆者在圖上添加了一根虛線（圖5），學生茅塞頓開。

原來，小明比小紅多6元，但不能將多的6元全部給小紅，如果這樣的話，小紅反過來又比小明多6元了。因此，要想讓小明和小紅的錢數(shù)相等，小明只能給多的錢數(shù)的一半，只有這樣，小明少了3元，小紅多了3元，兩人的錢數(shù)才相等。通過不斷“完善示意圖”，學生才能真正“解讀示意圖”，進而建構出“相差數(shù)”“移動數(shù)”之間的關系。

“示意圖”讓復雜的關系變得簡明，讓幽晦的關系變得敞亮。教學中，教師引導學生將抽象的數(shù)學問題與直觀的圖形語言有機結合起來，通過不斷地“看示意圖”“讀示意圖”，打開學生思維的大門，深入理解問題的數(shù)學本質、問題與條件之間的關系等，由此培養(yǎng)直觀意識與能力，建立學生直觀觀念，提升學生直觀素養(yǎng)。

三、在“思示意圖”中感悟思想

從“示意圖”出發(fā)，教學中教師要引導學生“思示意圖”，依圖“想”事，突出學生本質直觀的能力。學生“思示意圖”首先表現(xiàn)為一種意識，即有意識地借助圖形來幫助思考；其次表現(xiàn)為一種能力，即借助圖形篩選信息，找準解決問題的癥結所在，讓問題的解決有章可循。在這個過程中，學生能夠感受、體驗到“數(shù)形結合”的思想力量。

例如：教學蘇教版小學數(shù)學四年級下冊的《解決問題的策略——畫圖》，對于這樣的例題——一塊長方形的試驗田，長增加6米，或者寬增加4米，面積都比原來增加48平方米。學生在理解題意的基礎上，借助“示意圖”表征關系后，筆者引導學生展開深度的數(shù)學思考：

①長增加6米，面積增加48平方米，從圖中看，可以求出什么？

②寬增加4米，面積也增加48平方米，從圖中看，又可以求出什么？

表面上看，這道題既不知道長也不知道寬，似乎無法求解，但通過畫圖，卻可以看出增加部分的長、寬與增加部分的面積之間的關系。教師引導學生抓住圖形的幾何表征，就可以打開數(shù)學敘述文字化、數(shù)學表征形式化的遮掩，找到解決問題的有效路徑，實現(xiàn)問題的突破。

再如教學《乘法分配律》（蘇教版小學數(shù)學教材第8冊），這是學生在學習運算律過程中最難以理解，也是學生最容易出錯的內(nèi)容。究其根本，是因為學生不理解“乘法分配律”的形式化表征。為此，筆者啟發(fā)學生畫出兩個等寬的長方形（圖6），然后讓學生將這兩個長方形合并起來。

通過“示意圖”，引導學生展開主動地思考：第一個長方形的長和寬分別是多少？面積怎么算？第二個長方形的長和寬分別是多少？面積怎么算？可以將兩個長方形合并成一個長方形嗎？為什么？學生數(shù)形結合，直觀看到因為第一個長方形的寬和第二個長方形的寬相同，所以可以將兩個長方形合并成一個長方形。合并后的長方形的長是（a+b），合并后的長方形的寬是c。如此，學生通過“數(shù)形結合”，便可深刻理解、感悟“乘法分配律”的本質內(nèi)涵，有效地突破了教學難點。

四、在“用示意圖”中形成策略

在學生的數(shù)學學習中，“示意圖”不是目的，而是解決問題的手段、方法、策略。當學生通過多次畫圖，積累了豐富的畫圖經(jīng)驗后，就能形成“用示意圖”的意識、能力、策略。法國著名的數(shù)學家笛卡兒說，“沒有任何東西會比圖形更能簡單直接地引入腦海，用圖形表達事物是很有幫助的”。當學生經(jīng)過不斷地“畫示意圖”“看示意圖”“思示意圖”和“用示意圖”后，一種類似于“語感”“數(shù)感”的“圖感”便悄然生成。

例如：教學蘇教版五年級上冊的《解決問題的策略——列舉》，面對這樣的習題：五個小朋友，每人互相寄一張賀卡，一共需要寄多少張賀卡？五個小朋友，每人互相打一次電話，一共需要打多少次電話？如果教師只是用語言描述，或者只是讓學生在頭腦中憑空想象，學生是很難把握住它們的數(shù)學本質的。教學中，筆者引導學生將五名小朋友抽象成五個點，讓學生每兩點之間連線。在“畫示意圖”的過程中，學生領悟到，寄賀卡兩人之間需要互相寄，而打電話每兩人之間只需要打一次，用學生的話說，就是我和你通電話了，你就不需要和我通電話了；我寄賀卡給你，作為回饋，你還應該寄賀卡給我。學生畫出的圖如圖7、圖8所示：

運用點、線來構造圖，能夠讓學生把握兩類問題的區(qū)別與聯(lián)系。當學生能夠主動“用示意圖”來解決“打電話”和“寄賀卡”時，他們就能清晰地辨析“握手問題”“踢足球問題”“循環(huán)賽”的數(shù)學本質。學生的“用示意圖”離不開觀察、感知，也離不開實踐與操作，更離不開想象與聯(lián)想。只有建立在觀察、實踐、想象基礎上的“圖導”與“圖構”，才能體現(xiàn)出“示意圖”的意義和價值，才能豐厚學生整體性、次序性和敏銳性的“圖感”。

“示意圖”的種類是豐富的，常見的有線段圖、網(wǎng)絡圖、長方形圖、韋恩圖、樹狀圖等，由此形成豐富的數(shù)學圖譜。在“畫示意圖”“看示意圖”“思示意圖”和“用示意圖”中，能夠深化學生的“圖感”。教學中，教師應該創(chuàng)設支持條件，培育學生的“圖感”，引領學生步入“示意圖”世界，進而開啟學生的智慧之門。