蔣珊珊

[摘 要] MKT是“面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識”，其強調(diào)以有效的數(shù)學(xué)知識質(zhì)量支撐教學(xué)，強調(diào)在教學(xué)的視角下關(guān)注數(shù)學(xué)知識. MKT教學(xué)取向下，有一些容易忽視的問題會被凸顯并能彰顯其意義，如對學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難中的關(guān)注，如教師的數(shù)學(xué)學(xué)科知識質(zhì)量等. 理解“面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識”，需要教師從學(xué)生知識建構(gòu)的角度思考知識的發(fā)生過程，從而讓數(shù)學(xué)知識真正具有教學(xué)意義. MKT理論還可以促進教師的專業(yè)成長.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)教學(xué)；MKT理論；等差數(shù)列

MKT是Mathematical Knowledge for Teaching的簡稱，是“面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識”的意思，其包括“數(shù)學(xué)學(xué)科知識”與“數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)知識”兩個方面. MKT之所以能夠引發(fā)廣大數(shù)學(xué)教學(xué)研究者以及一線教師的興趣，一個很重要的方面，就是因為其秉承了一個觀點，即在深刻理解學(xué)科知識的基礎(chǔ)之上能夠形成對教育教學(xué)的見解. 這對于傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)理解來說還是有一定的啟發(fā)意義的. 傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)所堅持的一個重要觀念是面向數(shù)學(xué)知識進行教學(xué)，強調(diào)數(shù)學(xué)知識對教學(xué)的導(dǎo)向性. 而MKT則是強調(diào)學(xué)科知識對學(xué)科教學(xué)的支撐作用，也強調(diào)學(xué)科知識在學(xué)科教學(xué)的環(huán)境中的特殊理解，這就使得教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中可以重新建立一個角色，即認真研究數(shù)學(xué)學(xué)科知識并發(fā)掘其教學(xué)意義的角色. 基于這樣的理解，筆者對一些重要數(shù)學(xué)概念的教學(xué)進行了嘗試，取得了一些認識. 此處試以“等差數(shù)列”的教學(xué)為例，談?wù)劰P者的收獲.

[?] MKT理論強調(diào)對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難的關(guān)注

教學(xué)是面向?qū)W生的，高中數(shù)學(xué)教學(xué)橫比異于其他學(xué)科的特征在于其高度繁雜、高度抽象，要真正建構(gòu)起完整的高中數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)是很不容易的；縱比相對于義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，其表現(xiàn)出來的邏輯體系是此前的數(shù)學(xué)知識所難以比擬的. 因此，無論是橫比還是縱比，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中所表現(xiàn)出來的困難都是不可小覷的. MKT理論強調(diào)對學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中表現(xiàn)出來的困難要高度關(guān)注，并認為良好的教學(xué)水平表現(xiàn)之一，就是對學(xué)生學(xué)習(xí)困難的有效預(yù)測和診斷.

以“等差數(shù)列”為例，學(xué)生在建構(gòu)這一概念的時候可能會遇到什么困難？經(jīng)驗與研究表明，學(xué)生對于等差數(shù)列的簡單例子是可以順利建構(gòu)理解的，因為這可以由他們生活中所熟知的諸如奧運會舉行的年份、自然數(shù)集合等事例來支撐. 但是對于用數(shù)學(xué)語言來描述等差數(shù)列是存在困難的，尤其是在定義首項、公差和通項的基礎(chǔ)上去對等差數(shù)列的概念作一個抽象的表述，以及通過等差數(shù)列的通項公式來描述等差數(shù)列，對于超過一半的學(xué)生來說都是一個不小的挑戰(zhàn). 而學(xué)生出現(xiàn)這樣的困難也是正常的，因為即使是高中的學(xué)生，他們在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中也更擅長于對包含具體數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)事例進行思維加工，而對于概括性較強的、以符號表示某種數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)語言加工比較困難.

在這樣的基礎(chǔ)上再次思考MKT的本義即“面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識”，可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生在等差數(shù)列學(xué)習(xí)中所遇到的困難應(yīng)當(dāng)尋找一定的化解途徑. 對此，筆者的分析是：從純粹數(shù)學(xué)的意義來看，等差數(shù)列的概念“一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數(shù)”的表述，是高度概括的；而從教學(xué)的視角來看，這一知識的形成過程是需要精心設(shè)計的，而結(jié)合學(xué)生的思維特點，讓學(xué)生尋找生活中的等差數(shù)列事例并通過分析、綜合的學(xué)習(xí)過程，去逐步獲得對等差數(shù)列的層次越來越高的概括，以逐步幫學(xué)生從自己的經(jīng)驗走向抽象的數(shù)學(xué)定義，是有效的教學(xué)方式.

在具體的實踐中，學(xué)生在舉例環(huán)節(jié)是沒有問題的，在分析、綜合的環(huán)節(jié)，往往通過一兩個例子的分析，再通過第三或第四個例子的佐證，也都能發(fā)現(xiàn)這些等差數(shù)列的例子中后一項與前一項的差為常數(shù). 于是進入概念形成的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，此時筆者將重心放在通項公式的探究上，這個探究從一個問題開始：既然等差數(shù)列表現(xiàn)出一種強烈的規(guī)律性，那么在表示等差數(shù)列的時候，除了將其一一列出之外，還有沒有一種概括性更高的辦法，不用寫每一項，而是用一個符號能夠代表每一項呢？這個問題通俗易懂，也符合學(xué)生此時的思維需要——學(xué)生的內(nèi)心實際上也是有類似的想法的. 而有了這個想法之后，對于用首項和公差來獲得通項公式的關(guān)鍵其實就在于首項的加入，因為公差是一目了然的，只要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并概括其等差規(guī)律加上首項，即可完成對通項的描述.

在這樣的教學(xué)思路中，基于對學(xué)生學(xué)習(xí)存在的困難的關(guān)注，進而確定教學(xué)的重點，使得等差數(shù)列的概念及通項公式的構(gòu)建，成為一個適切學(xué)生學(xué)習(xí)需要的過程，有效地彰顯了MKT理論的指導(dǎo)意義.

[?] 數(shù)學(xué)教師學(xué)科知識的質(zhì)量影響著教學(xué)

實際上，MKT理論不僅是一個指導(dǎo)教師教學(xué)的理論，還是一個指導(dǎo)教師專業(yè)成長的理論，很多國內(nèi)資深的教育專家都對該理論在教師專業(yè)成長方面作出了研究. 筆者這里想結(jié)合等差數(shù)列知識的教學(xué)，談?wù)勅绾卧谠摾碚撝玛P(guān)注自身的學(xué)科知識的質(zhì)量.

通常情況下，我們認為高中數(shù)學(xué)教師的知識質(zhì)量與教學(xué)是匹配的，這可以由當(dāng)前的考試評價看出來. 但是仍然需要注意的是，如果高中數(shù)學(xué)教師能夠?qū)ψ陨淼闹R結(jié)構(gòu)有一個更高層次的把握，那在教學(xué)中必定能夠站在一個更高的角度去觀察學(xué)生的學(xué)習(xí)，而這正是MKT理論的重要要求. 當(dāng)然，我們所說的學(xué)科知識質(zhì)量不只是對學(xué)科知識的掌握質(zhì)量，還包括教學(xué)視角下的學(xué)科知識運用的質(zhì)量.

等差數(shù)列對于絕大多數(shù)高中數(shù)學(xué)教師來說并不是一個高深的知識，很多時候甚至因為其簡單而重視不夠（畢竟等差數(shù)列是數(shù)列知識體系中最基本的一個）. 而事實上，無論是從數(shù)學(xué)發(fā)展中來看，還是從學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程來看（MKT理論要求面向教學(xué)去建構(gòu)數(shù)學(xué)知識，所需要的其實也就是對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的研究），等差數(shù)列都不是想象的那么簡單.

比如說，在建構(gòu)等差數(shù)列概念的時候，筆者似乎很少看到將此知識與學(xué)生所學(xué)的一次函數(shù)產(chǎn)生聯(lián)系的情形，但等差數(shù)列的an=a+（n-1）d的表達式與y=kx+b何其像也！而教學(xué)經(jīng)驗也表明，在本知識學(xué)習(xí)的過程中，確實有學(xué)生就將兩者結(jié)合起來了，在學(xué)習(xí)的過程中就在下面吱唔：咦！怎么與一次函數(shù)的表達式有點像？其實這種聯(lián)系在教師的思維中就應(yīng)當(dāng)是存在的；又比如，也很少有教師在教授等差數(shù)列的時候能夠想到矩陣的知識，但實際上等差數(shù)列的通項公式是可以表示成矩陣的，而這也應(yīng)當(dāng)成為教師等差數(shù)列知識結(jié)構(gòu)中的知識.

像這樣的例子還有很多，可以肯定地講，教師大腦中關(guān)于等差數(shù)列的知識越豐富，那知識的質(zhì)量也就越高，在教學(xué)中也就更有可能高屋建瓴. 在這里顯然可以看到的是，像等差數(shù)列知識的質(zhì)量提升，不僅來源于更高層次的系統(tǒng)性知識的學(xué)習(xí)，也在于對學(xué)生學(xué)習(xí)過程的關(guān)注. 做到這兩點，教師知識質(zhì)量便真的能夠服務(wù)于教學(xué)，從而也就可以真正做到“面向教學(xué)”去建構(gòu)“數(shù)學(xué)知識”. 于是這里也就涉及對“面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識”的進一步的理解.

[?] “面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識”的數(shù)學(xué)教學(xué)理解

“面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識”與“數(shù)學(xué)知識”的理解顯然不完全相同，因為“面向教學(xué)”的條件限定，決定了這是隸屬于教師教育教學(xué)專業(yè)的數(shù)學(xué)知識的掌握，其與純粹的數(shù)學(xué)研究視角下數(shù)學(xué)知識的掌握顯然并不相同. 而這其中最大的不同在于，MKT理論所說的“面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識”是要賦予“數(shù)學(xué)知識”以“面向教學(xué)”的意義的，也意味著教師要關(guān)注的不只是數(shù)學(xué)知識的形成過程，更要在學(xué)生的認知視角下發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識是如何形成的.

等差數(shù)列在數(shù)學(xué)史中的形成過程較為復(fù)雜，不同文獻給出的解釋也有所不同，但這種對數(shù)學(xué)史及其細節(jié)的追究并不影響等差數(shù)列的教學(xué)，因為對于教師來說，我們更需要關(guān)注的是學(xué)生在學(xué)過了集合、函數(shù)、數(shù)列等基本概念的基礎(chǔ)上，如何有效地構(gòu)建出等差數(shù)列的概念，并能夠用高度抽象的文字語言、公式語言來描述等差數(shù)列. 只要解決了這個問題，等差數(shù)列這一“數(shù)學(xué)知識”就是真正的“面向教學(xué)”了.

也因此，MKT理論下的教師，更多要關(guān)注的其實是學(xué)生思維中數(shù)學(xué)知識的形成過程，當(dāng)然如上面第二點所說，這一過程的關(guān)注離不開教師的知識質(zhì)量這一基本面. 但無論如何，“面向教學(xué)”才是核心，才是方向性引領(lǐng)的關(guān)鍵. 而根據(jù)筆者的經(jīng)驗，用MKT理論視角來研究高中數(shù)學(xué)教學(xué)，還是需要有一定的層次性的，教師占有了一個知識，或者有了一個新發(fā)現(xiàn)之后，要思考如何將其有效地納入數(shù)學(xué)教學(xué)，這也是一個具有挑戰(zhàn)性的方面. 像上面提到的等差數(shù)列的通項公式與一次函數(shù)的形似，就可以成為教學(xué)的一個基礎(chǔ)；而像其與矩陣的關(guān)系，只適宜作為教師的一種知識架構(gòu)，想向?qū)W生傳遞是需要慎重考慮的.

總之，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中基于MKT理論視角來研究教學(xué)，是一個非常有益的嘗試，教學(xué)作為一種特殊的師生交流活動，其意義可以在MKT理論視角下得到更清晰的映照.