王勇

【摘要】本文以高等數(shù)學(xué)課程為例，建立了基于馬爾科夫預(yù)測的分層教學(xué)下教學(xué)質(zhì)量的量化模型，利用此數(shù)學(xué)模型，可以對(duì)分層教學(xué)下的任課教師教學(xué)質(zhì)量進(jìn)行動(dòng)態(tài)評(píng)價(jià).

【關(guān)鍵詞】分層教學(xué)；馬爾科夫鏈；標(biāo)準(zhǔn)分

一、引 言

高等數(shù)學(xué)是大學(xué)一年級(jí)的一門重要的課程，內(nèi)容豐富，抽象費(fèi)解，要求學(xué)生具有一定的初等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和抽象思維能力.大一新生來自五湖四海，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)良莠不齊，因此，不少院校采取分層教學(xué)的模式，通常做法是根據(jù)新生入學(xué)數(shù)學(xué)成績（或分層考試數(shù)學(xué)成績）把新生編到相應(yīng)層次的教學(xué)班施教，一段時(shí)間后進(jìn)行階段水平測試（單元、期中、期末考試等），根據(jù)考試成績再次分層.如何評(píng)價(jià)不同層次班級(jí)中任課教師的教學(xué)質(zhì)量是一個(gè)必須解決的問題.本文嘗試運(yùn)用馬爾科夫鏈相關(guān)理論來解決這一問題.

二、馬爾科夫鏈簡介

（一）馬爾科夫鏈及一步轉(zhuǎn)移概率矩陣

設(shè){X（n），n=0，1，2，…}為一隨機(jī)過程，狀態(tài)集為E={i0，i1，i2，…}，

若對(duì)于任意的n及{i0，i1，i2，…，in+1}，

有P{X（n+1）=j|X（n）=in，X（n-1）=in-1，…，X（1）=i1，X（0）=i0}=P{X（n+1）=j|X（n）=in}，則稱此過程為馬爾科夫鏈.記pij（k）=P{X（k+1）=j|X（k）=i}（k=0，1，2，…），

稱pij（k）為馬爾科夫鏈在時(shí)刻k時(shí)所處的狀態(tài)為i，下一步將處于狀態(tài)j的一步轉(zhuǎn)移概率.若pij（k）（k=0，1，2，…）與時(shí)刻k無關(guān)，則稱這樣的馬爾科夫鏈為齊次馬爾科夫鏈，這時(shí)pij（k）簡記為pij，并且令

P=p00p01p02…p10p11p12……………pi0pi1pi2……………，

稱矩陣P是齊次馬爾科夫鏈的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣.

（二）齊次馬爾科夫鏈的多步轉(zhuǎn)移概率及其遍歷性

設(shè){X（n），n=0，1，2，…}為齊次馬爾科夫鏈，狀態(tài)集為E={1，2，…}，

記p（n）ij=P{X（n）=j|X（0）=i}（i，j=0，1，2，…，n=1，2，…），稱p（n）ij為此齊次馬爾科夫鏈的n步轉(zhuǎn)移概率.若對(duì)于所有的狀態(tài)i，j∈E，極限 limn→∞p（n）ij存在（設(shè)為πj，πj與i無關(guān)），則稱此齊次馬爾科夫鏈具有遍歷性，并稱πj為狀態(tài)j的穩(wěn)態(tài)概率.

（三）有限狀態(tài)齊次馬爾科夫鏈的遍歷性定理

可以證明：設(shè)齊次馬爾科夫鏈{X（n），n=1，2，…}狀態(tài)集為E={1，2，…，N}，若存在正整數(shù)m，使對(duì)任意的i，j∈E，有p（m）ij>0，則此齊次馬爾科夫鏈具有遍歷性，且各狀態(tài)的穩(wěn)態(tài)概率π=（π1，π2，…，πN）是方程組π=πP，（∑Nj=1πj=1，π1，π2，…，πN>0）的唯一解.

三、狀態(tài)空間的劃分

（一）標(biāo)準(zhǔn)分

由于每次水平測試，測試內(nèi)容的難易程度、試卷本身的難易程度，評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)等不盡相同，為此，引進(jìn)標(biāo)準(zhǔn)分的概念.設(shè)X為某次水平測試后某名學(xué)生的考分，μ，σ2分別是該次測試的樣本均值和樣本方差，記Y=X-μσ，稱Y為該生在該次測試的標(biāo)準(zhǔn)分.由中心極限定理，可以認(rèn)為Y近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.

（二）狀態(tài)空間的劃分

狀態(tài)空間的劃分可采用如下方法（下表），也可根據(jù)具體情況采用其他劃分方法.

狀態(tài)劃分表

狀 態(tài)1（優(yōu)）2（良）3（差）

狀態(tài)區(qū)域Y>1-1≤Y≤1Y<-1

概 率0.1580.6840.158

四、一步轉(zhuǎn)移概率矩陣的計(jì)算

考慮先后兩次水平測試，ni表示某位教師所教班級(jí)第一次測試處于狀態(tài)i的學(xué)生人數(shù)，nij表示該班級(jí)先后兩次測試由狀態(tài)i轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的學(xué)生人數(shù)，則一步轉(zhuǎn)移概率可近似取成pij=nijni，從而該班級(jí)的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣可近似取成P=（pij）=nijni.

五、教學(xué)質(zhì)量量化值的計(jì)算

為了量化教學(xué)質(zhì)量，可以預(yù)先對(duì)每個(gè)狀態(tài)i賦予分值qi，這樣就可計(jì)算出被評(píng)價(jià)的班級(jí)的教學(xué)質(zhì)量量化值：Q=∑iπiqi.

六、結(jié)束語

本文建立了基于馬爾科夫預(yù)測的分層教學(xué)下教學(xué)質(zhì)量的量化模型，利用此模型，可以量化分層教學(xué)下的任課教師教學(xué)質(zhì)量，動(dòng)態(tài)評(píng)價(jià)教學(xué)效果，模型可操作性強(qiáng).由于模型認(rèn)為某次考試學(xué)生成績近似服從正態(tài)分布，并且用一步轉(zhuǎn)移頻率矩陣近似一步轉(zhuǎn)移概率矩陣，因而，不可避免地帶來誤差，從而在一定程度上影響評(píng)判的效果，如何有效減少誤差，有待進(jìn)一步分析與研究.

【參考文獻(xiàn)】

[1]李裕奇.隨機(jī)過程[M].北京：國防工業(yè)出版社，2003.

[2]程恒，屈小妹.馬爾科夫鏈在教學(xué)評(píng)價(jià)中的應(yīng)用[J].湖北師范學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2015（1）：75-78.endprint