尚影

【摘要】中學數(shù)學的發(fā)展基本上就是圍繞著“數(shù)”和“形”這兩大基本概念進行的?？v觀數(shù)學發(fā)展史，“數(shù)”與“形”最初是一體的，隨著社會的進步，人們逐漸把“數(shù)”與“形”分離開來，后來人們又發(fā)現(xiàn)，數(shù)形結合有利于問題的解決，人們又有意識地把“數(shù)”與“形”結合起來。

【關鍵詞】數(shù)形結合；思想方法；歷史演進

【基金項目】阜陽幼兒師范高等?？茖W校教學研究校級重點項目“在中學數(shù)學教學中有效運用數(shù)形結合思想方法的教學研究與實踐”（編號：ZLGC2017JY011）。

一、數(shù)形結合思想方法概述

（一）數(shù)學思想方法

1.數(shù)學思想。人們對“數(shù)形結合思想”的論述不盡相同。

丁石孫認為，數(shù)學思想主要指數(shù)學研究方法的特點、數(shù)學與生產(chǎn)實踐的關系，以及數(shù)學發(fā)展的規(guī)律等。

蔡上鶴認為，數(shù)學思想是人們通過對生活中數(shù)量關系和空間形式的分析而總結出的數(shù)學理論的本質。

邵光華認為，數(shù)學思想是人們對數(shù)學內(nèi)容的抽象和概括，是數(shù)學的本質。

綜上，數(shù)學思想是人們總結出的數(shù)學的本質。數(shù)學思想包括很多方面，其中有數(shù)形結合的思想。

2.數(shù)學方法。數(shù)學方法的表述主要有：數(shù)學方法是指解決具體數(shù)學問題的策略；數(shù)學方法是利用數(shù)學知識解決問題；數(shù)學方法是人們在實踐中發(fā)現(xiàn)的運用數(shù)學思想解決問題的手段。

數(shù)學思想與數(shù)學方法緊密相連，數(shù)學思想強調(diào)指導思想，而數(shù)學方法強調(diào)操作過程。

（二）數(shù)形結合思想方法

學術界對“數(shù)形結合”的解釋各有不同，下面是幾種常見的說法。

張同君在《中學數(shù)學解題研究》中認為，數(shù)形結合是在問題解決過程中，將數(shù)量關系和空間形式進行結合，揭示問題的深層結構，從而達到順利解題的目的。

任樟輝在《數(shù)學思維理論》中認為，數(shù)形結合是數(shù)與形之間整體或局部的遷移。

徐斌艷在《數(shù)學課程與教學論》中認為，數(shù)形結合是通過抽象思維和形象思維的相互作用，以實現(xiàn)數(shù)量關系與圖形性質之間的相互轉化，將數(shù)量關系和圖形結合起來研究問題。

數(shù)形結合是通過把抽象的數(shù)量關系和形象的圖形相互轉化，從而使抽象問題具體化，以利于問題的解決。

數(shù)形結合包含兩方面：一是由數(shù)及形，利用“形”把問題中的數(shù)量關系形象地表示出來，化抽象為直觀，用幾何方法研究代數(shù)問題；一是由形及數(shù)，利用代數(shù)方法研究幾何問題。

二、數(shù)形結合思想方法的發(fā)展歷程

（一）數(shù)學萌芽時期的數(shù)形結合

在原始社會，數(shù)和形是一體的，不分家的。正如周述岐所說：“天上一個太陽，人的一只手有五個指頭等等?！贝藭r的數(shù)形結合是無意識的，這個時期人們還無法對數(shù)與形進行區(qū)分。

在數(shù)學的萌芽時期，人類在生活中經(jīng)常進行采集、狩獵活動，后來他們逐漸發(fā)現(xiàn)一只鳥、一個果子、一棵樹等之間存在共通性，從而拋開事物的物質本身抽象出了數(shù)。這就使數(shù)的概念從客觀事物中分離出來，“數(shù)”與“形”出現(xiàn)人類文明發(fā)展史上的第一次分離。隨著生產(chǎn)活動的進一步發(fā)展，社會生活出現(xiàn)了頻繁交易，記數(shù)變成了必要。記數(shù)經(jīng)歷了手指、石頭、結繩、刻痕等，后來出現(xiàn)了相應的記數(shù)系統(tǒng)。記數(shù)又一次將數(shù)與形結合起來。這時的數(shù)形結合是人類有意識的行為。

（二）古希臘時期的數(shù)形結合

在古希臘數(shù)學中，“形數(shù)”被看作某些幾何圖形中點的數(shù)目，它們構成了幾何學和算術之間的紐帶。三角形數(shù)、正方形數(shù)、五邊形數(shù)的幾何命名奠定了數(shù)形結合的基礎，如下圖所示。

結論1：正方形數(shù)是兩個相繼的三角形數(shù)之和，如圖4所示。

結論2：第個五邊形數(shù)等于第個三角形數(shù)的三倍加上，如圖5所示。

數(shù)學以幾何學為主要特征的代表作是《幾何原本》，這時人們通常從幾何的角度去研究等價的代數(shù)問題，數(shù)形結合的思想促進了代數(shù)的發(fā)展。如，完全平方數(shù)的證明，大正方形的邊長為，兩個小正方形的邊長分別為和，由圖可知，大正方形的面積與四部分的面積之和相等，如圖6所示。

再如，二項方程的幾何解法：已知長度分別為，，的三條線段，由平行線分線段成比例，解得方程，如圖7所示；在圓中直徑所對的圓周角為直角，根據(jù)相似三角形對應邊成比例，得方程，如圖8所示。

總之，這一時期通常用“形”來研究“數(shù)”的關系，畢達哥拉斯學派不接受無理數(shù)概念，他們認為有些幾何量不能用“數(shù)”來度量。

（三）我國古代數(shù)學中的數(shù)形結合思想

我國古代數(shù)學也體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想，如三國時代吳國的數(shù)學家趙爽對勾股定理的證明就采用了數(shù)形結合的思想。

趙爽在《周髀算經(jīng)》注中對勾股定理的證明：“按弦圖，又可以勾、股相乘為朱實二，倍之為朱實四，以勾股之差自相乘為中黃實。加差實，亦成弦實?！?/p>

設勾股形的三邊分別為，，，由圖和術可得：，將展開，即得勾股定理，如圖9所示。

該證明體現(xiàn)了以形證數(shù)、數(shù)形結合的思想，為中國古代“數(shù)形結合”樹立了一個典范。著名數(shù)學家吳文俊認為，在傳統(tǒng)數(shù)學中，數(shù)量關系與空間形式是并肩發(fā)展的。17世紀笛卡爾發(fā)明的解析幾何正是這種現(xiàn)象的體現(xiàn)。

（四）笛卡爾時代的數(shù)形結合

1637年，法國著名數(shù)學家笛卡爾創(chuàng)立了解析幾何，被認為是近世紀代數(shù)發(fā)展史上的一個里程碑。數(shù)軸的建立使代數(shù)與幾何聯(lián)系到一起，數(shù)軸上每個點都代表一個實數(shù)，且每個實數(shù)都能找到一個點和它對應，即點和實數(shù)一一對應。后來，笛卡爾又建立了平面直角坐標系和空間直角坐標系，這樣一來，就可以在坐標系中解決所有的幾何圖形問題，在此基礎上，他創(chuàng)立了“解析幾何學”。解析幾何的創(chuàng)立把代數(shù)和幾何統(tǒng)一起來，數(shù)學有了數(shù)形結合的新思想，自此，“數(shù)”與“形”便真的結合起來了。笛卡爾的坐標系曾被恩格斯稱為是“數(shù)學的轉折”。

（五）現(xiàn)代數(shù)形結合

現(xiàn)代數(shù)學研究中，人們常用“形”的術語來描述數(shù)量關系，指明其幾何意義。如非線性規(guī)劃的各種算法，如果不用幾何意義來描寫，就無法進一步研究。尤其是一些算法的設計，我們通常先設想一個幾何形象，從幾何角度進行研究后，再用解析法加以描述，這完全是“數(shù)形”結合的研究過程。可見，數(shù)形結合是數(shù)學發(fā)展的必然，它貫穿于數(shù)學發(fā)展的全過程。

華羅庚先生在《談談與蜂房結構有關數(shù)學問題》中寫道：“數(shù)無形時少直覺，形少數(shù)時難入微。數(shù)形結合百般好，隔離分家萬事非?！敝链耍皵?shù)形結合”一詞開始得到大家的普遍認可。

三、小結

數(shù)形結合給我們提供了一個解決問題的方法，能將復雜問題簡單化。數(shù)形結合思想方法經(jīng)歷了一個漫長的發(fā)展歷程，它是隨著社會的不斷進步而發(fā)展起來的，它的每一次發(fā)展都代表著人們數(shù)學思維方式的改變，是人類文明發(fā)展的必然結果。

【參考文獻】

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