【摘 要】 學(xué)生的概率認(rèn)知常常表現(xiàn)出各種錯(cuò)誤，且這些錯(cuò)誤常常十分頑固而難以消除。結(jié)合筆者以往的實(shí)證研究，以學(xué)生概率認(rèn)知中4類常見的錯(cuò)誤（概率不可預(yù)知、代表性啟發(fā)、等可能性偏見、模糊的樣本空間）為例，從知識(shí)基礎(chǔ)、思維水平、直覺經(jīng)驗(yàn)等視角對(duì)上述錯(cuò)誤的潛在原因進(jìn)行分析，并據(jù)此對(duì)教師的教學(xué)改進(jìn)提出若干建議。

【關(guān)鍵詞】 概率認(rèn)知；等可能性偏見；樣本空間；代表性啟發(fā)

1 引言

2001年頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》首次將概率內(nèi)容納入中小學(xué)數(shù)學(xué)課程[1]，2012年頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》則進(jìn)一步降低了該部分內(nèi)容的難度[2]。這樣的調(diào)整是基本合理的：一線教學(xué)實(shí)踐[3][4]和大量實(shí)證研究[5][6][7]都一再表明，學(xué)生對(duì)概率概念的理解存在諸多誤區(qū)和局限。研究甚至表明[8][9][10]，不同年齡層人群對(duì)概率的認(rèn)知均表現(xiàn)出不同程度的錯(cuò)誤，且這些錯(cuò)誤常常十分頑固而難以消除。

對(duì)教師而言，概率作為數(shù)學(xué)課程新近引入的內(nèi)容領(lǐng)域，它一方面對(duì)教師的知識(shí)儲(chǔ)備提出了挑戰(zhàn)：他們?cè)诨A(chǔ)教育階段一般沒有學(xué)習(xí)過(guò)概率知識(shí)[11]，對(duì)概率的理解也常常出現(xiàn)各類錯(cuò)誤[12]。另一方面，鑒于學(xué)生概率學(xué)習(xí)中的種種困難，它還要求教師在教學(xué)中關(guān)注他們是如何理解該部分內(nèi)容的[13]。

那么，教師應(yīng)該怎樣認(rèn)識(shí)學(xué)生概率認(rèn)知中的錯(cuò)誤？

長(zhǎng)期以來(lái)，“錯(cuò)誤”常常被認(rèn)為是消極的：它是一種混淆（confusion）或離題（digression）的表現(xiàn)，因而應(yīng)該被避免[14]。心理學(xué)研究扭轉(zhuǎn)了人們對(duì)它的認(rèn)識(shí)：錯(cuò)誤應(yīng)該被積極看待，因?yàn)樗莾和伎嫉囊徊糠諿15]。錯(cuò)誤是一筆寶貴的教學(xué)資源，它直接反映了學(xué)生在概念理解過(guò)程中的局限，為教師了解學(xué)生概念學(xué)習(xí)的過(guò)程提供了諸多有價(jià)值的信息。國(guó)際學(xué)界對(duì)學(xué)生概率認(rèn)知及其錯(cuò)誤的研究已然取得了巨大進(jìn)展。我國(guó)近年來(lái)的實(shí)證研究則進(jìn)一步證實(shí)[5][16]：國(guó)際學(xué)界報(bào)道的概率認(rèn)知錯(cuò)誤在我國(guó)學(xué)生中也十分常見。但總體而言，以往的此類研究大都關(guān)注于錯(cuò)誤的具體表現(xiàn)（“是什么”），其次是對(duì)錯(cuò)誤的原因分析（“為什么”），而對(duì)于錯(cuò)誤的教學(xué)干預(yù)（“怎么辦”）則著墨較少。研究者近年來(lái)對(duì)我國(guó)中小學(xué)生的概率認(rèn)知水平[17][18]、認(rèn)知偏見[19]及認(rèn)知策略[20]等展開了系列實(shí)證研究，本文結(jié)合上述系列研究的結(jié)果，以學(xué)生概率認(rèn)知中4類常見的錯(cuò)誤（概率不可預(yù)知、代表性啟發(fā)、等可能性偏見、模糊的樣本空間）為例，著力從知識(shí)基礎(chǔ)、思維水平、直覺經(jīng)驗(yàn)等視角探討學(xué)生概率認(rèn)知錯(cuò)誤的潛在原因，并從教學(xué)層面提出若干建議以供一線教師參考。

2 “概率不可預(yù)知”

義務(wù)教育階段涉及的概率內(nèi)容主要是理論概率與實(shí)驗(yàn)概率。前者的一個(gè)例子是古典概率，后者的一個(gè)例子是頻率概率。古典概率的基本特點(diǎn)是試驗(yàn)的樣本空間有限（即，所有可能結(jié)果的個(gè)數(shù)是有限個(gè)）且每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，事件的概率可以通過(guò)事前的理論計(jì)算而得知，因而它具有先驗(yàn)性。頻率概率是根據(jù)大量重復(fù)試驗(yàn)的結(jié)果而歸納得到的，其依據(jù)的原理是大數(shù)定律：在進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)后，事件發(fā)生的頻率將無(wú)限接近于其概率。以教材中常見的“摸球”模型為例，一個(gè)盒子里有2個(gè)黑球和1個(gè)白球（它們除顏色外均相同，下同）。如果我們問(wèn)“從盒子里摸出1個(gè)球，摸出哪種球的概率大”，它屬于古典概率問(wèn)題；如果我們問(wèn)“從盒子里摸出1個(gè)球，記下顏色后放回。假設(shè)如此重復(fù)摸球1000次，請(qǐng)你估計(jì)摸出哪種顏色球的次數(shù)多”，它則屬于頻率概率問(wèn)題。無(wú)論哪種情形，總有些學(xué)生會(huì)認(rèn)為“這些沒有發(fā)生的事情不好預(yù)測(cè)，只有摸了才知道”、“我們不可能預(yù)知未來(lái)”、“老天爺才知道”、“我們不是球，只有球知道”，等等[20][21][22]。在他們眼里，概率具有一種神秘色彩，它是不可被預(yù)測(cè)和量化的。

究其原因，他們對(duì)古典概率的理論先驗(yàn)性和頻率概率的大數(shù)定律缺乏認(rèn)識(shí)。盡管中小學(xué)教材對(duì)此沒有明確提及，也不適合正式地以文字形式呈現(xiàn)，但這些思想的滲透似乎顯得必不可少。從更一般的角度而言，古典概率的“先驗(yàn)推理”是一種演繹的推理方式，頻率概率的“基于數(shù)據(jù)推理”是一種歸納的推理方式。這也在一定程度上反映了學(xué)生概率思維的缺失。

如何幫助學(xué)生擺脫這類錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)？筆者認(rèn)為：第一，對(duì)古典概率而言，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)概率“可度量性”的認(rèn)識(shí)。生活中有許多的度量單位和工具，例如一本書的大小可以用“長(zhǎng)和寬”、“厚和薄”來(lái)衡量，室內(nèi)的空氣可以用“熱與冷”、“干與濕”來(lái)衡量。概率則是衡量可能性大?。ǔ潭龋┑摹皢挝弧?，不過(guò)與上述“長(zhǎng)度”、“寬度”、“厚度”、“熱度”、“濕度”等有所區(qū)別的是，它不是那么容易直接感知，它是看不見、摸不著的。盡管如此，它起碼是可以被度量的。這也正是概率的魅力所在：身處信息紛繁的大數(shù)據(jù)時(shí)代，我們?cè)谔幚砩钪须S機(jī)事件時(shí)可以有據(jù)可循，概率就是我們進(jìn)行決策的有力工具。在教學(xué)中，教師應(yīng)能幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到，概率并非深不可測(cè)或充滿神秘，我們可以從理論上去度量它并為我們所用。究竟最終摸出哪種情況的確不得而知，但至少我們可以事先預(yù)測(cè)哪種情況被摸出的可能性更大。“最終摸出哪種情況”和“哪種情況更容易被摸出”是兩碼事，前者“只有摸了才知道”，而后者是“在不摸的情況下進(jìn)行預(yù)測(cè)”。概率知識(shí)就是幫助我們對(duì)隨機(jī)事件結(jié)果進(jìn)行合理預(yù)測(cè)的手段，而至于最終“真正摸出的那種情況”與“理論上更容易被摸出的情況”是否正好一致則無(wú)法肯定，因?yàn)殡S機(jī)事件中每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的概率都不是100%，小概率的結(jié)果也有可能發(fā)生。第二，對(duì)頻率概率而言，加強(qiáng)學(xué)生的“數(shù)據(jù)意識(shí)”。在相同條件下的大量重復(fù)試驗(yàn)中，一次結(jié)果具有隨機(jī)性但總體結(jié)果則具有穩(wěn)定性和規(guī)律性，這里的穩(wěn)定性和規(guī)律性是指各類結(jié)果的相對(duì)頻率漸趨明朗，它們發(fā)生的概率可以被大概估計(jì)。顯然，從“過(guò)往經(jīng)驗(yàn)”估計(jì)“將來(lái)結(jié)果”的過(guò)程是基于數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)推理過(guò)程。只要試驗(yàn)次數(shù)足夠多，我們對(duì)某個(gè)結(jié)果發(fā)生概率的估計(jì)就越準(zhǔn)確。在教學(xué)中，教師應(yīng)能幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到概率和統(tǒng)計(jì)的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)意識(shí)，引導(dǎo)其在實(shí)際的統(tǒng)計(jì)活動(dòng)中感受概率的相對(duì)大小，并發(fā)展其統(tǒng)計(jì)推理和歸納思維能力。

3 “代表性啟發(fā)”

如前所述，在古典概率問(wèn)題中概率是可以通過(guò)理論被計(jì)算出來(lái)的。例如，一個(gè)盒子里有2個(gè)黑球和2個(gè)白球，如果我們問(wèn)“從盒子里摸出2個(gè)球，摸出‘1個(gè)黑球和1個(gè)白球與摸出‘2個(gè)白球兩種情況哪種概率大”。很多學(xué)生能夠斷定摸出“1個(gè)黑球和1個(gè)白球”的概率大，但是他們給出的理由則完全不是依據(jù)“計(jì)算”得來(lái)的：他們傾向于認(rèn)為這種“混合結(jié)果”更具有“代表性”或“一般性”，而“兩個(gè)都是白球”這種情況太“極端”或“特殊”[23][24]。例如，有學(xué)生認(rèn)為“1個(gè)黑球和1個(gè)白球這種黑白搭配比較容易出現(xiàn)，兩個(gè)都是白的太難了”，“不可能那么巧兩個(gè)都是白的，1個(gè)黑的1個(gè)白的比較正?！?，等等。

究其原因，他們一方面對(duì)概率的“可度量性”認(rèn)識(shí)不足，更不能找到可靠的辦法（即，基于列舉法求概率）將它計(jì)算出來(lái)。這里不再贅述。另一方面，這也反映了這部分學(xué)生習(xí)慣從“主觀感知”或“直覺認(rèn)識(shí)”的角度看待概率問(wèn)題。更具體地說(shuō)，這在一定程度上反映了他們認(rèn)識(shí)事物時(shí)所表現(xiàn)出的“中庸思維”，在決策時(shí)常常傾向于“遠(yuǎn)離極端結(jié)果，親近一般結(jié)果”。

如何幫助學(xué)生擺脫這類錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)？筆者認(rèn)為：第一，如前所述，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)概率“可度量性”的認(rèn)識(shí)，這里不再贅述。第二，正確看待學(xué)生概率認(rèn)知中的直覺因素。概率內(nèi)容具有情境性和直覺性[25]。學(xué)生在正式接觸概率之前已然積累了大量與之有關(guān)的生活經(jīng)驗(yàn)，因而他們對(duì)概率的理解不可避免地?fù)诫s了直覺的因素[24]。直覺在兒童的概率認(rèn)知中扮演著重要角色。但直覺有兩面性，不良的直覺會(huì)有害無(wú)益。教師要引導(dǎo)學(xué)生：概率研究的雖然是“不確定性”，但是我們?cè)诟怕释评砘驔Q策時(shí)實(shí)則有據(jù)可循，而不能把生活中的經(jīng)驗(yàn)完全嫁接到概率問(wèn)題中去。如果盒子里有10個(gè)白球和1個(gè)黑球，摸出“1個(gè)白球和1個(gè)黑球”的概率仍然比摸出“2個(gè)白球”的大嗎？這時(shí)候類似于“兩種不同顏色搭配更加容易，而兩個(gè)都是白的太難了”的解釋是否顯得蒼白無(wú)力了呢？事件的概率不以我們的意愿而改變，我們要做的是根據(jù)具體情況進(jìn)行分析，而不能過(guò)分地將自己的意識(shí)強(qiáng)加在這個(gè)過(guò)程中，所謂的“更具有代表性的結(jié)果”只不過(guò)是我們主觀的意愿，它無(wú)法左右事件的概率，也無(wú)法有效解釋概率。

4 “等可能性偏見”

Lecoutre發(fā)現(xiàn)[26]，當(dāng)我們用外形均勻的物體進(jìn)行隨機(jī)試驗(yàn)時(shí)，人們常常不顧各類結(jié)果概率大小的差異，而一味地認(rèn)為所有結(jié)果的概率相等。仍以上述“摸球”任務(wù)為例，一個(gè)盒子里有2個(gè)黑球和2個(gè)白球，如果我們問(wèn)“從盒子里摸出2個(gè)球，摸出‘1個(gè)黑球和1個(gè)白球與摸出‘2個(gè)白球兩種情況哪種概率大”?？傆腥藭?huì)認(rèn)為“兩者的可能性一樣大”，因?yàn)椤八薪Y(jié)果的可能性大小相等”。李俊進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)[16]，學(xué)生的“等可能性偏見”實(shí)際上有兩種基本類型：一類認(rèn)為所有結(jié)果發(fā)生的機(jī)會(huì)都是“一半一半”的，它們的概率都是50%；一類則是根據(jù)他們能夠想到的可能結(jié)果進(jìn)行“計(jì)算”而來(lái)，假如某學(xué)生認(rèn)為上述試驗(yàn)共有3種可能的結(jié)果——“2個(gè)都是白球，2個(gè)都是黑球，1個(gè)黑球和1個(gè)白球”，他則斷定每個(gè)結(jié)果的概率都是1/3。學(xué)生的“等可能性偏見”是十分普遍和難以消除的。研究發(fā)現(xiàn)[19]，前一種“等可能性偏見”隨年級(jí)增長(zhǎng)有所消除，后一種“等可能性偏見”則隨年級(jí)增長(zhǎng)不降反升。

兩類“等可能性偏見”的原因有同有異。相同之處在于：第一，它們都是對(duì)“等可能性”的曲解。例如，擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，所有可能結(jié)果為{1，2，3，4，5，6}，每個(gè)結(jié)果是“等可能”的；擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，所有可能結(jié)果為{（1，1），（1，2），…（1，6）；（2，1），（2，2），…（2，6）；（3，1），（3，2），…（3，6）；（4，1），（4，2），…（4，6）；（5，1），（5，2），…（5，6）；（6，1），（6，2），…（6，6）}，每個(gè)結(jié)果也是“等可能”的（它們是基本事件），但擲出“1和2”（它不是基本事件）與“兩個(gè)1”的概率則是不相等的。再如上述摸球的例子，所有可能的結(jié)果為{白1白2，白1黑2，白2黑2，黑1黑2，黑1白1，黑1白2}，每個(gè)結(jié)果是“等可能”的，但是“1個(gè)黑球和1個(gè)白球”與“2個(gè)白球”的概率則是不相等的，因?yàn)榍罢甙私Y(jié)果中的4種情況。第二，它們都是“等分思維”惹的禍。等分思維是一種確定性思維，學(xué)生在對(duì)概率認(rèn)識(shí)不足的情況下，其潛意識(shí)里的等分思維往往在其概率計(jì)算中扮演著重要的反面角色。在以往的訪談中常常聽到學(xué)生這樣的觀點(diǎn)：“既然這些結(jié)果都有可能發(fā)生，那么他們的可能性一樣大”。顯然，他們認(rèn)為“都可能發(fā)生”就是“發(fā)生的機(jī)會(huì)一樣大”，因?yàn)椤熬唧w是什么結(jié)果只有發(fā)生了才知道，如果事先要判斷哪個(gè)結(jié)果更大，那只能用平等的眼光看待這些結(jié)果”。生活中這樣的例子比比皆是。以NBA球員投籃為例，根據(jù)官方統(tǒng)計(jì)，勇士隊(duì)控球后衛(wèi)庫(kù)里（Stephen Curry）的罰球命中率高達(dá)90%以上。在一次正常的罰球前，我們可以很有信心地認(rèn)為“他進(jìn)球的概率很大”：如果將庫(kù)里該次罰球與之前的1000次罰球連起來(lái)看（盡管每次罰球的球場(chǎng)環(huán)境、球員心態(tài)有所差異，但球員的總體罰球水準(zhǔn)基本穩(wěn)定），根據(jù)他以往罰球的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可以作出比較可靠的估計(jì)。而持有“等可能性偏見”的學(xué)生則會(huì)認(rèn)為“球投出去后，要么進(jìn)，要么不進(jìn)。‘進(jìn)與‘不進(jìn)的概率各為50%”。最后，兩類“等可能性偏見”的不同之處在于，前者完全沒有找到計(jì)算概率的可靠辦法，而后者則能夠認(rèn)識(shí)到從隨機(jī)結(jié)果的樣本空間著手。盡管他們?cè)跇?gòu)造樣本空間時(shí)沒有窮盡所有可能的結(jié)果，但較前一類“等可能性偏見”而言，他們?cè)谒季S上還是有所進(jìn)步的。

如何幫助學(xué)生擺脫這類錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)？筆者認(rèn)為：第一，教師應(yīng)在“隨機(jī)性”與“概率”概念之間的過(guò)渡環(huán)節(jié)多下功夫。理解“隨機(jī)性”是學(xué)習(xí)概率內(nèi)容的前提，因?yàn)楦怕蕟?wèn)題是建立在隨機(jī)事件之上的。學(xué)習(xí)隨機(jī)事件的重要環(huán)節(jié)是理解“可能”、“一定”、“不可能”等詞語(yǔ)的涵義，“可能”意味著“有可能發(fā)生也有可能不發(fā)生”，但它無(wú)法說(shuō)明“哪個(gè)更可能”。換言之，“可能”僅僅表示“結(jié)果的不確定性和多種可能性”，而尚不能據(jù)此判斷“有多大可能”，而至于“有多大可能”是后續(xù)概率內(nèi)容涉及的知識(shí)。而諸多研究表明，很多學(xué)生對(duì)這些詞語(yǔ)的理解不到位，進(jìn)而萌生了各類錯(cuò)誤認(rèn)知[16]。例如，有學(xué)生認(rèn)為“很可能發(fā)生”就是“必然會(huì)發(fā)生”，“不太可能發(fā)生”就是“絕對(duì)不會(huì)發(fā)生，“可能發(fā)生”就是“50%會(huì)發(fā)生”。為此，建議教師引導(dǎo)學(xué)生正確理解上述詞語(yǔ)的涵義，并將其與后續(xù)概率內(nèi)容形成聯(lián)系。第二，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生將概率推理建立在可靠的依據(jù)之上。計(jì)算古典概率的可靠依據(jù)是“樣本空間”，體現(xiàn)的思維是演繹推理；估計(jì)頻率概率的可靠依據(jù)是“大數(shù)定律”，體現(xiàn)的思維是統(tǒng)計(jì)（歸納）推理。概率計(jì)算不僅依賴相應(yīng)知識(shí)基礎(chǔ)的發(fā)展，還依賴其數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。教師應(yīng)能在加強(qiáng)不同概率問(wèn)題計(jì)算（估計(jì)）方法的基礎(chǔ)上，有意識(shí)滲透其潛在的數(shù)學(xué)思想方法。第三，對(duì)于如何糾正學(xué)生在上述“NBA球員罰球”例子中的錯(cuò)誤，史寧中教授給筆者提供了一個(gè)十分巧妙的方法：如果某學(xué)生執(zhí)意認(rèn)為“進(jìn)”與“不進(jìn)”的概率都是50%，那么教師可以反問(wèn)他，“如果庫(kù)里與你同時(shí)罰球，你相信兩個(gè)人的命中率相等都是50%嗎？”

5 “模糊的樣本空間”

學(xué)生在復(fù)合事件概率問(wèn)題上常常感到困難，原因在于他們?nèi)狈M合推理[27][28]及列舉樣本空間的能力[20][29]。例如，盒子里有2個(gè)白球和2個(gè)黑球，從中摸出兩個(gè)球，所有可能結(jié)果構(gòu)成的樣本空間為{白1白2，黑1黑2，白1黑1，白1黑2，白2黑1，白2黑2}。而有學(xué)生則常常將“白1黑1，白1黑2，白2黑1，白2黑2”這4種情況籠統(tǒng)地合并為一種（即，“1個(gè)黑球和1個(gè)白球”）或者兩種（即，“1黑1白”和“1白1黑”）。而研究表明[20]，這樣的混淆常常直接導(dǎo)致了他們?cè)谟?jì)算概率時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤。

究其原因，他們一方面被重復(fù)的樣本混淆了，一方面在對(duì)球進(jìn)行組合時(shí)沒有找到可靠的策略[17]。

如何幫助學(xué)生擺脫這類錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)？由于學(xué)生直到九年級(jí)上冊(cè)（人教版教材）才正式接觸“列舉法求概率”[30]，因此對(duì)這方面能力的培養(yǎng)尚不能操之過(guò)急。盡管如此，對(duì)教學(xué)有如下建議。第一，通過(guò)直觀的呈現(xiàn)方式幫助學(xué)生發(fā)展組合推理能力。事實(shí)上，學(xué)生在小學(xué)時(shí)就已經(jīng)接觸了簡(jiǎn)單的組合知識(shí)[31]。例如，用1、2、3三個(gè)數(shù)字能組成幾個(gè)兩位數(shù)；每?jī)蓚€(gè)人握1次手，3個(gè)人握手多少次；用一角、兩角、五角買一本五角的拼音本，有幾種買法？這說(shuō)明，學(xué)生對(duì)于組合知識(shí)的學(xué)習(xí)有了一定的知識(shí)基礎(chǔ)和生活經(jīng)驗(yàn)。研究也證實(shí)[32]，低齡兒童在教師的指導(dǎo)下就能夠解決簡(jiǎn)單的組合問(wèn)題，因此在學(xué)習(xí)概率之前滲透組合推理能力的培養(yǎng)有其可行性與合理性。第二，在組合推理的基礎(chǔ)之上，發(fā)展學(xué)生對(duì)樣本空間概念的理解。如前所述，學(xué)生傾向于將表面相似的樣本合并為同一個(gè)樣本，這從側(cè)面反映了學(xué)生對(duì)樣本空間概念理解的缺失。誠(chéng)然，這里的重復(fù)樣本給學(xué)生造成了不小的干擾。教學(xué)可從相對(duì)簡(jiǎn)單的例子著手，例如“小明和小樂是男生，小夢(mèng)和小貝是女生?，F(xiàn)在需要從中選擇兩位同學(xué)為班級(jí)出黑板報(bào)，問(wèn)共有幾種可能的選擇？”在此問(wèn)題情境下，學(xué)生能夠相對(duì)容易地列舉所有6種可能的組合方式。老師不妨據(jù)此引導(dǎo)學(xué)生思考：在這6種可能的組合方式中，男男搭配有1種，女女搭配有1種，男女搭配有4種。而這與上述的摸球問(wèn)題在組合推理層面是相似的，但是同學(xué)們被“表面相同”的搭配混淆了，實(shí)際上這些球的所有可能搭配也是6種。

6 結(jié)語(yǔ)

概率內(nèi)容與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)有所差異，它研究的是“不確定性的數(shù)學(xué)”。概率內(nèi)容與日常生活的關(guān)系千絲萬(wàn)縷，因而學(xué)生或多或少地都發(fā)展了一定的“經(jīng)驗(yàn)性理解”。概率雖然具有直覺性，但它終究是有據(jù)可循的。學(xué)生關(guān)于概率認(rèn)知的錯(cuò)誤則大都肇始于不良的經(jīng)驗(yàn)和直覺。對(duì)教師而言，除了了解學(xué)生概率認(rèn)知中常見的錯(cuò)誤以外，還應(yīng)該對(duì)其潛在的原因進(jìn)行合理分析，并據(jù)此幫助他們擺脫這些錯(cuò)誤。

參考文獻(xiàn)

[1]全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2001.

[2]全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[3] 李小燕.小學(xué)課改中的統(tǒng)計(jì)與概率教學(xué)問(wèn)題探析[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)，2011（4）：22-23.

[4] 徐達(dá)育.概率問(wèn)題求解中的典型錯(cuò)誤剖析與教學(xué)對(duì)策[J].中學(xué)教學(xué)研究，2014（11）：46-48.

[5] 高海燕.6～12歲兒童對(duì)概率概念的理解[D].杭州師范大學(xué)，2011.

[6] 閆炳霞.小學(xué)數(shù)學(xué)“統(tǒng)計(jì)與概率”教學(xué)中的問(wèn)題研究[D].西南大學(xué)，2007.

[7] 丁楓.初中階段概率教學(xué)問(wèn)題分析及策略研究[D].山東師范大學(xué)，2008.

[8] Garfield， J.， & Ahlgren， A. Difficulties in learning basic concepts in probability and statistics： Implications for research [J]. Journal for Research in Mathematics Education， 1988， 19 （1）： 44-63.

[9] Zimmermann， G. M.， & Jones， G. A. Probability simulation： What meaning does it have for high school students？ [J]. Canadian Journal of Science， Mathematics and Technology Education， 2002， 2 （2）： 221-236.

[10] Albert， J. College students conceptions of probability [J]. The American Statistician， 2003， 57： 37-45.

[11] Conference Board of the Mathematical Sciences （CBMS）. The Mathematical Education of Teachers， Providence [M]. R.I. American Mathematical Society， 2001.

[12] Liu， Y.， & Thompson， P. Teachers understanding of probability [J]. Cognition and Instruction， 2007， 25（2）： 113-160.

[13] Kvatinsky， T.， & Even， R. Framework for teacher knowledge and understanding of probability [A]. In B. Phillips （Ed.）， Proceedings of the Sixth International Conference on the Teaching of Statistics [C]， Cape Town， South Africa： International Statistical Institute， 2002.

[14] Economou. P. How teachers of mathematics confront students errors [A]. In G. Philippou， C. Christou， & A. Kakas （Eds.） Proceedings of the Second Panhellenic Conference on Mathematics Education and the Informatics in Education [C]. Nicosia： Sighroni Epoxi， 1995： 383-400.

[15] Reason， J. Skill and Error in Everyday Life [A]. In M. Howe （Ed.）， Adult Learning： Psychological Research and Applications [C]. NewYork： Wiley， 1977.

[16] 李俊.中小學(xué)概率的教與學(xué)[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2003.

[17] 何聲清，鞏子坤.

11～14歲學(xué)生關(guān)于可能性比較的認(rèn)知發(fā)展研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2013，22（5）：57-61.

[18] 鞏子坤，何聲清.7～14歲兒童隨機(jī)性認(rèn)知的發(fā)展[J].應(yīng)用心理學(xué)，2016，22（4）：343-351.

[19] 何聲清，鞏子坤.7～9年級(jí)學(xué)生概率認(rèn)知中的“等可能性偏見”研究[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2017（7）.

[20] 何聲清，鞏子坤.7～9年級(jí)學(xué)生概率比較的策略及其發(fā)展[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2017，26（2）：41-45.

[21] 鞏子坤，高海燕.7～12歲兒童對(duì)概率概念的錯(cuò)誤理解及其發(fā)展[J].小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2014（3）∶10-13.

[22] Batanero， C.， & Serrano， L. The meaning of randomness for secondary school students [J]. Journal for Research in Mathematics Education， 1999， 30 （5）： 558-567.

[23] Batanero， C.， Serrano， L.， & Garfield， J. B. Heuristics and biases in secondary school students reasoning about probability [A]. In L. Puig & A. Gutierrez （Eds.）， Proceedings of the 2th conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education [C]. Valencia， Spain： University of Valencia， 1996， 51-58.

[24] Sharma， S. Cultural Influences in Probabilistic Thinking [J]. Journal of Mathematics Research， 2012， 4 （5）： 63-77.

[25] 鮑建生，周超.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過(guò)程[M].上海：上海教育出版社，2009.

[26] Lecoutre， M. P. Cognitive models and problem spaces in “purely random” situations [J]. Educational Studies in Mathematics， 1992， 23： 557-568.

[27] Batanero， C.， Navarro-Pelayo， V.， & Godino， J. D. Effect of the implicit combinatorial model on combinatorial reasoning in secondary school pupils [J]. Educational Studies in Mathematics， 1997， 32： 181-199.

[28] Fischbein， E.， & Grossman， A. Schemata and intuitions in combinatorial reasoning [J]. Educational Studies in Mathematics， 1997， 34： 27-47.

[29] Shaughnessy， J. M. Research on students understandings of probability [A]. In J. Kilpatrick， W. G. Martin， & D. Schifter （Eds.）， A research companion to Principles and Standards for School Mathematics [C]. Reston， VA： National Council of Teachers of Mathematics， 2003， 216-226.

[30] 人民教育出版社課程教材研究所.義務(wù)教育教科書（九年級(jí)上冊(cè)）[M].北京：人民教育出版社，2014.

[31] 盧江，楊剛.數(shù)學(xué)（三年級(jí)（上））[M].北京：人民教育出版社，2010.

[32] 車亮.小學(xué)二年級(jí)學(xué)生“排列組合”學(xué)習(xí)過(guò)程與特征刻畫研究[D].杭州：杭州師范大學(xué)，2014.