吳國強(qiáng)

[摘 要] 概念教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)，概念教學(xué)常常被淡化，一個重要原因是認(rèn)為概念是在問題解決的過程中具體運(yùn)用的，概念教學(xué)本身不需要花費(fèi)太多的時間. 實(shí)際上，概念教學(xué)是一個學(xué)生觀念轉(zhuǎn)變的過程，概念轉(zhuǎn)變需要理清學(xué)生對所學(xué)概念的可能認(rèn)識，需要通過問題驅(qū)動等方式實(shí)現(xiàn)有效的概念轉(zhuǎn)變，需要對數(shù)學(xué)概念的表述作出精確的理解.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；概念轉(zhuǎn)變；教學(xué)意義

高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個基本任務(wù)，就是數(shù)學(xué)概念的教學(xué). 傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)理念中，概念及其教學(xué)是占據(jù)著極為重要的地位的，但是在應(yīng)試教育的氛圍中，概念教學(xué)又常常被壓縮，因?yàn)樵趹?yīng)試中積累起來的“技巧”之一就是“淡化概念的教學(xué)，重視概念的應(yīng)用”，這種邏輯的背后存在著這樣的認(rèn)識，即高中數(shù)學(xué)概念作為最基本的教學(xué)單元，其不需要花費(fèi)太多的時間實(shí)施教學(xué). 從“現(xiàn)實(shí)”角度來看，這樣的認(rèn)識是有其合理的一面的，但從學(xué)生的數(shù)學(xué)知識建構(gòu)以及數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)提升的角度來看，這樣的認(rèn)識又顯然是有缺陷的. 而筆者認(rèn)為，無論是在應(yīng)試的氛圍中，還是在核心素養(yǎng)的氛圍中，概念教學(xué)還是要回歸其應(yīng)有地位，在概念教學(xué)的過程中還是要去認(rèn)真研究學(xué)生. 于是這就引申出另外一個問題：怎樣的概念教學(xué)研究才是有效的？從理論角度來看，信息加工理論專家提出的“概念轉(zhuǎn)變”值得仔細(xì)研究.

[?] 概念轉(zhuǎn)變在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的意義

概念轉(zhuǎn)變是一個特別有意思的概念，概念轉(zhuǎn)變意味著學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中形成的科學(xué)概念是轉(zhuǎn)變的結(jié)果，這也意味著概念學(xué)習(xí)的過程就是概念轉(zhuǎn)變的過程. 在概念轉(zhuǎn)變之前學(xué)生對相關(guān)知識是有概念的（這個觀點(diǎn)是不是很熟悉呢？這就是很多高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究中出現(xiàn)的“前概念”的意味），而從概念轉(zhuǎn)變之前的概念到科學(xué)概念的轉(zhuǎn)變過程的質(zhì)量，也就體現(xiàn)著教師概念教學(xué)的質(zhì)量. 由此可見，用概念轉(zhuǎn)變來描述概念教學(xué)是有積極意義的. 同時，研究概念轉(zhuǎn)變不要忘記一個著名的發(fā)生認(rèn)識論的專家皮亞杰的一個觀點(diǎn)，皮亞杰認(rèn)為：兒童（學(xué)生）在他的經(jīng)驗(yàn)中進(jìn)行學(xué)習(xí)是最有效的學(xué)習(xí)，如果經(jīng)驗(yàn)?zāi)軌蛞鹫J(rèn)知沖突并讓學(xué)生感覺到自身的思維的不足，那這樣的學(xué)習(xí)就更為有效.

結(jié)合自身的數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)理解這句話，筆者以為其很有道理，原因在于：其一，每一個學(xué)生在學(xué)習(xí)之時都不是在“白紙上畫畫”（這樣的隱喻在課程改革中已經(jīng)多次被提及），而是在自身經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行再加工；其二，經(jīng)驗(yàn)之所以能夠發(fā)揮作用，在于學(xué)生能夠在新的問題情境中感覺到自身經(jīng)驗(yàn)的不足，于是這就形成了皮亞杰所強(qiáng)調(diào)的認(rèn)知沖突，而當(dāng)這個認(rèn)知沖突并不那么容易得到解決的時候，學(xué)生就會感覺到自身思維的不足，于是有效學(xué)習(xí)就有可能產(chǎn)生.

然后我們到自身的教學(xué)中去尋找能夠佐證的例子，結(jié)果發(fā)現(xiàn)這樣的例子并不少見. 比如說“橢圓”概念的教學(xué)，在學(xué)生原有的思維中，橢圓就是“不正的圓”，也有學(xué)生說橢圓就是“被壓扁的圓”——盡管在實(shí)際教學(xué)中有不少學(xué)生對這樣的答案報以笑聲，但這確實(shí)是很多學(xué)生的想法，也就意味著這是很多學(xué)生已有的對橢圓的概念，這個概念雖然不對，但卻是教師教學(xué)的起點(diǎn). 后來在學(xué)習(xí)了集合等概念之后，學(xué)生建立起的橢圓的概念是“在同一平面內(nèi)到兩個固定點(diǎn)的距離為定值的點(diǎn)的集合”，于是這個時候?qū)W生對橢圓這一概念的認(rèn)識就不再是基于“形”的了，這實(shí)際上是一種抽象的表達(dá)，總體而言，這樣的概念表述顯然是進(jìn)了一步；再到后來圓錐曲線的學(xué)習(xí)中，對橢圓的描述又有所不同，其通過標(biāo)準(zhǔn)方程（數(shù)形結(jié)合）來對橢圓進(jìn)行描述，而定點(diǎn)與準(zhǔn)線成為兩個基本概念. 在這樣的遞進(jìn)過程中，學(xué)生對橢圓概念的理解不斷深入，而每次深入的過程，實(shí)際上也就是概念轉(zhuǎn)變的過程，在這個過程中學(xué)生的認(rèn)知平衡不斷地被打破，然后又不斷地建立起新的平衡. 無論是教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，還是從理論角度來看學(xué)生的這一思維過程的轉(zhuǎn)變，都可以認(rèn)為這樣的概念轉(zhuǎn)變過程是有意義的.

這也提醒我們，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中對于概念的教學(xué)，要同時研究起點(diǎn)與終點(diǎn)，要知道學(xué)生對某個數(shù)學(xué)概念已經(jīng)知道了什么，要研究一個科學(xué)的數(shù)學(xué)概念應(yīng)當(dāng)如何形成，在概念轉(zhuǎn)變的過程中學(xué)生可能的思維有哪些，應(yīng)當(dāng)采用哪些方式進(jìn)行引導(dǎo)等. 如果在教學(xué)中真的能夠做到這一點(diǎn)，那概念教學(xué)一定會彰顯其促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)理解、提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的作用. 但這里有另一個問題不可回避，那就是概念的轉(zhuǎn)變究竟應(yīng)當(dāng)沿著什么樣的途徑進(jìn)行？

[?] 高中數(shù)學(xué)教學(xué)促進(jìn)概念轉(zhuǎn)變的環(huán)節(jié)

要促進(jìn)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有效的概念轉(zhuǎn)變，首先就必須讓學(xué)生有概念可供轉(zhuǎn)變. 這就意味著學(xué)生對某個數(shù)學(xué)概念的前概念必須是清晰的、明確的，而要做到這一點(diǎn)并不容易，因?yàn)閷W(xué)生在生活中形成的認(rèn)識往往是隱藏在紛繁復(fù)雜的生活經(jīng)驗(yàn)之后的，其并不會自然凸顯出來供數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)所使用，因此促進(jìn)概念轉(zhuǎn)變的第一個環(huán)節(jié)就是：讓學(xué)生的已有概念清晰化.

在“橢圓”概念最初的教學(xué)中，學(xué)生對橢圓概念的認(rèn)識局限于上面所列舉的那些認(rèn)識，這種認(rèn)識其實(shí)在實(shí)際教學(xué)中是需要加工的，無論是“不正的圓”還是“壓扁的圓”，其實(shí)反映的都是學(xué)生對橢圓最原始的認(rèn)識. 而到了圓錐曲線中研究橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的時候，學(xué)生大腦中清晰的橢圓的表象，必須是那個“到兩個定點(diǎn)的距離之和為定值”的作出橢圓的動畫，只有這個表象清晰，那在建立橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的時候，才有一個堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

在此基礎(chǔ)上，就進(jìn)入了概念學(xué)習(xí)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，即“概念轉(zhuǎn)變”. 概念轉(zhuǎn)變的關(guān)鍵是學(xué)生能夠在原有對概念理解的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)認(rèn)知的失衡并意識到自身思維的不足. 于是概念教學(xué)就進(jìn)入了第二個環(huán)節(jié)：在數(shù)學(xué)教學(xué)中更多的是通過問題來實(shí)現(xiàn)學(xué)生的概念轉(zhuǎn)變.

比如說橢圓教學(xué)的第一個環(huán)節(jié)，教師完全可以順勢反問：是不是把圓壓扁了就是橢圓？那一個圓是不是就可以壓成無數(shù)個橢圓？這樣的問題往往可以讓學(xué)生原有的認(rèn)識遇到挑戰(zhàn)，但他們又無法形成對橢圓的準(zhǔn)確認(rèn)識，這個時候教師如何引導(dǎo)才能讓學(xué)生認(rèn)識到橢圓的定義需要有標(biāo)準(zhǔn)的方法呢？筆者以為，此時直接呈現(xiàn)橢圓的作法是不太妥當(dāng)?shù)?，更好的辦法應(yīng)當(dāng)是在學(xué)生的思維中形成一個較好的思路，而這又可以以圓的定義來作為一個前概念. 在此之前，學(xué)生已經(jīng)知道了“到一個固定點(diǎn)的距離為定值的點(diǎn)的集合就是圓”，那教師不妨引導(dǎo)學(xué)生思考：在圓的定義的基礎(chǔ)上大家不妨思考一下，如果不是一個定點(diǎn)，而是兩個定點(diǎn)，那會出現(xiàn)什么樣的結(jié)果？這個問題的提出可以讓學(xué)生的腦洞大開，用一些學(xué)生的話說是“我怎么沒有想到這個問題呢？”而有了兩個點(diǎn)之后，肯定就不可能是到兩個點(diǎn)的距離了，那又應(yīng)該是什么呢？一番思考（實(shí)際上了就是概念轉(zhuǎn)變的過程）之后，學(xué)生就會認(rèn)同到兩定點(diǎn)的距離為定值. 在這種情況下，讓學(xué)生去實(shí)際體驗(yàn)作出橢圓的過程，或者簡單一點(diǎn)用現(xiàn)代教學(xué)手段展示橢圓的生成過程，就比較適合了. 經(jīng)由這個過程，學(xué)生就經(jīng)歷了一個有效的概念轉(zhuǎn)變過程，學(xué)生對數(shù)學(xué)視角下橢圓的科學(xué)定義就有了深刻的理解，數(shù)學(xué)概念也就不再是一個機(jī)械記憶的內(nèi)容.

概念轉(zhuǎn)變的第三個環(huán)節(jié)是對數(shù)學(xué)概念的內(nèi)化，這是一個對數(shù)學(xué)概念進(jìn)行咀嚼的過程. 而所謂的咀嚼，實(shí)際上就是將數(shù)學(xué)語言表述出來的概念，變成一個相對形象的思維表象. 如在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得出之后再讓學(xué)生去理解橢圓的概念，學(xué)生大腦中應(yīng)當(dāng)出現(xiàn)的就不僅僅是PF1+PF2=2a這樣的表述（當(dāng)然即使是這個表述，大腦中也要出現(xiàn)基于直角坐標(biāo)系上的橢圓及焦點(diǎn)、固定的距離之和等），還應(yīng)當(dāng)在此坐標(biāo)系上有效地說出+=1（a>b>0）及其意義. 這種基于同一坐標(biāo)系上的同一圖形進(jìn)行的不同層次的表述，恰恰是可以表征學(xué)生對概念理解的結(jié)果的，這也就是數(shù)學(xué)概念內(nèi)化的過程.

[?] 概念轉(zhuǎn)變的教學(xué)研究必須以生為本

課程改革中一個基本的觀念是“學(xué)習(xí)是學(xué)生自己的事”，那高中數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，就需要從學(xué)生的角度去思考如何實(shí)現(xiàn)概念轉(zhuǎn)變，這也是“以生為本”教學(xué)理念真正落實(shí)的重要體現(xiàn).

概念轉(zhuǎn)變其實(shí)本來就是學(xué)生所具有的概念的轉(zhuǎn)變，學(xué)生概念轉(zhuǎn)變之前已經(jīng)知道了什么？這些內(nèi)容與概念轉(zhuǎn)變又有什么樣的關(guān)系？教師如何幫學(xué)生實(shí)現(xiàn)有效的概念轉(zhuǎn)變呢？這些問題的研究與回答，必須基于學(xué)生這個學(xué)習(xí)主體，只有這樣，教學(xué)研究的方向才是準(zhǔn)確的，這也是以生為本的本義. 說得具體一點(diǎn)，即概念轉(zhuǎn)變實(shí)際上是一個以學(xué)生已知為起點(diǎn)，以對科學(xué)數(shù)學(xué)概念的表述的理解為終點(diǎn)的教學(xué)過程. 真正把這個過程抓實(shí)，真正讓學(xué)生的概念得到有效轉(zhuǎn)變，那數(shù)學(xué)概念的教學(xué)就超越了簡單記憶的層面，其在學(xué)生將來的問題解決過程中也就能夠發(fā)揮更大的作用. 這樣實(shí)際上也就解決了過多的概念教學(xué)不能讓學(xué)生形成問題解決本領(lǐng)的認(rèn)識問題.

總之，高中數(shù)學(xué)教學(xué)要重視概念的教學(xué)，而從概念轉(zhuǎn)變的角度來研究概念教學(xué)，則是一個真正引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)魅力、提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要途徑.