摘" 要：以近幾年高考全國(guó)卷中的概率題為例，分析尋找其求解思路的本質(zhì)在于：第一，回歸概率問(wèn)題的思維起點(diǎn)，即找到樣本空間；第二，厘清試題情境中的事例，即借助圖或表將其中的關(guān)系直觀化. 通過(guò)上述兩點(diǎn)分析給出教學(xué)建議：教學(xué)要依托教材，重視建構(gòu)知識(shí)生成過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生在掌握新知和靈活整合知識(shí)的過(guò)程中形成能力；在高考復(fù)習(xí)備考中，通過(guò)探索解題的普適性方法，感悟數(shù)學(xué)的思維方式，以簡(jiǎn)馭繁應(yīng)對(duì)概率試題的變化.

關(guān)鍵詞：概率；高考試題；樣本空間；樹(shù)狀圖；直觀化

中圖分類號(hào)：G633.6" " "文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A" " "文章編號(hào)：1673-8284（2024）10-0061-04

引用格式：李師師，張永剛，薛紅霞. 返璞歸真" 以簡(jiǎn)馭繁：應(yīng)對(duì)概率題“新”考法［J］. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育（高中版），2024（10）：61-64.

2024年高考試卷聚焦主干知識(shí)內(nèi)容和重要原理、方法，著重考查數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，引導(dǎo)中學(xué)教學(xué)遵循教育規(guī)律，突出數(shù)學(xué)教學(xué)本質(zhì)，回歸課程標(biāo)準(zhǔn)，重視教材，重視概念教學(xué)，夯實(shí)學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，給學(xué)生預(yù)留思考和深度學(xué)習(xí)的空間.

為了達(dá)成避免超綱學(xué)、超量學(xué)，助力減輕學(xué)生學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)的目標(biāo)，作為高中數(shù)學(xué)課程四條主線之一的“概率與統(tǒng)計(jì)”，在高考中的變化尤為明顯. 該類高考試題更加注重基礎(chǔ)性，富有創(chuàng)新性，體現(xiàn)了知識(shí)應(yīng)用的綜合性與思維方法的靈活性，同時(shí)還側(cè)重對(duì)實(shí)際應(yīng)用能力和問(wèn)題解決能力的考查. 在高考復(fù)習(xí)備考中，只有依托教材進(jìn)行拓展延伸，引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展創(chuàng)造性學(xué)習(xí)，在深入理解知識(shí)本質(zhì)的過(guò)程中建構(gòu)知識(shí)，感悟數(shù)學(xué)的思維方式，才能以簡(jiǎn)馭繁從容應(yīng)對(duì)概率與統(tǒng)計(jì)試題的變化.

一、瞄準(zhǔn)樣本空間，求解概率試題的第一視角

樣本空間是概率的基本概念，其他概念都是基于樣本空間建立的，對(duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，只要能確定樣本空間，一切問(wèn)題就都迎刃而解了. 因此，在求解概率試題時(shí)，應(yīng)該緊扣樣本空間進(jìn)行分析.

例1 （2024年新課標(biāo)Ⅰ卷·14）甲、乙兩人各有四張卡片. 每張卡片上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字，甲的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1，3，5，7，乙的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字2，4，6，8. 兩人進(jìn)行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機(jī)選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）. 則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為" " " .

該題是以“田忌賽馬”的博弈論問(wèn)題為背景命制的，難在其“新”，“新”在其與學(xué)生平時(shí)所刷的套路題大相徑庭，使得所謂的“常規(guī)方法”完全失效. 仔細(xì)分析可知，其解題思路完全源于人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“教材”）必修第二冊(cè)第十章“概率”中借助樣本空間認(rèn)識(shí)隨機(jī)事件，因此解決古典概型問(wèn)題的第一步就是確定樣本空間.

該題中，由于比賽得分結(jié)果只與兩人出卡片的相對(duì)順序有關(guān)，若把其中一個(gè)人的出卡片順序固定，樣本空間就是另一個(gè)人所出四張卡片的所有排列組成的集合. 不妨固定乙出卡片的順序?yàn)?，4，6，8，則樣本空間共有24個(gè)樣本點(diǎn)，即為甲出的四張卡片的全排列數(shù). 但隨機(jī)事件是比較兩人所出卡片上數(shù)字的大小，因此樣本空間為：[Ω=1，3，5，7， 1，3，7，5， 1，5，3，7，][1，5，7，3， 1，7，3，5， 1，7，5，3， 3，1，5，7，][3，1，7，5， 3，5，1，7， 3，5，7，1， 3，7，1，5，][3，7，5，1， 5，1，3，7， 5，1，7，3， 5，3，1，7，][5，3，7，1， 5，7，1，3， 5，7，3，1， 7，1，3，5，][7，1，5，3， 7，3，1，5， 7，3，5，1， 7，5，1，3，][7，5，3，1]. 然后，依次將每個(gè)樣本點(diǎn)與[2，4，6，8]進(jìn)行比較，從而確定甲的得分. 從樣本空間中尋找得2分的樣本點(diǎn)有11個(gè)：[1，5，7，3， 3，1，7，5， 3，5，1，7，][3，7，1，5， 3，7，5，1， 5，1，7，3， 5，3，7，1，][5，7，1，3， 5，7，3，1， 7，5，1，3， 7，5，3，1.]再?gòu)臉颖究臻g中尋找得3分的樣本點(diǎn)，只有1個(gè)，即[3，5，7，1]. 因此，甲的總得分不小于2的概率為[P=11+124=1224=12].

古典概型試驗(yàn)下的隨機(jī)事件概率是通過(guò)事件所含樣本點(diǎn)與樣本空間中樣本點(diǎn)的數(shù)量比定義的，如果學(xué)生經(jīng)歷了定義形成與辨析的過(guò)程，就可以歸納出求解古典概型問(wèn)題的一般思路：明確試驗(yàn)的條件及要觀察的結(jié)果，借助圖表不重不漏地列出所有可能結(jié)果，用適當(dāng)?shù)姆?hào)（字母、數(shù)字、數(shù)組等）表示試驗(yàn)的可能結(jié)果；根據(jù)實(shí)際問(wèn)題情境判斷樣本點(diǎn)的等可能性；計(jì)算樣本點(diǎn)總個(gè)數(shù)及事件A包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)，求出事件A的概率.

上述試題就是按照該思路求解的. 類似的試題還有2024年新課標(biāo)Ⅱ卷第14題，該題中的計(jì)數(shù)方法與之完全一致，第二空的破解也沒(méi)有套路可循，只能通過(guò)觀察分析求解. 網(wǎng)絡(luò)上的各種解法，大多數(shù)忽略了尋找樣本空間這一破解古典概型的根本方法. 在日常教學(xué)中，過(guò)多的刷題訓(xùn)練固化了學(xué)生的思維，導(dǎo)致學(xué)生離開(kāi)排列、組合就不會(huì)計(jì)數(shù)，使得最基礎(chǔ)的考查題目變成了難題.

對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解和概念體系的建立是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心，概念學(xué)習(xí)的基本方式是概念形成與概念同化，必須經(jīng)歷“情境與問(wèn)題—共性分析與歸納—抽象本質(zhì)特征、下定義—關(guān)鍵詞辨析—簡(jiǎn)單應(yīng)用—聯(lián)系與綜合”的過(guò)程，教材中的內(nèi)容既能引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷完整歸納與抽象概念的過(guò)程，又為教師開(kāi)展教學(xué)設(shè)計(jì)提供了具體、詳實(shí)的操作流程. 因此，建議教學(xué)要回歸教材，理解概率的本質(zhì)，基于通性，形成通法. 對(duì)于概率題目而言，就是要將對(duì)樣本空間的分析作為破解概率試題的第一視角.

二、抓住直觀，破解概率試題的關(guān)鍵之舉

在概率與統(tǒng)計(jì)試題中，經(jīng)常需要分析隨機(jī)事件之間的關(guān)系，為解決問(wèn)題、做出決策提供依據(jù). 為了方便分析問(wèn)題，借助圖表將試題情境所涉及的事件直觀化，是解決概率問(wèn)題的重要策略. 其中，最基本的圖是樹(shù)狀圖，如果試題情境復(fù)雜，就需要樹(shù)狀圖的迭代套用.

例2 （2024年新課標(biāo)Ⅱ卷·18）某投籃比賽分為兩個(gè)階段，每個(gè)參賽隊(duì)由兩名隊(duì)員組成，比賽具體規(guī)則如下：第一階段由參賽隊(duì)中一名隊(duì)員投籃3次，若3次都未投中，則該隊(duì)被淘汰，比賽成績(jī)?yōu)?分；若至少投中1次，則該隊(duì)進(jìn)入第二階段. 第二階段由該隊(duì)的另一名隊(duì)員投籃3次，每次投籃投中得5分，未投中得0分. 該隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)榈诙A段的得分總和.

某參賽隊(duì)由甲、乙兩名隊(duì)員組成，設(shè)甲每次投中的概率為p，乙每次投中的概率為q，各次投中與否相互獨(dú)立.

（1）若[p=0.4]，[q=0.5]，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)不少于5分的概率.

（2）假設(shè)[0lt;plt;q].

① 為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)?5分的概率最大，應(yīng)該由誰(shuí)參加第一階段比賽？

② 為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)的數(shù)學(xué)期望最大，應(yīng)該由誰(shuí)參加第一階段比賽？

該題也是以博弈論為背景，通過(guò)計(jì)算概率指導(dǎo)決策的問(wèn)題. 主要考查了相互獨(dú)立事件、互斥事件、對(duì)立事件的概念與應(yīng)用，試題命制凸顯了立足基礎(chǔ)的要求. 學(xué)生如果具備一定的分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，能厘清事件之間的關(guān)系，就能規(guī)避大量運(yùn)算，快速解決問(wèn)題，反之則會(huì)陷入思維泥淖，難以前行. 為此，可以采用直觀化的方法分析事件間的關(guān)系，如圖1所示.

由圖1（a）可以發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)階段的投籃結(jié)果同時(shí)發(fā)生才能決定最終成績(jī)，因此需要計(jì)算每個(gè)階段不同結(jié)果的隨機(jī)事件概率的乘積. 由圖1（b）發(fā)現(xiàn)，每一階段隨機(jī)事件又可以劃分為四個(gè)互斥事件，根據(jù)問(wèn)題需要，可以通過(guò)加法把多個(gè)互斥事件合并為對(duì)立事件來(lái)簡(jiǎn)化運(yùn)算. 例如，每個(gè)階段可以劃分為“未進(jìn)球”與“至少進(jìn)1球”這兩個(gè)對(duì)立事件，則該題的第（1）小題就可以通過(guò)“第一階段至少進(jìn)1球”與“第二階段至少進(jìn)1球”同時(shí)發(fā)生來(lái)計(jì)算成績(jī)不少于5分的概率，形成的最簡(jiǎn)解題路徑如下.

（1）甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)不少于5分的概率為[1-1-0.43×1-0.53=0.686].

（2）設(shè)[X]為甲參加第一階段比賽時(shí)，甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)；[Y]為乙參加第一階段比賽時(shí)，甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī). 由題意，可以得到[PX=15=][1-1-p3q3]，[PY=15=1-1-q3p3] ，兩式作差比較大小即可得到答案.

（3）設(shè)[ξ]為第二輪的進(jìn)球數(shù)量，則[ξ]～[B3，p]，[ξ]～[B3，q]. 因此[EX=1-1-q3×5×3p]，[EY=][1-1-p3×5×3q].

這種求解思路會(huì)極大地降低運(yùn)算量. 上述問(wèn)題在高考試題中極為常見(jiàn)，如2023年新課標(biāo)Ⅰ卷第21題、2023年新課標(biāo)Ⅱ卷第12題、2020年新課標(biāo)Ⅰ卷第19題等. 只要透過(guò)復(fù)雜的問(wèn)題情境，分析清楚事件之間的關(guān)系，抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，就能發(fā)現(xiàn)其解題思路是完全一致的.

三、類題賞析

例3 （2023年新課標(biāo)Ⅰ卷·21）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對(duì)方投籃. 無(wú)論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8. 由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

（1）求第2次投籃的人是乙的概率；

（2）求第i次投籃的人是甲的概率；

（3）已知：若隨機(jī)變量[Xi]服從兩點(diǎn)分布，且[PXi=1=1-PXi=0=qi，i=1，2，…，n]，則[Ei=1nXi=][i=1nqi]. 記前[n]次（即從第1次到第[n]次投籃）中甲投籃的次數(shù)為[Y]，求[EY].

可以借助樹(shù)狀圖分析事件的發(fā)生過(guò)程，具體如圖2所示.

當(dāng)分析到第3次投籃時(shí)，發(fā)現(xiàn)兩組結(jié)構(gòu)完全一致，與第1次是誰(shuí)投籃無(wú)關(guān)，因此推測(cè)第i次由誰(shuí)來(lái)投籃只與第[i-1]次投籃的人有關(guān)，一般化即可得到如圖3所示的關(guān)系結(jié)構(gòu)圖.

因此，第i次甲投籃命中的概率[pi=0.6pi-1+0.21-pi-1，]之后為數(shù)列問(wèn)題，故不再贅述. 該類試題的原型為教材選擇性必修第三冊(cè)第91頁(yè)第10題.

四、教學(xué)建議

隨機(jī)事件概率的探索是有基本套路的，與一般數(shù)學(xué)對(duì)象的研究過(guò)程類似，都是從定義出發(fā)研究數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)，即符合“概念—性質(zhì)—結(jié)構(gòu)—應(yīng)用”的整體結(jié)構(gòu). 借助直觀化工具（如函數(shù)圖象、圖表）研究性質(zhì)是一種普適性方法，一道具體題目就是該認(rèn)知結(jié)構(gòu)的某個(gè)環(huán)節(jié). 上述高考概率試題就是概率性質(zhì)認(rèn)知套路上的一環(huán)，利用有效工具，如樹(shù)狀圖、模型或計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)等將其直觀化，使抽象的概率問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體的圖表問(wèn)題，便于觀察和理解事件的重疊區(qū)域、樣本空間的關(guān)系. 因此，根植數(shù)學(xué)研究的一般套路，借助圖表直觀探索，最終獲得最優(yōu)解是一種寶貴經(jīng)驗(yàn).

通過(guò)梳理近幾年高考中的概率試題，發(fā)現(xiàn)其不但注重考查學(xué)生的應(yīng)變能力和解決實(shí)際問(wèn)題的能力，還注重考查學(xué)生是否形成了一定的數(shù)學(xué)學(xué)科思維. 這就需要在日常教學(xué)與備考中，打破教師無(wú)限拓展知識(shí)、學(xué)生死記硬背和機(jī)械刷題的死循環(huán)，培養(yǎng)學(xué)生全面掌握主干知識(shí)，發(fā)展學(xué)生在掌握新知和靈活整合知識(shí)過(guò)程中形成的解決問(wèn)題的能力，立足落實(shí)“四基”“四能”，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

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基金項(xiàng)目：2023年度山西省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃課題——數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)視域下新教材情境問(wèn)題的應(yīng)用研究（GH-230278）.

作者簡(jiǎn)介：李師師（1979— ），男，高級(jí)教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究；

張永剛（1982— ），男，高級(jí)教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究；

薛紅霞（1970— ），女，中小學(xué)正高級(jí)教師，山西省特級(jí)教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育和課堂教學(xué)改革研究.