摘要：復合函數(shù)主要是指函數(shù)間通過運算法則進行聯(lián)系后所形成的新的復雜函數(shù)。理解其定義域求法不僅對于解題具有直接貢獻，更能夠?qū)τ诤罄m(xù)圖像的理解、其他問題的分析提供一定的幫助。本文系統(tǒng)總結(jié)在實際學習過程中所遇到的復合函數(shù)定義域求法，并試圖分析定義域?qū)ζ浣忸}的意義，希望能夠為后續(xù)的學習與研究提供一定的幫助。

關鍵詞：復合函數(shù)；定義域；求解；意義

高中階段的函數(shù)學習較為復雜、困難，且對于廣大學生而言既是全新數(shù)學思維的應用，又是形成后續(xù)學習的客觀基礎。在函數(shù)教學體系中，復雜函數(shù)、特殊函數(shù)及復合函數(shù)在考查過程中占據(jù)了很大的比例。這也就要求我們在學習的過程中要有所側(cè)重。只有靈活的掌握函數(shù)的相關知識，才能夠在后續(xù)的數(shù)學及其他學科的學習過程中形成“先機”。

在眾多考題中，關于復合函數(shù)的定義域求解問題一直是困擾學生的一大難點，而近年來針對該領域問題的研究也相對薄弱，這不僅使得學生在學習過程中缺乏有效的遵循，還使得我們無法在短時間內(nèi)形成突破。在嚴重的影響了學生數(shù)學成績的同時也不可避免的造成后續(xù)問題求解的障礙。針對這一情況，筆者結(jié)合日常學習與解題中的相關經(jīng)驗進行總結(jié)，對該類問題下的具體分類與求解方式進行匯總，希望能夠成為后續(xù)學習與解題過程中的有效遵循。與此同時，試圖探明定義域在后續(xù)解題過程中的重要意義，使之能夠引起廣大教師與學生的重視。

一、 復合函數(shù)定義域求法研究

正如上文所說，以大量的習題為基礎進行的總結(jié)使得我們發(fā)現(xiàn)，復合函數(shù)定義域問題在考察過程中一般分為四個類別，其類別特征與解題思路如下：

（一） 函數(shù)替換類

該類問題是利用函數(shù)替換原函數(shù)中的未知量，并在給定原函數(shù)定義域的基礎上對新未知量的定義域進行求解。利用數(shù)學語言進行表征則可以表示為：給定f（x）定義域，求解f[g（x）]的定義域。如題目：已知f（x）定義域為（-1，4]，求f（x2+4x）定義域。

該類問題為復合函數(shù)定義域的基礎性問題。從函數(shù)定義與內(nèi)涵的角度來進行理解則可以輕松列出不等式，進而通過不等式求解的方式獲得相關答案。具體的定義內(nèi)涵層面上，復合函數(shù)在原函數(shù)的位置替代中相當于未知數(shù)“x”，故而其定義域?qū)傩詰摾^承并來源于原函數(shù)的定義域。以上題為例，可以得到-1

（二） 函數(shù)反推類

該類問題總體上表現(xiàn)為給定復合函數(shù)定義域求解簡單函數(shù)定義域。與上文所討論的題型呈現(xiàn)出相反的趨勢，用數(shù)學語言來表達即已知f[g（x）]的定義域求解f（x）的定義域。如題目：已知復合函數(shù)f（5-3x）的定義域為[-2，1]，求函數(shù)f（x）的定義域。

該類問題與函數(shù)替換類相反，其所需要應用的解題思路為定義域定義與內(nèi)涵。在此過程中我們需要了解，所謂的定義域是全部函數(shù)未知數(shù)的集合，而復合函數(shù)中則強調(diào)的是函數(shù)的賦值集合作為簡單函數(shù)的定義域范圍。從上文中的具體題目來看，條件中給出的已知定義域[-2，1]，是簡單函數(shù)g（x）=5-3x的定義域范圍。故而該問題轉(zhuǎn)化為求解 g（x）=5-3x的值域。根據(jù)計算，其值域范圍為[2，11]，故而簡單函數(shù)f（x）的定義域為[2，11]。在此過程中我們需要注意的是符號帶來的極值變化，如果簡單函數(shù)為二次或以上函數(shù)，還應該判斷曲線極值的出現(xiàn)位點。

（三） 雙復合類

所謂的雙復合類函數(shù)定義域的求解問題主要是指給定某個復合函數(shù)的定義域求解另一個復合函數(shù)的定義域問題。用數(shù)學語言來予以表達即為：已知f[g（x）]的定義域求解 f[t（x）]的定義域。如題目，已知復合函數(shù)f（x+1）的定義域為[-1，3]，求函數(shù)f（2-x）的定義域。

該類問題在實際求解的過程中可以看做是函數(shù)替換類與函數(shù)反推類復合函數(shù)定義域求解問題的組合。其運算過程需要引入中間變量H來輔助思考。其思考過程大致如下：首先，以已知函數(shù)的定義域為藍本進行函數(shù)反推，即已知復合函數(shù)f（x+1）的定義域為[-1，3]，求解函數(shù)f（H）的定義域，此過程的計算方法依照反推類來進行；其次，已知函數(shù)f（H）的定義域，求解函數(shù)f（2-x）的定義域，該過程依據(jù)函數(shù)替換類來進行。

（四） 運算復合類

所謂的運算復合類函數(shù)定義域問題主要是指已知函數(shù)的定義域，求解若干函數(shù)運算后的綜合定義域。利用數(shù)學語言來表達則為：已知f（x）的定義域，求解f（x）=f（i1）+f（i2）+…+f（ij）的定義域。其中高中階段所接觸的運算方式一般為加減乘除基礎四則運算。如題目，已知f（x）的定義域為[-1，2），求解f（x）=f（x+3）+f（x-1）-f（2x）的定義域。

在實際求解的過程中，該類問題的核心關鍵是對不同的運算要素函數(shù)的定義域進行分別求解，并確定其交集，為最終的復合函數(shù)定義域。值得注意的是當運算規(guī)則中存在除法或者根號等運算，其定義域還應該剔除掉各自運算規(guī)則下的特殊點，如f（x）=0 的位點。

二、 復合函數(shù)定義域的解題意義分析

通過上文的分析我們對四種復合函數(shù)的求解思想與具體求解過程進行了系統(tǒng)性總結(jié)。而復合函數(shù)的定義域問題對于后續(xù)的函數(shù)類問題也具有一定的積極意義，大致如下：

第一，可以輔助判斷函數(shù)方向。通過定義域的計算能夠判斷函數(shù)在不同取值過程中的函數(shù)結(jié)果，進而通過結(jié)果的判斷可以形成函數(shù)走向的基本動態(tài)。如在一次函數(shù)中，其函數(shù)圖像表現(xiàn)為線性函數(shù)，而判斷終點值的大小可以確定函數(shù)的增減性。

第二，可以輔助判斷函數(shù)圖像。對不同取值范圍的研判可以確定函數(shù)的連續(xù)性，進而在取值區(qū)間內(nèi)形成函數(shù)圖像的基本確定。該條件的應用有助于后續(xù)我們理解復雜函數(shù)的相關問題，尤其是在二次以上或周期函數(shù)的趨勢判斷中提供必要的幫助。

第三，可以輔助判斷函數(shù)根的大致取值。函數(shù)的定義域代表了未知數(shù)的取值范圍，而復合函數(shù)的定義域則往往是已知函數(shù)的值域。通過此種規(guī)則可以將值域問題轉(zhuǎn)化為定義域問題，進而降低解題難度，提高解題正確率。

三、 總結(jié)

本文系統(tǒng)總結(jié)了四種復合函數(shù)定義域的解法與數(shù)學思想，并對定義域的解題意義進行探討，旨在為后續(xù)的學習與研究提供重要參考。

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作者簡介：

劉天好，湖北省恩施土家族苗族自治州高級中學（簡稱恩施高中）。