摘" 要：2024年高考平面解析幾何試題的考查特點為：題型結構穩(wěn)定，難度控制合理；試題情境豐富，方法選擇靈活；注重回歸基礎，落實“四層”“四翼”. 命題特點是：回歸基本概念，考查基礎性；重視知識關聯，考查綜合性；探究問題本質，考查創(chuàng)新性. 命題導向總結為：基礎知識與綜合能力的并重、直觀想象與邏輯推理的考查、開放情境與數學探究的倡導. 基于以上分析，對解析幾何教學提出建議：重視課標，挖掘教材，強化過程累積基本經驗；重視直觀，結合模型，代數推理夯實基礎知識；重視運算，選擇策略，合理訓練提升基本技能；重視觀念，強化方法，提出問題深化基本思想.

關鍵詞：平面解析幾何；命題分析；數學運算；坐標思想

中圖分類號：G633.6" " "文獻標識碼：A" " "文章編號：1673-8284（2024）10-0040-13

引用格式：吳鍔，錢月鳳，劉煒. 突出解析幾何學科特點" 強化數學思維能力考查：2024年高考“平面解析幾何”專題命題分析［J］. 中國數學教育（高中版），2024（10）：40-52.

解析幾何的誕生，蘊含著數學史上代數從幾何中獨立出來而又和幾何融合的過程. 平面解析幾何的學習，可以幫助學生在平面直角坐標系中認識圖形的幾何特征并建立方程，運用代數方法研究它們的性質及其位置關系，運用解析幾何方法解決簡單的數學問題和實際問題. 在平面解析幾何的教學中，教師不能只將解析幾何視作數學知識的集合. 正如章建躍博士所說，解析幾何是一種方法論. 應在數學課堂中滲透利用代數方法研究幾何圖形的思想方法，提升學生的直觀想象、數學運算、邏輯推理等素養(yǎng). 新高考改革以來，高考重視考查學生的圖形探究和代數推理，以及通過幾何直觀、代數結構等優(yōu)化并解決問題的關鍵能力和數學素養(yǎng)，幾何問題解析化是高考平面解析幾何試題考查的重心. 2024年高考全國卷和地方卷中的平面解析幾何試題突出考查了解析幾何的數學本質，符合《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）命題建議中提出的“考查內容應圍繞數學內容主線，聚焦學生對重要數學概念、定理、方法、思想的理解和應用，強調基礎性、綜合性”，與《中國高考評價體系》（以下簡稱《體系》）的要求是一致的. 下面具體分析了2024年高考全國卷和地方卷中平面解析幾何試題的考查內容和命題特點，并結合命題規(guī)律和考查意圖提出了相應的復習教學建議.

一、考查內容分析

1. 題型結構穩(wěn)定，難度控制合理

2024年各份高考數學試卷均采用客觀題和主觀題的形式來考查平面解析幾何內容，題量控制在2 ～ 3道，其中題量較多的是新課標Ⅰ卷、新課標Ⅱ卷、全國甲卷（理科）、北京卷和天津卷. 題型結構的穩(wěn)定主要體現在考查知識點和難度的穩(wěn)定上. 數學高考中平面解析幾何考查的知識內容主要是圓錐曲線，包括圓錐曲線的定義、方程及其幾何性質. 此外，試題的難度也保持相對穩(wěn)定，除了新課標Ⅰ卷第11題和新課標Ⅱ卷第19題屬于創(chuàng)新性問題外，其他平面解析幾何問題考查的更多是基礎知識、基本技能、基本思想方法，思維難度不大. 另外，題型結構的穩(wěn)定還體現在題目設計和表述的穩(wěn)定上. 試題的表述清晰、準確，沒有歧義，讓學生能夠準確理解題目的要求.

2. 試題情境豐富，方法選擇靈活

2024年高考數學試卷中平面解析幾何試題涉及的問題情境比較豐富，包括曲線與方程、直線與圓錐曲線的位置關系（相交的情況較多）、兩個二次曲線的交點問題、圓錐曲線的焦點三角形、圓錐曲線內接三角形的面積、求動點軌跡方程、定點定值、圓錐曲線與數列的綜合等. 面對不同的試題情境，學生解題方法的選擇要十分靈活. 例如，針對直線與圓錐曲線的相交和兩個二次曲線的相交問題，學生往往采取將直線方程與圓錐曲線方程聯立或將兩個二次曲線方程聯立的方式來解決問題，解答題中一般需要借助根與系數的關系來進行下一步計算；針對動點軌跡問題，學生一般采取“設動點—找等量關系—列方程”的方式來求解，也可以通過觀察幾何圖形的特征判斷動點的軌跡形狀來解決；針對圓錐曲線內接三角形的面積計算問題，學生往往要基于已有經驗，根據幾何直觀分析所給數據的特征，選擇合適的三角形面積計算公式，進而降低計算難度.

3. 注重回歸基礎，落實“四層”“四翼”

落實“四層”“四翼”的評價體系，意味著要確保試題能夠全面考查學生的基礎知識、基本技能、基本方法和基本活動經驗，同時體現基礎性、綜合性、應用性和創(chuàng)新性. 2024年高考平面解析幾何試題側重于基礎性和綜合性，大多數是典型的、能夠體現數學思維價值的試題. 有些試題看似很簡單，如圓錐曲線的焦點三角形問題和離心率問題等，但其實蘊含著解析幾何與平面幾何融合的基礎知識，學生解題時要特別重視借助平面幾何的方法來研究圓錐曲線的幾何性質. 有些試題看似比較復雜，如動點的最值范圍問題和定點定值問題，卻是學生比較熟悉的經典問題，學生在整理條件信息后自主探究問題的本質，看透問題中的變與不變，選擇合適的計算方案進行解題.

總之，2024年高考平面解析幾何試題突出了解析幾何的學科特點，題型結構穩(wěn)定，難度控制得當. 試題情境豐富多樣，既有經典問題的延伸，又有新數學情境的引入，鼓勵學生從不同角度思考問題，解題方法可以靈活選擇. 同時，試題注重回歸基礎，強調對基礎知識的理解和應用，落實了《體系》中“四層”“四翼”的考查要求.

二、命題特點分析

1. 命題意圖分析

2024年高考平面解析幾何試題的命題特點鮮明地體現了課程改革的理念和方向. 命題特點總結如下：一是命題重視回歸基本概念，考查基礎性. 這意味著在考查內容上，命題者更加注重學生對平面解析幾何基本概念和基本原理的掌握，學生必須清晰理解并熟練運用直線、圓、橢圓、雙曲線和拋物線的定義、方程及其幾何性質. 這一特點旨在確保學生能扎實地建立數學基礎，為未來學習提供保障. 二是命題注重知識關聯，考查綜合性. 在試題設計上，命題者傾向于將多個知識點融合在一起，考查學生運用所學知識解決問題的能力. 這要求學生不僅要掌握單個知識點，還要理解這些知識點之間的聯系和區(qū)別，形成完整的知識體系. 這種綜合性考查方式能夠更全面地評估學生的數學素養(yǎng). 三是命題重視探究問題本質，考查創(chuàng)新性. 在問題設計上，命題者不再滿足于簡單的計算和證明，而是更加注重學生對問題本質的理解和探究. 通過設計探究性問題，引導學生深入思考，發(fā)現數學規(guī)律，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力和解題能力. 這種考查方式能夠激發(fā)學生的學習興趣，提高他們的數學能力. 下面將從三個方面展開具體論述.

（1）回歸基本概念，考查基礎性.

命題在考查基礎性方面，展現出了以下顯著特點.

① 借助幾何直觀，生成有用信息. 在解答過程中，鼓勵學生利用圖形的直觀性，調動平面幾何知識來觀察和分析研究對象的形狀、大小、位置關系等，提取出對解題有用的信息. 這種方式不僅有助于學生更好地理解題意，還能考查學生的直觀想象素養(yǎng).

② 回歸教材基礎，重視通性通法. 命題者注重考查學生對教材基礎知識的掌握程度，以及運用通性通法解決問題的能力. 有些高考試題是由教材中的例題、習題改編而來的，因此學生需要熟練掌握教材中的基本概念、定理和公式，重視教材中的例題和習題.

③ 重視圖形特征，代數運算嚴謹. 在解答過程中，學生需要注意圖形中的特征條件，如直線斜率、中點等，并據此進行代數推理，確保每一步運算都是準確無誤的，考查了數形結合的基本思想. 這種考查方式能培養(yǎng)學生嚴謹的數學思維.

④ 選項條件互異，注重基礎細節(jié). 在多項選擇題中，各個選項的條件可能會不同，學生需要仔細分析每個選項的條件，找出基本圖形之間的差異和聯系. 同時注重基礎細節(jié)，四個選項大多數圍繞著基礎知識點展開，考查全面細致. 這種考查方式能幫助學生養(yǎng)成細心的習慣，提高他們解題的準確性.

例1 （2024年新課標Ⅰ卷·12）設雙曲線[C]：[x2a2-y2b2=1][agt;0，bgt;0]的左、右焦點分別為[F1，F2]，過[F2]作平行于[y]軸的直線交[C]于[A，B]兩點，若[F1A=13]，[AB=10]，則[C]的離心率為" " " " ".

答案：[32].

考查目標：主要考查雙曲線的定義、方程和離心率的計算；考查學生的作圖能力、信息提取與轉化能力；考查數學運算素養(yǎng)和數形結合思想.

命題意圖：該題是由雙曲線的焦點直角三角形這一幾何模型創(chuàng)設的圓錐曲線基礎題，要求學生能利用雙曲線的基本概念并結合平面幾何知識來求解雙曲線的離心率，考查學生對基礎知識的掌握程度. 該題將雙曲線與直角三角形相結合，引導學生通過幾何直觀尋找問題的突破口，通過代數運算解決問題，考查數形結合思想. 在求解離心率的過程中，學生先根據勾股定理求得[F1F2]，然后借助雙曲線的定義，利用圖形中的等量關系（如雙曲線的通徑長是10）直接建立方程，最后通過解方程求解[a]，體現了方程思想和轉化思想在解題中的應用，考查了數學運算素養(yǎng)和數學思維的靈活性.

試題亮點：借助幾何直觀，生成有用信息. 該題巧妙地融合了知識、技能與思維訓練的多元目標，不僅考查了學生對雙曲線定義、焦點、通徑公式、離心率等基礎知識的掌握程度，更重要的是，它還引導學生通過幾何直觀來生成有用信息，借助焦點直角三角形蘊含的相關信息來解決問題. 試題鼓勵學生從圖形中挖掘特征，通過觀察和推理引發(fā)數學直覺，要求學生將幾何直觀與代數運算相結合. 該題有多個不同的解題路徑，鼓勵學生多角度思考問題，考查學生的發(fā)散思維，要求學生在面對數學問題時能夠靈活運用所學知識，找到解決問題的關鍵.

拓展練習：（2021年全國甲卷·理5）已知[F1，F2]是雙曲線[C]的兩個焦點，[P]為C上一點，且[∠F1PF2=][60°]，[PF1=3PF2]，則[C]的離心率為（" " ）.

（A）[72] （B）[132]

（C）[7] （D）[13]

答案：A.

例2 （2024年新課標Ⅱ卷·5）已知曲線[C]：[x2+y2=16][ygt;0]，從[C]上任意一點[P]向[x]軸作垂線段[PP，P]為垂足，則線段[PP]的中點[M]的軌跡方程為（" " ）.

（A）[x216+y24=1][ygt;0]

（B）[x216+y28=1][ygt;0]

（C）[y216+x24=1][ygt;0]

（D）[y216+x28=1][ygt;0]

答案：A.

考查目標：考查中點坐標公式和動點軌跡方程的求解；考查數形結合思想和方程思想；考查直觀想象、數學運算等素養(yǎng).

命題意圖：該題是一個動點軌跡問題，通過設定一個具體的幾何情境，即半圓上任意一點向直徑作垂線段，求垂線段中點的軌跡方程，引導學生運用所學數學知識進行推理和計算，考查學生的直觀想象和數學運算素養(yǎng). 要求學生通過觀察分析圖形，理解并應用中點坐標公式，將中點M的坐標與點P的坐標建立聯系，再將點P的坐標代入給定的半圓方程，通過代數運算得到中點M的軌跡方程，考查方程思想和數形結合思想，考查學生的代數運算能力.

試題亮點：回歸教材基礎，講究通性通法. 該題由人教A版《普通高中教科書·數學》（以下統(tǒng)稱“人教A版教材”）選擇性必修第一冊第115頁綜合運用第9題改編而成，類同題還有人教A版教材選擇性必修第一冊第127頁復習鞏固第5題和第139頁綜合運用第9題，涉及的均是動點軌跡問題. 解決這類試題具有通性通法，學生要帶著目標看透動態(tài)問題中不變的等量關系，列出方程，從而求得動點的軌跡方程. 此過程體現了方程思想，考查了學生數學思維的目的性.

拓展練習：（2017年全國甲卷·文20）設[O]為坐標原點，動點M在橢圓C：[x22+y2=1]上，過M做x軸的垂線，垂足為N，點P滿足[NP=2NM].

（1）求點P的軌跡方程；

（2）設點Q在直線[x=-3]上，且[OP · PQ=1]. 證明：過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F.

答案：（1）[x2+y2=2]；（2）略.

例3 （2024年天津卷·8）雙曲線[x2a2-y2b2=1][agt;0，bgt;0]的左、右焦點分別為[F1，F2]，P是雙曲線右支上一點，且直線[PF2]的斜率為2. △PF1F2是面積為8的直角三角形，則雙曲線的方程為（" " ）.

（A）[x28-y22=1] （B）[x28-y24=1]

（C）[x22-y28=1] （D）[x24-y28=1]

答案：C.

考查目標：考查雙曲線的定義、方程、幾何性質和焦點三角形的面積；考查學生的作圖能力、推理能力，以及數形結合思想；考查數學運算和直觀想象素養(yǎng).

命題意圖：該題通過設定一個具體的幾何情境，結合焦點三角形的面積和直角三角形的性質，要求學生通過作圖、推理和運算來求解雙曲線的方程，體現了數形結合的數學思想. 在解題過程中學生首先需要通過試題條件信息繪制出雙曲線及其焦點三角形的圖形，再根據題意推理得到點P的位置是在第四象限，考查直觀想象素養(yǎng)，要求學生能將文字描述轉化為直觀圖形. 作出正確的圖形后，借助方程思想，設[PF2=t]，尋找等量關系能夠得到[2c=5t]，結合[△PF1F2]的面積求未知數據，最終求得雙曲線的方程，考查了學生的數學運算能力.

試題亮點：重視圖形特征，代數運算嚴謹. 該題中的某項條件可能會使學生陷入慣性思維，如點P是雙曲線右支上一點，學生可能會將點P本能地畫在第一象限，然而這與試題中的其他條件矛盾，因此學生需要打破常規(guī)，重新審視問題，發(fā)現點P在第四象限，從而找到新的解決方案. 這一過程不僅考查了學生思維的靈活性和嚴謹性，也鍛煉了學生解決問題的能力. 在解題過程中，學生需要進行一系列嚴謹地代數運算，這些運算不僅要求學生具備扎實的數學基礎，還要求他們的運算保持高度的準確性和邏輯性.

拓展練習：（2023年全國甲卷·理12）設[O]為原點，[F1，F2]為橢圓[C： x29+y26=1]的兩個焦點，點P在[C]上，[cos∠F1PF2=35]，則[OP]等于（" " ）.

（A）[135] （B）[302]

（C）[145] （D）[352]

答案：B.

例4 （2024年新課標Ⅱ卷·10）拋物線C：[y2=4x]的準線為l，P為C上動點，過P作⊙[A：x2+][y-42=1]的一條切線，Q為切點，過P作l的垂線，垂足為B，則（" " ）.

（A）l與⊙A相切

（B）當P，A，B三點共線時，[PQ=15]

（C）當[PB=2]時，[PA⊥AB]

（D）滿足[PA=PB]的點P有且僅有2個

答案：ABD.

考查目標：考查基礎知識，包括拋物線的定義和方程、圓與直線的位置關系、切線長公式、動點軌跡求法等；考查學生的作圖能力和知識應用能力；考查直觀想象、數學運算和邏輯推理素養(yǎng).

命題意圖：該題是多項選擇題，其創(chuàng)設的幾何情境是由拋物線與圓結合而成的. 題中點P在拋物線上，過點P既作圓的切線，又向拋物線的準線作垂線，這一設定不僅考查了學生對拋物線和圓的基礎知識的掌握程度，還考查了學生的直觀想象素養(yǎng)和作圖能力. 該題涉及圖形（拋物線、圓、直線）的位置關系和性質，學生需通過直觀想象來理解這些關系，通過作圖來理解每個選項中蘊含的有用信息，結合代數推理來證明結論或排除錯誤選項，考查了思維的靈活性和嚴謹性. 試題中的各個選項，都需要學生獨立分析、計算和推理來得出答案，考查數學運算和邏輯推理素養(yǎng).

試題亮點：選項條件互異，注重基礎細節(jié). 該題將拋物線與圓兩種基礎又重要的幾何圖形結合在一起，要求學生能靈活整合并運用這兩種基本圖形的相關知識. 四個選項相互獨立，條件各異，既增加了試題的豐富性，又為學生提供了多角度、多層次的思考空間. 每個選項都圍繞著基礎知識點展開，既沒有偏離核心內容，又各有側重，全面而細致地考查了學生的知識掌握情況. 試題難度適中，既不會過于簡單，讓學生覺得無趣，又不會過于復雜，導致學生無從下手. 這種適中的難度設置有助于激發(fā)學生的思維活力，促使他們積極思考和解決問題.

拓展練習：（2021年全國甲卷·理20）拋物線C的頂點為坐標原點O，焦點在x軸上，直線[l：x=1]交C于P，Q兩點，且[OP⊥OQ]. 已知點[M2，0]，且⊙M與l相切.

（1）求C，⊙M的方程；

（2）設[A1，A2，A3]是C上的三個點，直線[A1A2]，[A1A3]均與⊙M相切. 判斷直線[A2A3]與⊙M的位置關系，并說明理由.

答案：（1）拋物線C的方程為[y2=x]，⊙M的方程為[x-22+y2=1]；（2）直線[A2A3]與⊙M相切，理由略.

（2）重視知識關聯，考查綜合性.

命題強調對綜合性的考查，體現了對知識關聯的高度重視，這一特點在以下多個方面有所體現.

① 挖掘內部關聯，簡化運算路徑. 這要求學生不僅要掌握單一的知識點，還要能將這些知識點串聯起來，形成完整的知識網絡. 通過尋找數學知識內部聯系，學生可以更高效地解決問題，避免不必要的計算和推理.

② 作圖梳理信息，把握動中有靜. 作圖是解析幾何中不可或缺的一部分，學生通過作圖來梳理全部信息，體會各個知識點之間的聯系和區(qū)別，把握動態(tài)問題中的靜態(tài)規(guī)律，從而發(fā)現圖形中的代數結論.

③ 觀察變與不變，邏輯推理清晰. 命題鼓勵學生觀察解析幾何問題中的變量和不變量，通過邏輯推理來明確它們的關系，掌握所有信息的聯系. 這種觀察不僅有助于簡化問題，還能幫助學生發(fā)現問題的本質. 通過邏輯推理，學生可以更準確地找到解決問題的有效方法.

④ 發(fā)現隱蔽條件，綜合應用求解. 這要求學生具備敏銳的觀察力和深厚的數學基礎. 學生需要認真分析試題中的條件，發(fā)現其中的隱蔽信息和其他信息之間的關聯，并運用所學知識進行推導和計算，綜合應用所學知識來解決問題.

例5 （2024年新課標Ⅰ卷·16）已知[A0，3]和[P3， 32]分別為橢圓C：[x2a2+y2b2=1][agt;bgt;0]上兩點.

（1）求C的離心率；

（2）若過點P的直線l交C于另一點B，且△ABP的面積為9，求l的方程.

答案：（1）[12]；（2）[y=32x-3]或[y=12x].

考查目標：該題第（1）小題考查的是橢圓的方程和離心率，第（2）小題考查的是直線與橢圓相交、三角形面積、直線的方程和點到直線的距離公式等；考查學生的作圖探究能力、轉化與簡化的數學思想；考查直觀想象、數學運算和邏輯推理素養(yǎng).

命題意圖：該題的幾何情境由點、直線與橢圓這些基本圖形創(chuàng)設而成，要求學生作出圖形后仔細觀察，選擇合適的計算路徑，考查學生的作圖探究能力和直觀想象素養(yǎng). 第（1）小題根據橢圓上兩個點的坐標來確定橢圓的離心率，是對基礎知識的直接考查. 第（2）小題要求學生通過橢圓內接三角形的面積來求解直線方程，學生需要靈活選擇和應用三角形面積的計算公式，通過轉化思想簡化問題，即將三角形面積轉化為點B到直線AP的距離，根據距離確定點B的坐標和直線l的方程. 這要求學生具備較高的數學運算和邏輯推理素養(yǎng)，要求學生能夠熟練掌握解析幾何的基本技能和基本思想方法，并能將這些技能和方法應用于解決綜合問題中，體現了考查的綜合性.

試題亮點：挖掘內部關聯，簡化運算路徑. 該題第（2）小題結合了橢圓的基本性質、直線與橢圓的位置關系，以及三角形的面積計算，形成了一個綜合性的幾何問題. 通過深入挖掘這些元素之間的內在聯系，學生可以選擇不同的解題路徑，從而簡化運算過程. 第（2）小題解題方法多樣，無論學生選擇設點B的坐標，還是選擇設直線AB的方程或是設直線l的方程，每一步推理和計算考查的都是解析幾何的基本技能和基本思想方法. 第（2）小題的設計要求學生具備廣闊的數學視野，能夠從不同的角度審視問題，考慮并比較三角形面積的不同計算方法. 事實上，選擇將面積轉化為點到直線的距離會降低計算難度，這要求學生能明確目標并根據題意簡化問題，然后選擇合理的計算程序. 在解題過程中，還要根據實際情況調整解題思路和運算途徑，考查了學生思維的發(fā)散性、目的性和靈活性.

拓展練習：（2020年新高考Ⅱ卷·21）已知橢圓C：[x2a2+y2b2=1][agt;bgt;0]過點[M2，3]，點A為其左頂點，且AM的斜率為[12].

（1）求C的方程；

（2）點N為橢圓上任意一點，求△AMN的面積的最大值.

答案：（1）[x216+y212=1]；（2）18.

例6 （2024年全國甲卷·理20）設橢圓C：[x2a2+y2b2=1][agt;bgt;0]的右焦點為F，點[M1， 32]在C上，且[MF⊥]x軸.

（1）求C的方程；

（2）過點[P4，0]的直線交C于A，B兩點，N為線段FP的中點，直線NB交直線MF于點Q. 證明：[AQ⊥][y]軸.

答案：（1）[x24+y23=1]；（2）略.

考查目標：該題第（1）小題考查的是橢圓的方程、通徑公式，第（2）小題考查的是直線與直線相交、直線與橢圓相交和分析法；考查學生的作圖探究能力和提取信息能力；考查數學運算和邏輯推理素養(yǎng).

命題意圖：該題由人教A版教材選擇性必修第一冊第136頁的例5改編而成，其幾何情境由直線和橢圓共同創(chuàng)設；人教A版教材上例5的背景是拋物線，而該題背景是橢圓，兩者幾何情境的生成過程雖然看似不同，但是本質原理相同. 該題第（1）小題考查學生對橢圓方程及其幾何性質的理解，需要學生根據給定的條件計算[a，b，c]并確定橢圓的方程，考查學生對橢圓基礎知識的掌握情況. 第（2）小題是一個更為復雜的綜合問題，要求學生能夠在橢圓和直線的幾何關系中提取關鍵信息，發(fā)現并證明一些特定的結論，體現了分析法的應用. 在解題過程中，學生需要通過作圖來探究基本圖形之間的聯系，并運用邏輯推理和數學運算來證明結論，這不僅考查了學生的作圖探究能力，還考查了學生的邏輯推理素養(yǎng)和數學運算素養(yǎng).

試題亮點：作圖梳理信息，把握動中有靜. 第（2）小題是一個動態(tài)問題，作圖觀察直線AB繞著定點[P4，0]轉動，同時直線NB與定直線MF交于點Q. 在這一動態(tài)過程中，雖然點A，B，Q的位置在不斷變化，但是可以證明點A和點Q的縱坐標一直相等. 這種把握動中有靜的能力要求學生能夠透過現象看本質，發(fā)現題中的隱藏規(guī)律. 第（2）小題是一道證明題，學生需要利用分析法從結論出發(fā)尋找求解思路，通過逆向推理，發(fā)現真正需要證明的結論是[2my1y2+3y1+y2=0，]借助根與系數的關系即可證明. 這種從結論出發(fā)的思維方式，降低了計算難度，提高了解題效率，考查了學生數學思維的深刻性和目的性.

拓展練習：（2022年全國乙卷·文21）已知橢圓E的中心為坐標原點，對稱軸為x軸、y軸，且過[A0，-2，B32，-1]兩點.

（1）求E的方程；

（2）設過點[P1，-2]的直線交E于M，N兩點，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點T，點H滿足[MT=TH]. 證明：直線HN過定點.

答案：（1）[y24+x23=1]；（2）直線HN過定點[0，-2]，證明過程略.

例7 （2024年北京卷·19）已知橢圓[E： x2a2+][y2b2=1][agt;bgt;0]，以橢圓E的焦點和短軸端點為頂點的四邊形是邊長為2的正方形，過點[0，t][tgt;2]且斜率存在的直線與橢圓E交于不同的兩點A，B，過點A和[C0，1]的直線AC與橢圓E的另一個交點為D.

（1）求橢圓E的方程及離心率；

（2）若直線BD的斜率為0，求t的值.

答案：（1）[x24+y22=1]，[22]；（2）2.

考查目標：該題第（1）小題考查橢圓的方程和離心率，第（2）小題考查直線的方程、直線與橢圓相交、動直線過定點和根與系數的關系等；考查方程思想和數形結合思想；考查直觀想象、邏輯推理和數學運算素養(yǎng).

命題意圖：該題是由直線與橢圓共同創(chuàng)設的圓錐曲線綜合問題，考查學生的圖形觀察、代數運算、方程求解等綜合能力. 該題第（1）小題，學生需要理解橢圓的焦點和短軸端點構成的正方形這一幾何模型的關鍵特征，根據等量關系求出橢圓的半軸長，從而求解橢圓方程和離心率，考查學生對橢圓基礎性質和正方形基本概念的理解和應用. 第（2）小題設計了一個更具挑戰(zhàn)性的定值定點問題，學生需要根據題意作出圖形，理解題目中的幾何條件，結合解析幾何的基本方法和技能（如可以設直線AD的解析式并將其與橢圓方程聯立），通過基本的運算操作（如根與系數的關系、直線方程的表示等），根據等量關系（如BD的斜率是定值、直線AD過定點等）轉化并簡化問題，從而求出t的值. 這一過程考查了學生的方程思想、轉化與化歸思想，以及數形結合思想，考查了學生的邏輯推理和數學運算素養(yǎng).

試題亮點：觀察變與不變，邏輯推理清晰. 該題設定了一個動態(tài)情境，即點A在橢圓上運動，導致兩點B，D的位置也隨之變化. 在這種動態(tài)變化中，直線AB和直線AD始終經過y軸上的定點，這體現了數學中的“變與不變”的思想. 第（2）小題蘊含著[kBD=0]與[t=2]之間的充要關系，看透這種清晰的邏輯關系，將簡化問題的求解過程，體現了數學推理的嚴謹性和精確性. 第（2）小題運算路徑的選擇多種多樣，除了選擇設直線AD，還可以選擇設直線AB，將其與橢圓方程聯立，借助根與系數的關系和AD過定點[0，1]可求得t的值. 當然，無論選擇何種計算路徑，都需要清醒地認識到解題的目標，系統(tǒng)地運用所有可用信息，抓住變化中不變的本質，嚴格推理證明結論，考查了學生數學思維的深刻性、目的性和系統(tǒng)性.

拓展練習：（2020年新高考Ⅰ卷·22）已知橢圓[C： x2a2+y2b2=1][agt;bgt;0]的離心率為[22]，且過點[A2，1].

（1）求C的方程；

（2）點M，N在C上，且[AM⊥AN]，[AD⊥MN]，點D為垂足. 證明：存在定點Q，使得[DQ]為定值.

答案：（1）[x26+y23=1]；（2）存在定點[Q43， 13]，證明過程略.

例8 （2024年上海卷·20）已知雙曲線[Γ]：[x2-][y2b2=1bgt;0，A1，A2]分別為左、右頂點，過點[M-2，0]的直線l交雙曲線[Γ]于[P，Q]兩點，且點P在第一象限.

（1）當雙曲線[Γ]的離心率[e=2]時，求b；

（2）當[b=263]，且[△MA2P]為等腰三角形時，求點P的坐標；

（3）連接QO（O為坐標原點）并延長交[Γ]于點R，若[A1R · A2R=1]，求b的取值范圍.

答案：（1）[b=3;]（2）[P2，22;]（3）[0， 3].

考查目標：該題第（1）小題考查雙曲線的方程和離心率，第（2）小題考查等腰三角形、圓與雙曲線有公共點，第（3）小題考查直線與雙曲線相交、兩點關于原點對稱和向量的數量積；考查學生數形結合的數學思想和圖形探究的能力；考查學生的數學運算、直觀想象和邏輯推理素養(yǎng).

命題意圖：命題設計從基礎到綜合，層層遞進. 該題第（1）小題根據雙曲線的離心率便可求出雙曲線的方程，是對學生基礎知識的考查. 第（2）小題根據雙曲線有公共點的等腰三角形這一幾何模型來創(chuàng)設情境，要求學生在平面直角坐標系中觀察并計算出點P的位置，考查了學生數形結合的數學思想和直觀想象素養(yǎng). 第（3）小題是一個更為綜合的問題，要求學生找出滿足特定條件的直線與雙曲線的交點，通過設直線PQ：[x=my-2]，將其與雙曲線方程聯立，借助坐標來刻畫這些點之間的聯系，由根與系數的關系、數量積等建立b與m的等量關系，最后根據代數式中隱藏的不等關系求出b的取值范圍，考查了學生的邏輯推理和數學運算素養(yǎng)，以及學生運用綜合知識解決問題的能力.

試題亮點：發(fā)現隱蔽條件，綜合應用求解. 該題第（2）小題考查了學生從隱含的幾何性質中挖掘關鍵信息的能力，需要從等腰三角形的幾何特點中發(fā)現[PA2=3]，即點P是“隱圓”和雙曲線的公共點，將兩個曲線方程聯立即可求得結果. 第（3）小題的條件隱藏著一種對稱性，即點R是點Q關于原點的對稱點. 這種對稱性的發(fā)現和應用，可以簡化問題的求解過程. 在求解過程中，雖得到了m與b的等量關系，但還需進一步挖掘題中的不等關系才能確定b的取值范圍，這要求學生考慮問題全面周到，細心謹慎，注意到條件“P在第一象限”限制了直線PQ與雙曲線的交點位置，為學生提供了求解不等關系的關鍵信息，這種對細節(jié)的關注和把握，是解題過程中不可或缺的能力，考查了學生數學思維的嚴謹性和系統(tǒng)性.

拓展練習：（2017年江蘇卷·13）在平面直角坐標系xOy中，[A-12，0]，[B0，6]，點P在圓O：[x2+y2=50]上. 若[PA · PB≤20]，則點P的橫坐標的取值范圍是" " " " " ".

答案：[-52，1].

（3）探究問題本質，考查創(chuàng)新性.

2024年高考平面解析幾何試題的命題注重探究問題本質，考查創(chuàng)新性. 這不僅體現了對數學學科本質屬性的深刻認識，也反映了對學生數學素養(yǎng)和創(chuàng)新能力的高標準要求. 考查創(chuàng)新性可以推動數學教育改革，促進數學教學的創(chuàng)新和發(fā)展. 在命題過程中，命題者需要不斷探索和創(chuàng)新，設計出更加符合時代要求和學生特點的題目，努力提高命題的質量和水平，為數學教育的改革提供有力的支持. 新課標Ⅰ卷第11題和新課標Ⅱ卷第19題通過引入新的元素或情境，打破了傳統(tǒng)的平面解析幾何命題模式，引導學生從新的角度思考問題，不僅考查了學生對基礎知識、基本技能和基本思想方法的掌握情況，還鼓勵學生探索未知的數學領域，突出考查了學生的探究能力和創(chuàng)新能力.

例9 （2024年新課標Ⅰ卷·11）造型lt;＼＼10.1.5.160＼g＼中數高中2024年飛翔＼中數高中2024年第10期＼Image＼image2.pnggt;可以看作圖1中的曲線C的一部分，已知C過坐標原點O，且C上的點滿足橫坐標大于-2，到點[F2，0]的距離與到定直線[x=a][alt;0]的距離之積為4，則（" " ）.

（A）[a=-2]

（B）點[22，0]在C上

（C）C在第一象限的點的縱坐標的最大值為1

（D）當點[x0，y0]在C上時，[y0≤4x0+2]

答案：ABD.

考查目標：考查曲線與方程、函數導數和不等式，考查學生的閱讀理解能力、圖形探究能力和代數推理能力，考查數形結合、轉化與簡化的數學思想，考查直觀想象、邏輯推理和數學運算素養(yǎng).

命題意圖：該題旨在考查學生對曲線方程、函數導數、不等式等知識點的綜合運用能力. 通過引入一個具有特定幾何特征的曲線C，要求學生根據給定的條件推導出曲線的方程，并通過對曲線性質的分析判斷各個選項的正確性. 選項A考查學生的觀察能力、數形結合思想和直觀想象素養(yǎng)，學生需要觀察并理解曲線的性質，直觀上發(fā)現曲線C經過原點這一重要信息，從而推導出曲線的方程. 選項B考查了點與曲線的位置關系，在推導出曲線方程后，學生需要運用代數運算來驗證點是否在曲線上. 處理選項C時，學生需要運用函數化的思維方法，通過構造函數并進行求導，來分析函數的極值點和最值點，考查了學生的數學運算素養(yǎng)和探究能力. 在選項D中，學生需要借助不等式放縮的技巧來進行推理和證明，考查了學生的邏輯推理素養(yǎng).

試題亮點：命題新穎獨特，打破常規(guī)思路. 該題在命題設計上展現了顯著的新穎性和獨特性，突破了傳統(tǒng)數學試題中常見的直線、圓或圓錐曲線等題型，創(chuàng)新性地引入了“絲帶”曲線這一新的曲線類型. 這種四次曲線的引入，豐富了數學試題的內容，為學生提供了一個全新的思考平臺，促使學生關注數學中的新知識和新思想. 該題在考查學生數學基礎知識和基本技能的同時，也注重考查學生的數學思維能力. 例如，考慮選項C時可將問題轉化為函數最值問題，考查了轉化與化歸的數學思想. 選項D強調了知識點之間的聯系，融入了不等式知識，體現了考查的綜合性. 該題是多項選擇題，要求學生在不同的解題路徑、思路或策略之間進行比較和選擇，考查了學生數學思維的靈活性、深刻性和創(chuàng)新性.

拓展練習：（2019年北京卷·理8）數學中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線C：[x2+y2=1+xy]就是其中之一（如圖2）. 給出下列三個結論：

① 曲線C恰好經過6個整點（即橫、縱坐標均為整數的點）；

② 曲線C上任意一點到原點的距離都不超過[2]；

③ 曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3.

其中，所有正確結論的序號是（" " ）.

（A）① （B）②

（C）①② （D）①②③

答案：C.

例10 （2024年新課標Ⅱ卷·19）已知雙曲線[C：][x2-y2=m][mgt;0]，點[P15，4]在C上，k為常數，[0lt;klt;1]. 按照如下方式依次構造點[Pnn=2，3，…]：過[Pn-1]作斜率為k的直線與C的左支交于點[Qn-1]，令[Pn]為[Qn-1]關于y軸的對稱點，記[Pn]的坐標為[xn，yn].

（1）若[k=12]，求[x2]，[y2]；

（2）證明：數列[xn-yn]是公比為[1+k1-k]的等比數列；

（3）設[Sn]為[△PnPn+1Pn+2]的面積. 證明：對任意的正整數n，[Sn=Sn+1].

答案：（1）[x2=3]，[y2=0] ；（2）略；（3）略.

考查目標：該題第（1）小題考查雙曲線的方程、直線與雙曲線相交、點關于y軸的對稱，第（2）小題考查一般情形，涉及直線與雙曲線相交、點關于y軸的對稱、等比數列等. 第（3）小題在第（2）小題的基礎上考查三角形的面積公式（用向量法推導）. 主要考查學生的作圖探究能力、代數推理能力，以及分析問題、解決問題的能力，考查迭代法和構造法的應用，考查學生的整體思想、化歸思想、從特殊到一般的數學思想，考查數學運算、邏輯推理和直觀想象素養(yǎng).

命題意圖：該題通過直線與雙曲線相交的幾何背景，將傳統(tǒng)的圓錐曲線問題轉化為數列問題，問題新穎獨特，考查學生的數學探究能力. 題目設計從簡單到復雜，層層遞進，旨在引導學生通過深入分析和探究來解決問題. 第（1）小題從最簡單的情形入手，通過作圖觀察來分析特殊情形，為后續(xù)問題的解答奠定基礎. 第（2）小題進一步提升難度，要求學生考慮一般情況，通過作圖了解直線與雙曲線相交的普遍規(guī)律，結合聯立方程和根與系數的關系，證明數列[xn-yn]是等比數列，考查了學生對迭代法和構造法的應用，以及從特殊到一般、數形結合的數學思想. 第（3）小題進一步提高挑戰(zhàn)性，要求學生求解三角形的面積并證明面積數列是常數列，要求學生對三角形面積公式有深入的理解，能夠創(chuàng)造性地運用向量法推導三角形面積公式，或是利用平面幾何知識證明面積相等，考查了學生的創(chuàng)新意識和探究問題本質的能力，考查數學運算和邏輯推理素養(yǎng).

試題亮點：強調多想少算、環(huán)環(huán)相扣求解. 該題是一道融合了雙曲線和數列知識的綜合性數學問題，通過設定具體的斜率值，讓學生借助圖形來熟悉雙曲線與直線相交產生的點列特征，了解問題的本質是迭代，旨在考查學生的邏輯思維和探究能力. 首先，試題鼓勵學生從最簡單、最特殊的情形入手，通過直觀分析和計算，初步理解問題的結構. 接著將特殊情形推廣到一般情況，讓學生通過觀察、總結、計算，證明數列[xn-yn]是等比數列，隨后發(fā)現數列[xn+yn]也是等比數列. 在解題過程中學生需要反復思考、不斷嘗試，通過環(huán)環(huán)相扣的求解步驟逐步逼近問題的核心. 最終，學生需要運用歸納和推理的能力，探究無數次操作后問題蘊含的不變特征和代數規(guī)律，完成整個問題的全面理解和解答，考查了數學思維的創(chuàng)新性和深刻性.

拓展練習：（2009年廣東卷·理21）已知曲線[Cn：][x2-2nx+y2=0][n=1，2，…]. 從點[P-1，0]向曲線[Cn]引斜率為[kn][kngt;0]的切線[ln]，切點為[Pnxn，yn].

（1）求數列[xn]與[yn]的通項公式；

（2）證明：[x1x3…x2n-1lt;1-xn1+xnlt;2sinxnyn].

答案：（1）[xn=nn+1]，[yn=n2n+1n+1]；（2）略.

2. 命題導向分析

高考命題堅持“價值引領、素養(yǎng)導向、能力為重、知識為基”的原則，助力素質教育的發(fā)展. 高考命題將繼續(xù)依據課程標準和數學教材的要求，設計符合教學改革理念的試題，引導中學教學遵循教育規(guī)律，突出數學教學本質. 上文提到，新課標Ⅱ卷第5題是由人教A版教材選擇性必修第一冊第115頁綜合運用的第9題、第127頁復習鞏固的第5題和第139頁綜合運用的第9題直接改編而成，全國甲卷理科第20題由人教A版教材選擇性必修第一冊第136頁例5拓展而來，其他試題的考查內容也并未脫離教材的核心內容，且與《標準》的考查要求一致，這足以體現高考命題與教材內容和《標準》的緊密聯系. 基于2024年高考平面解析幾何試題的命題特點分析，可以總結平面解析幾何專題的命題趨勢.

（1）基礎知識與綜合能力并重.

① 考查基礎知識的深度理解. 命題趨勢將更加注重數學知識體系的系統(tǒng)性和連貫性. 這意味著命題會涵蓋各個基礎知識點，并注重它們之間的內在聯系和邏輯順序，幫助學生形成清晰的知識脈絡. 在考查基礎知識時，命題將不僅僅停留在表面記憶層面，還更加注重學生對知識的深度理解和靈活運用.

② 命題向考查綜合能力轉化. 命題趨勢顯著地向著考查學生將基礎知識轉化為綜合問題的解決能力傾斜. 這要求學生在掌握基礎知識的基礎上，能夠將其應用于復雜多變的問題情境中，并整合多個知識點，形成綜合的解題策略，從而有效地解決問題. 這種轉變旨在培養(yǎng)學生的綜合應用能力、創(chuàng)新思維和問題解決能力，以便更好地適應未來社會的發(fā)展.

③ 知識與能力考查比例平衡. 命題者努力平衡基礎知識與綜合能力的考查比例，確保兩者在試卷中占據合理的位置. 這既能夠全面評估學生平面解析幾何的學習情況，又能避免過度偏向某一方而導致評價失真. 為了照顧不同水平的學生，命題者在試卷中設置不同難度的平面解析幾何試題，基礎題用于檢驗學生的基本掌握情況，綜合題則用于考查學生的高階思維能力.

（2）直觀想象與邏輯推理的考查.

① 考查幾何直觀與空間想象. 平面解析幾何命題將設計更多需要學生通過觀察、分析和想象圖形來解決問題的試題，旨在培養(yǎng)學生的幾何直觀和空間想象能力. 該類試題不僅要求學生能夠準確理解并繪制幾何圖形，更要求他們能夠利用圖形的直觀性來洞察問題的內在結構，從而找到解決問題的關鍵路徑. 這種趨勢將促進學生從多個維度理解數學問題，提高他們的數學思維能力.

② 考查數學運算與邏輯推理. 數學運算與邏輯推理是學生數學核心素養(yǎng)的重要組成部分，也是命題者關注的重點之一. 平面解析幾何命題將設計更具邏輯嚴密性和啟發(fā)性的問題，引導學生通過細致觀察、深入分析來發(fā)現問題的內在聯系和規(guī)律，進而運用邏輯推理的方法逐步推導出問題的解決方案，在推理的過程中需要學生專心致志地進行數學運算. 這種考查方式能夠培養(yǎng)學生的邏輯思維和運算能力，使學生形成更加嚴謹、系統(tǒng)的數學思維方式.

③ 考查數形結合思想. 平面解析幾何命題鼓勵學生靈活運用數形結合思想來解析問題. 這些問題往往涉及代數與幾何的交叉融合，要求學生將抽象的數學表達式與直觀的圖形進行相互轉化，從而揭示問題的本質和規(guī)律. 此外，命題還將鼓勵學生在應用數形結合思想的過程中進行創(chuàng)新思維，探索新的解題思路，以此提升學生的數學素養(yǎng)和創(chuàng)新能力.

（3）開放情境與數學探究的倡導.

① 創(chuàng)設開放性情境. 平面解析幾何的命題趨勢之一是創(chuàng)設多樣化的開放性情境. 這意味著命題者將設計一系列富有啟發(fā)性和趣味性的數學情境，鼓勵學生從多個角度、多個層面探究并解決問題. 這些情境可能來源于現實世界中的實際問題，也可能來源于數學內部的深層次問題，如幾何定理的推廣、圖形變換的性質探索等. 通過多樣化的開放性情境，學生可以更加深入地理解平面解析幾何的概念、原理和方法，進而提升數學興趣和探究精神.

② 強調探究性過程. 在開放情境下，平面解析幾何的命題將更加注重探究過程和思維能力的培養(yǎng). 命題者將設計一系列具有挑戰(zhàn)性的任務和問題，要求學生通過觀察、實驗、推理、歸納等探究方式，逐步深入問題的核心，形成自己的理解和解決方案. 在這個過程中，學生需要不斷運用數學知識和技能，發(fā)揮想象力和創(chuàng)造力，提出新的假設和猜想. 通過這樣的探究過程，學生可以逐步構建自己的數學知識體系，養(yǎng)成獨立思考、勇于質疑、善于創(chuàng)新等良好的思維品質.

③ 重視多元化發(fā)展. 在平面解析幾何的命題中，不再追求唯一的標準答案或解題方法，而是鼓勵學生根據自己的理解和思考，提出多種可能的解決方案. 這些方案可能涉及不同的數學工具、方法或思路，但是都能有效地解決問題. 通過這樣的命題設計，學生可以更加自由地表達自己的數學見解，運用自己的創(chuàng)新思維. 此外，命題將設計多樣化的平面解析幾何題目和評價體系，滿足不同學生的學習需求和發(fā)展方向，促進學生的全面發(fā)展和個性化成長.

三、復習教學建議

教學策略是指在教學中理解問題、選擇方法、采取步驟的指導方針，策略通常具有抽象性、概括性等特點. 2024年高考平面解析幾何試題重視回歸基礎、知識聯系、探究問題本質. 針對平面解析幾何復習教學提出以下教學策略：一是夯實“四基”“四能”，提高關鍵能力. 通過明確基本概念、梳理知識體系、強化基礎訓練來夯實基礎，通過培養(yǎng)思維能力、掌握基本解題方法、加強練習鞏固來提高關鍵能力. 二是系統(tǒng)思維訓練，提升數學素養(yǎng). 教師平時應重視培養(yǎng)學生的直觀想象和數學運算素養(yǎng)，在復習教學中幫助學生構建思維導圖或知識網絡，讓學生更加清晰地掌握平面解析幾何的知識結構，鼓勵學生將復雜的平面解析幾何問題分解為若干個簡單的子問題并逐一解決，鼓勵學生嘗試多種解題方法，增強數學思維的靈活性和創(chuàng)新性. 三是培養(yǎng)理性精神，引導核心價值. 強調對平面解析幾何基本概念、原理和公式的深入理解，確保學生不僅知其然，還知其所以然；教授學生如何根據試題條件運用邏輯方法進行分析和推理，同時要求學生按照規(guī)范的步驟進行解題；通過講解平面解析幾何數學問題中的對稱美、和諧美，讓學生感受到數學的美學和藝術價值等.

教學建議是教學策略在具體教學實踐中的具體化和應用，以上教學策略為平面解析幾何教學建議的提出提供了基礎和方向. 針對平面解析幾何復習教學，提出以下教學建議.

1. 重視《標準》，挖掘教材，強化過程積累基本經驗

《體系》中的“一核”表述為“立德樹人，服務選才，引導教學”，近幾年的高考命題越發(fā)體現了“引導教學”的考查目標. 2024年高考數學試卷立足《標準》，考查的內容依據學業(yè)質量標準和課程內容，注重考查學生對基礎知識和基本技能的熟練掌握和靈活應用，強調知識的整體性和連貫性，引導教學以課程目標和核心素養(yǎng)為指引，避免超綱教學，注重內容的基礎性和方法的普適性，避免盲目鉆研套路和機械訓練.

如何在教學中進行調整，真正讓學生掌握主干知識，提升基本能力，培養(yǎng)核心素養(yǎng)呢？那就是應該緊扣《標準》，緊抓教材，在日常教學過程中讓學生積累基本活動經驗，形成相應的數學素養(yǎng).《標準》將解析幾何放在“代數與幾何”的主題下，意在引導學生關注“數與形”的結合，反映在教材中也特別重視“方程與曲線”的聯系. 在教材橢圓的練習中就出現了通徑的形式，與新課標Ⅰ卷第12題的圖形完全相同. 不難發(fā)現，很多問題都可以在教材的例題和習題中找到根源，這是一種顯性的關聯. 更多地，應該通過研究教材，領會教材的系統(tǒng)性，讓學生頭腦中有清晰、穩(wěn)定、可辨別、遷移能力強的數學知識結構圖，不但要理解知識及其蘊含的數學思想方法，而且要懂得知識間的邏輯關系和關聯方式，從而真正理解數學，實現能力的提升.

2. 重視直觀，結合模型，代數推理夯實基礎知識

解析幾何首先指向的是幾何問題，因此直觀想象就給解析幾何研究提供了清晰的思路. 例如，教材在處理圓錐曲線時貫徹了“先用幾何眼光觀察與思考，再用坐標解決”的策略，因此對于三種曲線都在概念之后強調幾何特征，選擇坐標系建立方程，再用代數方法認識曲線性質與位置關系. 這樣的理念也反映在高考試題的命制中. 例如，新課標Ⅱ卷第10題是以拋物線和圓作為情境的問題，其中選項D判斷滿足[PA=PB]的點P的個數，就應該從點P的軌跡是直線入手，先獲取幾何對象形成直觀，再利用代數方法確定數量. 因此，在教學過程中，要多讓學生思考符合條件的點的軌跡，并動手畫圖，形成解決問題的策略，提高運算求解的效率，真正將直觀想象落到實處.

解析幾何所研究的對象是有限的，常見的是直線、圓、橢圓、雙曲線和拋物線這五種，且多以直線與其他四種曲線的位置關系為情境，因此可以總結出一些常用的“模型”. 例如，教材中利用例題和習題讓學生認識橢圓和雙曲線都滿足斜率之積為定值的性質，并且該定值可以用離心率表示. 一旦學生識別并掌握了這一模型，他們便能在新課標Ⅰ卷第18題中輕松求解離心率，在2024年九省考試解析幾何問題的解決中熟練轉化、確定定值、求得定點. 這些模型不是要讓學生死記硬背，而是要讓學生理解其中的圖形關系，形成有益的基本活動經驗，從而有助于學生捋順問題解決的路徑，厘清數學運算的程序，進一步夯實基礎知識，形成關鍵能力.

基于以上分析，一方面，鼓勵學生多畫圖、多觀察，通過圖形的直觀性來理解題目中的條件和要求，讓學生逐漸習慣從圖形中提取有用信息；另一方面，在解析幾何中，代數運算和圖形特征往往是相互關聯的，鼓勵學生將圖形特征轉化為代數表達式，通過代數運算來解決問題，形成相應的模型. 通過從代數到幾何，從幾何到代數，如此多次交替轉化，讓學生真正理解解析幾何的本質，實現溝通代數與幾何的目標.

3. 重視運算，選擇策略，合理訓練提升基本技能

作為六大核心素養(yǎng)之一的數學運算，《標準》給出了明確的刻畫. 數學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的素養(yǎng). 主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結果等. 作為解決數學問題的基本手段，數學運算在解析幾何的學習和研究過程中體現得尤為明顯. 因此，解析幾何的教學要肩負起培養(yǎng)學生數學運算的責任，將解析幾何所要研究的問題轉化為運算問題，確定運算對象，明確運算方向，形成程序思想.

在實際教學過程中，大多數解析幾何問題都可以通過方程或者函數的代數運算解決. 例如，聯立方程可以判斷直線與曲線的位置關系并定量計算弦長、面積等問題，因此試題命制的過程也是圍繞這些基本問題展開的. 設置從直線與曲線出發(fā)探究位置這樣的正向問題，或者從位置關系出發(fā)研究幾何對象這類逆向問題. 例如，新課標Ⅰ卷第16題就是已知三角形的面積去確定直線的方程. 該題充分展現了命題中的基礎性，但是在閱卷過程中發(fā)現學生還是在方法的選擇上出現了困擾. 可見，在實際問題的解決過程中，學生會出現差異，從而區(qū)分不同思維層次的學生，也使不同能力水平的學生得以展現.

推理是數學的“命根子”，運算是數學的“童子功”.“刷題”并不能提高學生的運算能力，“大量刷題”反而可能會降低學生的思維層次. 在教學過程中，要注意引導學生思考條件與目標之間的關系，從幾何特征切入，制訂合適的策略，選擇有效的方法. 例如，新課標Ⅰ卷第16題已知三角形的兩個頂點和面積，從幾何角度可以發(fā)現第三個頂點就在兩條確定的直線上，求解具體直線與橢圓公共點問題是比較容易、快速且有效獲取正確結果的途徑. 誠然，僅僅有運算的策略是不行的，學生要有執(zhí)行運算策略的信心與能力. 因此，學生只有親自“下水”，才能成為運算“高手”. 在養(yǎng)成良好解題習慣的同時，發(fā)展學生分析和解決問題的能力，不僅能讓數學運算成為解決數學問題的基本手段，還能讓學生形成嚴謹細致的作風和堅忍不拔的品質.

4. 重視觀念，強化方法，提出問題深化基本思想

《標準》指出，平面解析幾何通過建立坐標系，借助直線、圓與圓錐曲線的幾何特征，導出相應方程；用代數方法研究它們的幾何性質，體現形與數的結合. 事實上，解析幾何的基本內涵和方法是：通過坐標系，把幾何的基本元素（點和代數）的基本對象（數、有序數對或數組）對應起來，在此基礎上建立曲線（點的軌跡）的方程，從而把幾何問題轉化為代數問題，再通過代數方法研究幾何圖形的性質. 因此，在教學中不能只強調直線、圓、橢圓、雙曲線和拋物線這五種常規(guī)曲線的代數方程，還要讓學生經歷從幾何到代數的過程，理解它們之間的聯系與區(qū)別，要鼓勵學生去探索其他曲線的方程和性質，體會解析幾何的一般觀念.

我們熟知，圓可以通過壓縮成為橢圓，將到兩定點距離之和為定值改為到兩定點距離之差為定值就可以從橢圓遷移到雙曲線. 同時，教材還給出基于橢圓和雙曲線，用與兩定點連線的直線的斜率之積為定值的等價判斷，可以發(fā)現在習題中提出了斜率之差和斜率之差為定值的曲線的研究. 這充分說明，教材意在引導教師和學生要學會發(fā)現和提出問題. 回看新課標Ⅰ卷第11題，就是類比圓錐曲線的統(tǒng)一定義（到定點距離與到定直線距離之比為定值）提出了新的問題（到定點距離與到定直線距離之積為定值），可以建立曲線方程（四次曲線）來探究其幾何性質.

因此，在教學過程中，要在“如何發(fā)現和提出值得研究的問題”上對學生加以指導，完成“數學探究和數學建模”的教學要求，從而有效培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維能力. 如何指導學生提出問題呢？一般來說，可以根據數學知識的發(fā)生發(fā)展過程，用整體的、聯系的、發(fā)展的眼光看問題，從而形成科學的思維習慣，并將其作為重要的教學內容，提出具有內在邏輯關聯的系列化問題. 例如，在研究蒙日圓問題時，學生根據兩條切線相互垂直即斜率之積為[-1]類比提出了斜率之積為定值，通過特殊情況的推導，信息技術的加持，動態(tài)實驗，合情推理，推廣并獲取了一般性結論. 由此，我們倡導在問題引導下放手讓學生展開自主學習，這樣學生能走得更遠、學得更好，在遇到不熟悉情境的問題時，能學會用整體的、聯系的觀點思考問題，將問題轉化為熟悉的問題來解決，這是學生必須具有的數學思維能力.

參考文獻：

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［5］波利亞. 數學的發(fā)現：對解題的理解、研究和講授［M］. 劉景麟，曹之江，鄒清蓮，譯. 北京：科學出版社，2009.

作者簡介：吳鍔（1960— ），男，正高級教師，主要從事數學教育教學以及中高考數學命題研究；

錢月鳳（1994— ），女，一級教師，主要從事數學教育教學研究；

劉煒（1983— ），男，正高級教師，主要從事數學教育教學研究.