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        復合函數(shù)定義域求法及其解題意義研究

        2018-01-30 22:25:40劉天好
        考試周刊 2017年71期
        關鍵詞:求解定義域意義

        摘要:復合函數(shù)主要是指函數(shù)間通過運算法則進行聯(lián)系后所形成的新的復雜函數(shù)。理解其定義域求法不僅對于解題具有直接貢獻,更能夠?qū)τ诤罄m(xù)圖像的理解、其他問題的分析提供一定的幫助。本文系統(tǒng)總結(jié)在實際學習過程中所遇到的復合函數(shù)定義域求法,并試圖分析定義域?qū)ζ浣忸}的意義,希望能夠為后續(xù)的學習與研究提供一定的幫助。

        關鍵詞:復合函數(shù);定義域;求解;意義

        高中階段的函數(shù)學習較為復雜、困難,且對于廣大學生而言既是全新數(shù)學思維的應用,又是形成后續(xù)學習的客觀基礎。在函數(shù)教學體系中,復雜函數(shù)、特殊函數(shù)及復合函數(shù)在考查過程中占據(jù)了很大的比例。這也就要求我們在學習的過程中要有所側(cè)重。只有靈活的掌握函數(shù)的相關知識,才能夠在后續(xù)的數(shù)學及其他學科的學習過程中形成“先機”。

        在眾多考題中,關于復合函數(shù)的定義域求解問題一直是困擾學生的一大難點,而近年來針對該領域問題的研究也相對薄弱,這不僅使得學生在學習過程中缺乏有效的遵循,還使得我們無法在短時間內(nèi)形成突破。在嚴重的影響了學生數(shù)學成績的同時也不可避免的造成后續(xù)問題求解的障礙。針對這一情況,筆者結(jié)合日常學習與解題中的相關經(jīng)驗進行總結(jié),對該類問題下的具體分類與求解方式進行匯總,希望能夠成為后續(xù)學習與解題過程中的有效遵循。與此同時,試圖探明定義域在后續(xù)解題過程中的重要意義,使之能夠引起廣大教師與學生的重視。

        一、 復合函數(shù)定義域求法研究

        正如上文所說,以大量的習題為基礎進行的總結(jié)使得我們發(fā)現(xiàn),復合函數(shù)定義域問題在考察過程中一般分為四個類別,其類別特征與解題思路如下:

        (一) 函數(shù)替換類

        該類問題是利用函數(shù)替換原函數(shù)中的未知量,并在給定原函數(shù)定義域的基礎上對新未知量的定義域進行求解。利用數(shù)學語言進行表征則可以表示為:給定f(x)定義域,求解f[g(x)]的定義域。如題目:已知f(x)定義域為(-1,4],求f(x2+4x)定義域。

        該類問題為復合函數(shù)定義域的基礎性問題。從函數(shù)定義與內(nèi)涵的角度來進行理解則可以輕松列出不等式,進而通過不等式求解的方式獲得相關答案。具體的定義內(nèi)涵層面上,復合函數(shù)在原函數(shù)的位置替代中相當于未知數(shù)“x”,故而其定義域?qū)傩詰摾^承并來源于原函數(shù)的定義域。以上題為例,可以得到-1

        (二) 函數(shù)反推類

        該類問題總體上表現(xiàn)為給定復合函數(shù)定義域求解簡單函數(shù)定義域。與上文所討論的題型呈現(xiàn)出相反的趨勢,用數(shù)學語言來表達即已知f[g(x)]的定義域求解f(x)的定義域。如題目:已知復合函數(shù)f(5-3x)的定義域為[-2,1],求函數(shù)f(x)的定義域。

        該類問題與函數(shù)替換類相反,其所需要應用的解題思路為定義域定義與內(nèi)涵。在此過程中我們需要了解,所謂的定義域是全部函數(shù)未知數(shù)的集合,而復合函數(shù)中則強調(diào)的是函數(shù)的賦值集合作為簡單函數(shù)的定義域范圍。從上文中的具體題目來看,條件中給出的已知定義域[-2,1],是簡單函數(shù)g(x)=5-3x的定義域范圍。故而該問題轉(zhuǎn)化為求解 g(x)=5-3x的值域。根據(jù)計算,其值域范圍為[2,11],故而簡單函數(shù)f(x)的定義域為[2,11]。在此過程中我們需要注意的是符號帶來的極值變化,如果簡單函數(shù)為二次或以上函數(shù),還應該判斷曲線極值的出現(xiàn)位點。

        (三) 雙復合類

        所謂的雙復合類函數(shù)定義域的求解問題主要是指給定某個復合函數(shù)的定義域求解另一個復合函數(shù)的定義域問題。用數(shù)學語言來予以表達即為:已知f[g(x)]的定義域求解 f[t(x)]的定義域。如題目,已知復合函數(shù)f(x+1)的定義域為[-1,3],求函數(shù)f(2-x)的定義域。

        該類問題在實際求解的過程中可以看做是函數(shù)替換類與函數(shù)反推類復合函數(shù)定義域求解問題的組合。其運算過程需要引入中間變量H來輔助思考。其思考過程大致如下:首先,以已知函數(shù)的定義域為藍本進行函數(shù)反推,即已知復合函數(shù)f(x+1)的定義域為[-1,3],求解函數(shù)f(H)的定義域,此過程的計算方法依照反推類來進行;其次,已知函數(shù)f(H)的定義域,求解函數(shù)f(2-x)的定義域,該過程依據(jù)函數(shù)替換類來進行。

        (四) 運算復合類

        所謂的運算復合類函數(shù)定義域問題主要是指已知函數(shù)的定義域,求解若干函數(shù)運算后的綜合定義域。利用數(shù)學語言來表達則為:已知f(x)的定義域,求解f(x)=f(i1)+f(i2)+…+f(ij)的定義域。其中高中階段所接觸的運算方式一般為加減乘除基礎四則運算。如題目,已知f(x)的定義域為[-1,2),求解f(x)=f(x+3)+f(x-1)-f(2x)的定義域。

        在實際求解的過程中,該類問題的核心關鍵是對不同的運算要素函數(shù)的定義域進行分別求解,并確定其交集,為最終的復合函數(shù)定義域。值得注意的是當運算規(guī)則中存在除法或者根號等運算,其定義域還應該剔除掉各自運算規(guī)則下的特殊點,如f(x)=0 的位點。

        二、 復合函數(shù)定義域的解題意義分析

        通過上文的分析我們對四種復合函數(shù)的求解思想與具體求解過程進行了系統(tǒng)性總結(jié)。而復合函數(shù)的定義域問題對于后續(xù)的函數(shù)類問題也具有一定的積極意義,大致如下:

        第一,可以輔助判斷函數(shù)方向。通過定義域的計算能夠判斷函數(shù)在不同取值過程中的函數(shù)結(jié)果,進而通過結(jié)果的判斷可以形成函數(shù)走向的基本動態(tài)。如在一次函數(shù)中,其函數(shù)圖像表現(xiàn)為線性函數(shù),而判斷終點值的大小可以確定函數(shù)的增減性。

        第二,可以輔助判斷函數(shù)圖像。對不同取值范圍的研判可以確定函數(shù)的連續(xù)性,進而在取值區(qū)間內(nèi)形成函數(shù)圖像的基本確定。該條件的應用有助于后續(xù)我們理解復雜函數(shù)的相關問題,尤其是在二次以上或周期函數(shù)的趨勢判斷中提供必要的幫助。

        第三,可以輔助判斷函數(shù)根的大致取值。函數(shù)的定義域代表了未知數(shù)的取值范圍,而復合函數(shù)的定義域則往往是已知函數(shù)的值域。通過此種規(guī)則可以將值域問題轉(zhuǎn)化為定義域問題,進而降低解題難度,提高解題正確率。

        三、 總結(jié)

        本文系統(tǒng)總結(jié)了四種復合函數(shù)定義域的解法與數(shù)學思想,并對定義域的解題意義進行探討,旨在為后續(xù)的學習與研究提供重要參考。

        參考文獻:

        [1]吾吉買買提·艾合買提,布哈力且木·阿布都熱依木.淺談復合函數(shù)定義域的求法[J].和田師范??茖W校學報,2008,(03):199.

        [2]呂驥.關于函數(shù)定義域求法的探析報告[J].湖北科技學院學報,2016,(12):14-16.

        作者簡介:

        劉天好,湖北省恩施土家族苗族自治州高級中學(簡稱恩施高中)。

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