李小琴

摘 要 本文通過建立對策模型，定量分析小區(qū)開放對周圍道路通行能力的影響。首先把小區(qū)開放的實踐活動進行量化，用增加可通行道路數(shù)表示開放小區(qū)，建立小區(qū)周圍道路通行能力的變動大小模型，該模型是把實際問題轉(zhuǎn)化為一個非合作對策問題中的“Nash平衡”問題，利用C語言編程仿真計算，得出影響道路通行能力的一級指標是道路通行能力。

關(guān)鍵詞 數(shù)學建模 對策論 計算機編程

中圖分類號：U491 文獻標識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2017.12.078

The gaming Model of the Influence of District Opening on the

Surrounding Road Capacity

LI Xiaoqin

（Guangdong University of Science and Technology， Dongguan， Guangdong 523079）

Abstract In this paper， through the establishment of game model， quantitative analysis of the influence of open area around the road capacity. The first to quantify cell open practice， by increasing the number of access roads can be said that the open area， changes in the size model of the capacity of the area around the road， the model is the actual problem as a non cooperative game problem the Nash balance problem， using C language programming simulation， the road capacity is an index that affect the traffic capacity of the road.

Keywords mathematical modeling， game theory， computer programming

小區(qū)開放影響小區(qū)周圍道路通行能力。一方面，小區(qū)開放使得小區(qū)周圍可通行道路增多，增多的可通行道路可以承載更多的車流量，提高小區(qū)周圍道路通行能力；另一方面，小區(qū)開放使得小區(qū)與周圍道路連通的交叉口也增多，車輛在交叉口處的行駛速度必然會降低，影響主路的通行速度，此時小區(qū)周圍道路通行能力反而會降低。那么小區(qū)究竟開放還是封閉為好？為了找到評價小區(qū)開放對周邊道路通行的影響的一級指標，我們把開放小區(qū)周圍交通變化問題轉(zhuǎn)化為一個對策問題來研究。

設(shè)某一地區(qū)有n個不同結(jié)構(gòu)、大小的小區(qū)，各小區(qū)都想盡各種辦法來緩解小區(qū)周圍的交通堵塞問題，如開放小區(qū)，提高服務(wù)水平條件（如派小區(qū)保安進行交通管制或安置紅綠燈交通標志），聘請高級建筑設(shè)計和規(guī)劃人才去更合理的規(guī)劃小區(qū)內(nèi)的道路網(wǎng)絡(luò)等等。顯然，由于同一個地區(qū)的進出的車輛數(shù)，即該地區(qū)的通行能力總量是有限的，則各小區(qū)之間在小區(qū)內(nèi)承受的車流量問題上，是存在一定的競爭性，因此可利用對策論知識來進行研究分析小區(qū)開放對周邊道路通行能力的影響。

1 問題假設(shè)

（1）同一出行高峰期時，該地區(qū)的全部車流量由這n個小區(qū)及其周圍道路來承受。

（2）假設(shè)該地區(qū)在同一出行高峰期時的全部車流量與小區(qū)通行能力呈負指數(shù)函數(shù)關(guān)系。小區(qū)的道路通行能力是指保持道路通暢前提下，單位時間內(nèi)小區(qū)所能承受的最大車流量，也可以轉(zhuǎn)化為各種策略，如開放小區(qū)，即增加小區(qū)內(nèi)通向小區(qū)外的道路條數(shù)，提高服務(wù)水平條件（如派小區(qū)保安進行交通管制或安置紅綠燈交通標志），聘請高級建筑設(shè)計和規(guī)劃人才去更合理的規(guī)劃小區(qū)內(nèi)的道路網(wǎng)絡(luò)等。由于出行者都偏于使用通行能力高的道路，則如果該地區(qū)全部車流量越小，相當于小區(qū)之間競爭就越激烈，小區(qū)需要的道路通行能力就越高，因此假定該地區(qū)在一定出行高峰期內(nèi)的全部車流量與小區(qū)道路的通行能力呈負指數(shù)函數(shù)關(guān)系是合理的。

（3）假設(shè)小區(qū)道路通行能力與提高小區(qū)對車輛車主的服務(wù)水平呈指數(shù)函數(shù)關(guān)系。為了要提高小區(qū)對車輛車主的服務(wù)水平，就會吸引更多的車輛使用該小區(qū)的道路，從而增加了該小區(qū)的通行能力。所以該假設(shè)也是合理的（見表1）。

2 該模型的符號說明

則在該出行高峰期內(nèi)小區(qū)的收益函數(shù)為 ，該收益函數(shù)反映的是小區(qū)通行能力的變動大小。

通常在同一地區(qū)內(nèi)，道路通行能力總量是有限的，故該地區(qū)對小區(qū)內(nèi)平均每條可通行道路的道路通行能力需求不僅受本小區(qū)道路策略的影響，還受其他小區(qū)道路策略的影響。當其它小區(qū)采取更有效的策略來競爭時，出行者對小區(qū)i的通行能力需求Vi就會隨之變化，從而影響到小區(qū)的道路通行能力的變化量（也即對策論中的收益），從而可設(shè)小區(qū)的收益函數(shù)為 。因此每個小區(qū)在制定本小區(qū)道路通行策略時就會考慮到其它小區(qū)的道路通行狀況。故可以將此問題建立為一個Nash平衡對策模型。

3 問題分析及建立對策模型

利用文[1]中的方法，可以建立為以下對策模型：

其中，為該地區(qū)道路通行能力的最大需求量。

由Largrange乘數(shù)法原理得，則Largrange函數(shù)

求偏導(dǎo)數(shù)得

則由微積分極值原理得，滿足以上條件的策略是一個條件極值點，也是一個Nash平衡點。

當忽略約束條件時，該問題對應(yīng)的Nash平衡點滿足的條件變?yōu)椋篹ndprint

由于一個策略必定受各種因素的影響，不妨設(shè)受兩個不同的因素影響，故可通過不同一量綱的參量和來量化，從而可定義，因此可以表示為。此時，Nash平衡點可表示為：

其中，為小區(qū)的最高通行能力，實際中，每個小區(qū)都會通過各種策略來提高該小區(qū)的道路通行能力，也即提高整個地區(qū)對小區(qū)內(nèi)平均每條可通行道路的通行能力需求，但道路通行能力需求的提高不是無限量的，它要受各小區(qū)最高通行能力的限制，因此要制定約束條件。

4 解決問題

利用文[2]的Nash-Cournot平衡點求解方法求解以上模型。

算法思想是：任何一個小區(qū)的最優(yōu)策略是在競爭對手制定的策略已定的情況下，以max為目標制定的，即符合條件：

其中為小區(qū)內(nèi)可通行車道數(shù)，整個地區(qū)對小區(qū)內(nèi)平均每條可通行道路的通行能力需求，為小區(qū)的道路通行能力的占有率，由假設(shè)2得，是小區(qū)的競爭策略的函數(shù)，且，，為該地區(qū)道路通行能力的最大需求，為提高服務(wù)水平的量， 為提高服務(wù)水平帶來的單位效益，定義，由于，不是相同的量綱，所以可以用表示，表示除了，之外的其它因素對小區(qū)的通行能力的影響，此處假設(shè)==…=， 衡量除了之外的其它因素對的影響，此處假設(shè)==…=， 表示在一定出行高峰期內(nèi)小區(qū)的原有通行能力，由假設(shè)3得。

根據(jù)以上所述的條件，將整個平衡點的求解分成以下兩種情況：

（1）給定時求解（），步驟如下

①取初始值，記為；

②在每個質(zhì)點上，求每個小區(qū)的；

③利用求；

④如果（也就是全部的轉(zhuǎn)到步⑤，否則轉(zhuǎn)到步②；

（5）求得每個小區(qū)的決策變量（）。

（2）變動時求最終的

①取初始值的，記；

②利用以上給定時（）的求解方法，計算出在給定時的；

③令 ，其中為小區(qū)的最高通行能力。

④如果，則結(jié)束，否則轉(zhuǎn)步②。

為了簡便，不妨假設(shè)該地區(qū)有兩個小區(qū)，并令=100，，=50，， =0.01， =0.0001。則由以上算法編程（Turbo C V2.0編譯的C語言程序）算得，運行結(jié)果見表1—表3。

由結(jié)果可知：

（1）在兩小區(qū)的最大通行能力都大于且相等時，如 ==800，運行結(jié)果見表2。由表2可知，兩個小區(qū)的各項參數(shù)相同，也就是兩小區(qū)的通行能力占有率相同，則所采取的競爭策略一樣，得到的收益也一樣。

（2）在兩小區(qū)的最大通行能力都大于但不相等時，比如=700，=800，運行結(jié)果見表3。由表3可見，所得的Nash平衡點與以上情形相同。通行能力大的小區(qū)由于能力閑置而遭受的資源損耗大于通行能力小的小區(qū)，所以實際中，通行能力大的小區(qū)的通行能力變化量會小于通行能力小的小區(qū)的通行能力變化量。而上述的假設(shè)得到的收益函數(shù)也忽略這點，故由程序算得的結(jié)果與實際情況是吻合的。

（3）當一個小區(qū)的最大通行能力大于，另一個小區(qū)的最大通行能力小于時，如=600，=450和=600，=430等，結(jié)果見表4。

由表4可知，（1）兩個小區(qū)的道路通行能力各自在整個地區(qū)的道路通行能力所占比重隨著道路通行能力小的小區(qū)的通行能力變化而變化，而且所占比重變化的幅度與道路通行能力的變化幅度相同；（2）隨著道路通行能力小的小區(qū)的道路通行能力降低（即小區(qū)封閉），道路通行能力大的小區(qū)的可通行道路數(shù)會上升、其小區(qū)交通管制服務(wù)水平也隨之提高，其道路通行能力變化量也提高，而道路通行能力小的小區(qū)恰好與之相反。因此，為了得到最大通行能力變動，能力大的小區(qū)應(yīng)增加可通行的道路數(shù)（即開放小區(qū)），為了保住原有行駛車輛和吸引更多行駛車輛的順利通行，各小區(qū)必定會提高道路通行管制的服務(wù)水平，而道路通行能力小的小區(qū)則應(yīng)采取減少可通行道路數(shù)的方法（即封閉小區(qū)），由于一個地區(qū)的道路通行能力總量有限，各小區(qū)必定會降低道路通行管制的服務(wù)水平，最終達到一個Nash平衡。

由以上分析結(jié)果得，模型求解的結(jié)果與實際情況相吻合，同時，并不是對所有小區(qū)來說都應(yīng)開放小區(qū)、提高道路通行管制的服務(wù)水平和聘請高水平的道路運輸規(guī)劃人才等措施越多，小區(qū)的道路通行能力變化量就會越大，而是應(yīng)根據(jù)本小區(qū)和其它小區(qū)的最高大通道路通行能力，來決定是否適合開放小區(qū)。

基金項目：廣東科技院級“質(zhì)量工程”立項建設(shè)項目《基于數(shù)學建模視角的高等數(shù)學教學改革探索——以我院計算機專業(yè)為例》，項目編號：CQ2016052

參考文獻

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[2] 師欣.港口競爭對策模型的研究.系統(tǒng)工程理論與實踐，Vol.9，No.9，27-33，1998，9.endprint