葛敏輝 張瑤

摘 要：分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算教學(xué)通常會(huì)變成計(jì)算法則的傳遞和應(yīng)用，對(duì)于“為什么要轉(zhuǎn)化為乘以除數(shù)的倒數(shù)”這一問(wèn)題師生大多模糊不清，甚至難以理解。本文就“為什么要把分?jǐn)?shù)除法轉(zhuǎn)化為乘法計(jì)算”這一上位知識(shí)進(jìn)行分析闡述，把分?jǐn)?shù)除法轉(zhuǎn)化為乘法計(jì)算主要是為了提高運(yùn)算效率，是一種數(shù)學(xué)的選擇，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的需要；同時(shí)還提出了可以從乘除法的運(yùn)算性質(zhì)、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)、分?jǐn)?shù)的意義、分?jǐn)?shù)除法的意義、商不變的規(guī)律等維度來(lái)理解這個(gè)法則，這有助于大家在教學(xué)這一內(nèi)容時(shí)能更準(zhǔn)確地把握實(shí)質(zhì)，科學(xué)施教。

關(guān)鍵詞：分?jǐn)?shù)除法；乘法；轉(zhuǎn)化；理解；學(xué)生

分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算教學(xué)中有一個(gè)重要的問(wèn)題會(huì)讓很多教師感到困惑，那就是“為什么要把分?jǐn)?shù)除法轉(zhuǎn)化為乘法計(jì)算”，學(xué)生對(duì)此也很不理解。為什么到第三次學(xué)習(xí)除法時(shí)（前面已經(jīng)學(xué)過(guò)了整數(shù)除法、小數(shù)除法），要把除法轉(zhuǎn)化為乘法來(lái)計(jì)算？為什么把分?jǐn)?shù)除法轉(zhuǎn)化成“顛倒相乘”（即除以一個(gè)不是零的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)）？本文試圖闡述我們的一點(diǎn)思考，與大家分享交流。

一、把分?jǐn)?shù)除法轉(zhuǎn)化為乘法計(jì)算是為了提高運(yùn)算效率

其實(shí)“顛倒相乘”并不是計(jì)算分?jǐn)?shù)除法的唯一方法。浙江省新思維教育科學(xué)研究院的姜榮富老師在《定義確定法則、轉(zhuǎn)化產(chǎn)生價(jià)值》一文中提出，把分?jǐn)?shù)除法轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)乘法計(jì)算主要是為了提高運(yùn)算效率。怎么理解呢？我們可以從兩個(gè)方面來(lái)解釋?zhuān)阂皇欠謹(jǐn)?shù)乘法的計(jì)算法則比較簡(jiǎn)單，分子相乘的積作分子、分母相乘的積作分母，能約分的要先約分。通過(guò)約分，又可以把參與運(yùn)算的數(shù)變小來(lái)提高運(yùn)算效率。顯而易見(jiàn)，把分?jǐn)?shù)除法轉(zhuǎn)化為乘法來(lái)運(yùn)算是比較簡(jiǎn)單的。二是轉(zhuǎn)化之后乘法的運(yùn)算律都可以派上用場(chǎng)了。我們經(jīng)常會(huì)遇到學(xué)生問(wèn)“除法有沒(méi)有運(yùn)算定律”之類(lèi)的問(wèn)題，可見(jiàn)學(xué)生心中也希望除法能像乘法那樣，可以使用運(yùn)算律來(lái)提高運(yùn)算效率。因此，當(dāng)我們把除法的計(jì)算轉(zhuǎn)化為乘法計(jì)算時(shí)，除法與乘法就合二為一了，運(yùn)用運(yùn)算定律可以更好地提高運(yùn)算效率。

在高等數(shù)學(xué)的教材中可以發(fā)現(xiàn)，通常對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決往往只需在加法、乘法的運(yùn)算演繹中完成。這是因?yàn)橐M(jìn)了負(fù)數(shù)和倒數(shù)后，就能將減法和除法的計(jì)算分別轉(zhuǎn)化為加法和乘法來(lái)處理。而實(shí)現(xiàn)這種運(yùn)算方法之間的第一次轉(zhuǎn)化就出現(xiàn)在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)分?jǐn)?shù)除法時(shí)?？梢?jiàn)，分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算教學(xué)對(duì)于學(xué)生以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)將產(chǎn)生很大的影響。因此，我們完全有理由抓住這一教學(xué)契機(jī)，結(jié)合計(jì)算法則的教學(xué)，采用小學(xué)生能接受的方式，幫助他們初步地感知這種轉(zhuǎn)化思想及其作用與價(jià)值。

二、把分?jǐn)?shù)除法轉(zhuǎn)化為乘法計(jì)算是一種數(shù)學(xué)的選擇

正是因?yàn)榇蠖鄶?shù)教師不容易解釋為什么是“顛倒相乘”，缺乏關(guān)注學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)和思維發(fā)展，所以在教學(xué)中為什么“顛倒相乘”這一內(nèi)容就成了一個(gè)吞得下卻消化不了的“桃核”。其實(shí)有理數(shù)四則運(yùn)算的法則，是在大家實(shí)踐的過(guò)程中歸納提煉出來(lái)的，分?jǐn)?shù)除法的運(yùn)算法則也是如此。張奠宙教授指出：“這些運(yùn)算法則其實(shí)是經(jīng)過(guò)人為的選擇。分?jǐn)?shù)除法的顛倒相乘，也是一種數(shù)學(xué)的選擇?！?/p>

看來(lái)，計(jì)算分?jǐn)?shù)除法的方法不是唯一的，亦有很多研究者就提出了其他的一些方法，比如“通分法”“分子分母相除法”等。事實(shí)上，在中國(guó)古代還有在古埃及、古巴比倫都出現(xiàn)過(guò)別的計(jì)算方法，但隨著歷史的發(fā)展，最終還是“顛倒相乘法”成了人們的選擇！讓“顛倒相乘法”成為“贏家”的主要原因是因?yàn)樗暮?jiǎn)捷易行，它具有概括性和通適性。你想，如果用別的方法來(lái)解決分?jǐn)?shù)除法計(jì)算，在算法上會(huì)不會(huì)出現(xiàn)很多麻煩和復(fù)雜的情況呢？特別是在連除或混合運(yùn)算時(shí)，會(huì)給學(xué)生帶來(lái)很大的難處和挑戰(zhàn)。那么，作為一種運(yùn)算技能，必然是要往方便操作的方向發(fā)展的，因此其他方法就自然被淘汰了。

三、把分?jǐn)?shù)除法轉(zhuǎn)化為乘法計(jì)算是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的需要

因?yàn)椤邦嵉瓜喑朔ā钡乃憷斫忉屵^(guò)于抽象，很難理解，所以出現(xiàn)了“教師不愿上、學(xué)生學(xué)不會(huì)”的尷尬現(xiàn)象。教材編委在編制分?jǐn)?shù)除法和教師在呈現(xiàn)計(jì)算教學(xué)時(shí)，都是希望通過(guò)直觀的模型來(lái)幫助學(xué)生理解算理的。但事實(shí)證明，大多數(shù)學(xué)生并沒(méi)有因此而學(xué)得輕松和明白。作為已經(jīng)學(xué)習(xí)了整數(shù)乘除法、小數(shù)乘除法、分?jǐn)?shù)乘法的五年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)，可以通過(guò)形式推理和抽象概括的方式來(lái)理解算理，這對(duì)于他們的數(shù)學(xué)后續(xù)學(xué)習(xí)和個(gè)性思維展現(xiàn)都具有十分積極的作用。浙江省特級(jí)教師顧志能老師在《教學(xué)，多站在教育的角度》一文中曾指出：“學(xué)會(huì)抽象化、形式化是學(xué)生成長(zhǎng)的重要路徑，也是數(shù)學(xué)教育的重要目標(biāo)?！笔聦?shí)上，不是所有的數(shù)學(xué)問(wèn)題都適合通過(guò)直觀、形象的方式來(lái)解釋?zhuān)芏鄶?shù)學(xué)知識(shí)其實(shí)都是數(shù)學(xué)內(nèi)部抽象與演繹的結(jié)果。因此，逐步從具體直觀走向形式抽象，完成數(shù)學(xué)知識(shí)的形式化、結(jié)構(gòu)化理解，這是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的需要。同時(shí)需要指出的是，小學(xué)五年級(jí)也是發(fā)展學(xué)生抽象思維和形式推理的關(guān)鍵時(shí)段，這就需要我們?cè)谡n堂上有意識(shí)地提供有助于學(xué)生抽象思維能力培養(yǎng)的平臺(tái)。“顛倒相乘法”正是一座能夠承載這種使命、影響后續(xù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的橋梁。

那么，怎樣可以幫助大家理清這個(gè)“轉(zhuǎn)化”呢？可以從哪些維度來(lái)通過(guò)形式推理和抽象概括理解算理呢？我們覺(jué)得至少可以從以下五個(gè)維度來(lái)理解：

第一，從乘除法的運(yùn)算性質(zhì)來(lái)理解。

根據(jù)分?jǐn)?shù)和除法的關(guān)系可以知道：分子相當(dāng)于除法的被除數(shù)，分母相當(dāng)于除法的除數(shù)，即a÷b=■（b≠0），因此我們可以得出如下轉(zhuǎn)化過(guò)程。

■÷■

=■÷（4÷5）

=■÷4×5

=■×（5÷4）

=■×■

即■÷■=■×■

第二，從分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)來(lái)理解。

我們知道，分?jǐn)?shù)乘法的計(jì)算方法是分子乘以分子，分母乘以分母。那么，分?jǐn)?shù)除法是否也應(yīng)該是分子除以分子，分母除以分母呢？我們一起來(lái)驗(yàn)證。

分?jǐn)?shù)的除法：■÷■

=（8÷9）÷（2÷3）

=8÷9÷2×3

=8÷2÷9×3

=（8÷2）÷（9÷3）

=■

通過(guò)再次運(yùn)用乘除法的運(yùn)算性質(zhì)，我們驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)這種方法是可行的。那么分?jǐn)?shù)除法為什么不選擇這種方法呢？如果用這樣的算法會(huì)常有除不盡的時(shí)候，這就給計(jì)算帶來(lái)了麻煩。因此，利用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)來(lái)理解也是一種變通的方式。

轉(zhuǎn)化（1）：我們?cè)诒怀龜?shù)的分子和分母同時(shí)擴(kuò)大相同的倍數(shù)時(shí)，可以選擇除數(shù)中分子和分母相乘的積作乘數(shù)，這樣便于在做除法時(shí)分子和分母都能除盡。例如：

■÷■

=■÷■

=■÷■

=■

=■

=■

=■

=■×■

轉(zhuǎn)化（2）：我們還可以使被除數(shù)和除數(shù)的分子和分母各自同時(shí)擴(kuò)大相同的倍數(shù)，這樣使得被除數(shù)與除數(shù)的分母相同（有人稱(chēng)為“通分除”）。例如：

■÷■

=■÷■

=■÷■

=■

=（4×3）÷（5×5）

=■

=■×■

即■÷■=■×■

第三，從分?jǐn)?shù)的意義上來(lái)理解。

分?jǐn)?shù)的意義：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)。例如■÷3，就是把■平均分成3份，每份是多少，也就是求■的■是多少。算式是■×■，所以■÷3=■×■。

一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母擴(kuò)大到原來(lái)的幾倍和分子縮小到原來(lái)的幾分之一，其結(jié)果是一樣的。相反，分母縮小到原來(lái)的幾分之一和分子擴(kuò)大到原來(lái)的幾倍，其結(jié)果也是一樣的。例如：

■=1和■=1

■=■和■=■

因此，分?jǐn)?shù)除法的分子部分除以一個(gè)數(shù)（0除外），也可以變?yōu)榉帜覆糠殖艘赃@個(gè)數(shù)；分母部分除以一個(gè)數(shù)（0除外），也可以是分子部分乘以這個(gè)數(shù)。例如：

■÷■=■=■=■=■×■

即■÷■=■×■

第四，從分?jǐn)?shù)除法的意義上理解。

一個(gè)數(shù)的■是6，求這個(gè)數(shù)。在解答時(shí)，我們可以根據(jù)分?jǐn)?shù)除法的意義列式為6÷■。就是說(shuō)，把一個(gè)數(shù)平均分成3份，取其中的2份是6，求這個(gè)數(shù)是多少。也可以先求出1份是多少，再求出3份是多少。1份是6÷2=3，3份是3×3=9，所以6÷■=6÷2×3=■×3=6×■。

第五，從商不變的規(guī)律來(lái)理解。

商不變的規(guī)律：在除法里，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以一個(gè)相同的數(shù)（0除外），商不變。根據(jù)商不變的規(guī)律，我們?cè)谟?jì)算■÷■時(shí)，可以把■擴(kuò)大成1，除數(shù)必須乘■。除數(shù)乘■，要使商不變，被除數(shù)也必須乘■，即■÷■=■×■÷■×■=■×■÷1=■×■。

綜上所述，能得出“顛倒相乘法”的路徑有很多，用單一的思路框住學(xué)生的思維進(jìn)行模仿操作是不太可取的。正如弗賴(lài)登塔爾所言：“理解算法的最好途徑是發(fā)現(xiàn)它，沒(méi)有什么比依靠自己的發(fā)現(xiàn)更令人信服的?！币虼?，在深化課程改革的今天，深入分析數(shù)學(xué)與學(xué)生的聯(lián)系，探討學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)展，嘗試進(jìn)行教學(xué)改變就顯得很有必要。