龔丹
摘要:當(dāng)兩個對數(shù)式是同底時,可直接用相應(yīng)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得出結(jié)論;而當(dāng)兩個對數(shù)式不同底時,要比較大小就困難多了。本文舉例說明這種情況下求解的若干方法。
關(guān)鍵詞:對數(shù)大小的比較;高中數(shù)學(xué)教學(xué);重要教學(xué)內(nèi)容
中圖分類號:G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識碼:B文章編號:1672-1578(2017)12-0128-01
在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,指數(shù)與對數(shù)大小的比較一直是學(xué)習(xí)的難點,在以前的學(xué)習(xí)中,我們主要是采用求值、作差、作商等方法來比較大小,但是有時面對求值很繁瑣或者人工無法求解的時候,學(xué)生對他們之間的比較可能會無從下手,但是只要我們掌握解決辦法,很多難題便可以迎刃而解。
1.對數(shù)
如果 a^x=N(a>0,且a≠1),那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)(logarithm),記作 x=log(a)N .其中,a叫做對數(shù)的底數(shù),N叫做真數(shù)。且a>0并且a≠1,N>0在實數(shù)范圍內(nèi),負(fù)數(shù)和0沒有對數(shù)[1]。在復(fù)數(shù)范圍內(nèi),負(fù)數(shù)有對數(shù)。由于數(shù)學(xué)是為現(xiàn)實生活服務(wù)的--建立的必須是現(xiàn)實存在的數(shù)學(xué)模型,故在現(xiàn)實生活中不存在真數(shù)為負(fù)數(shù)的數(shù)學(xué)模型。所以,高等數(shù)學(xué)中真數(shù)為負(fù)數(shù)的情況僅在理論上成立。
1.將以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)(common logarithm),并把log(10) N 記為 lg N.
2.以e為底的對數(shù)稱為自然對數(shù)(natural logarithm),并把log(e) N 記為 ln N.
零沒有對數(shù).
3.log(a) 1 =0,log(a) a =1
在實數(shù)范圍內(nèi),負(fù)數(shù)無對數(shù)。在復(fù)數(shù)范圍內(nèi),負(fù)數(shù)有對數(shù)。
2.當(dāng)?shù)讛?shù)相同,真數(shù)不同時
當(dāng)對數(shù)的底數(shù)相同,真數(shù)不同時,可直接應(yīng)用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來解決.
例1比較下列對數(shù)的大?。?/p>
(1)log23.4與log23.8;
(2)log0.51.8與log0.52.1;
(3)loga5.1與loga5.9.
解 (1)設(shè)f(x)=log2x,因為底數(shù)2>1,所以函數(shù)f(x)在定義域(0,+∞)上是增函數(shù),又真數(shù)3.4<3.8,∴f(3.4) (2)設(shè)g(x)=log0.5x,因為底數(shù)0.5<1,所以函數(shù)g(x)在定義域(0,+∞)上是減函數(shù),又真數(shù)1.8<2.1,∴g(1.8)>g(2.1),即log0.51.8>log0.52.1. (3)當(dāng)a>1時,由(1)題知loga5.1 3.當(dāng)真數(shù)相同,底數(shù)不同時 當(dāng)對數(shù)的真數(shù)相同,底數(shù)不同時,可先對它們?nèi)〉箶?shù),通過比較倒數(shù)的大小來達(dá)到比較原對數(shù)的大小為目的[2] ,其實還可以作圖比較大?。ó嫵龅讛?shù)不同的對數(shù)函數(shù)的圖像)。 例2比較下列對數(shù)的大?。?/p> (1)log1.83與log2.53; (2)log1.85與log0.45. 解(1)∵1log1.83=log31.81log2.53=log32.5 由例1知0 ∴1log1.85<1log2.53,∴l(xiāng)og1.83>log2.53。 (2)∵1log1.85=log51.81log0.45=log50.4 log51.8>0 ,log50.4小于0 ∴l(xiāng)og1.85>log0.45. 4.當(dāng)?shù)讛?shù)、真數(shù)都不相同時 當(dāng)對數(shù)的底數(shù)、真數(shù)都不相同時,關(guān)鍵是找到介于二者之間的中間數(shù)。 例3比較下列對數(shù)的大?。?/p> (1)log23與log20.5; (2)log75與log67; (3)log827與log925. 解(1)∵log23>log21=0,又log20.5 (2)先定正負(fù),log75>0,log67>0,二者皆正;∵真數(shù)5<底數(shù)7,真數(shù)7>底數(shù)6,方向相反,故可用1作中間數(shù).其具體接題過程是: ∵log75 ∴l(xiāng)og75 (3)先定正負(fù),log827>0,log925>0,二者皆正;注意到真數(shù)27>底數(shù)8,真數(shù)25>底數(shù)9,真數(shù)27>真數(shù)25與8底數(shù)<9底數(shù),故可用log927作中間數(shù),于是 log827>log927,log925 ∴l(xiāng)og827>log925. 上面通過對三類不同問題的解答,介紹了比較兩個對數(shù)的方法、步驟及策略,概括起來就是:同底用單調(diào);同真取倒用單調(diào)或者作圖;真底都不同,找中介溝通。 5.求差法 要比較兩式A與B的大小,只要計算A-B,并確定它的符號即可。 例4、比較log1.12與log1.22大小 解:log1.12-log1.22=lg2lg1.1-lg2lg1.2=(lg1.2-lg1.1)lg2lg1.1lg1.2=lg1.21.1lg2lg1.1lg1.2 上式中的四個對數(shù)式均大于零,則log1.12-log1.22>0,所以log1.12>log1.22。 評注:對于底數(shù)不同,真數(shù)相同的兩個對數(shù)式,都可用本例方法比較大小。 結(jié)束語: 以上對對數(shù)大小比較進(jìn)行了詳細(xì)分析,從中分析了對數(shù)對比的具體方法(利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,引入中間變量0或者1,或者一個具體的對數(shù)值,作差法,作商法等),有時冪和對數(shù)相結(jié)合進(jìn)行比較,方法與以上類似! 參考文獻(xiàn): [1]李偉年. 比較對數(shù)大小的一種新方法[J]. 濱州師專學(xué)報,2017,(04):35-36. [2017-09-04]. [2]孟慶武. 談對數(shù)大小的比較--對省編中職《數(shù)學(xué)》教材的一點看法[J]. 科學(xué)大眾,2017,(05):108+56. [2017-09-04].