摘" 要：概率與統(tǒng)計是高考中通過真實情境考查實踐應用能力，以及數學建模和數據分析素養(yǎng)的重要載體. 高考中的真實情境主要聚焦現實生活情境、科學研究情境和勞動生產情境. 計數原理的考查中更加突出對原理本質的理解；概率的考查中更加強調對經典模型的靈活運用，以及學科內部知識的深度融合；統(tǒng)計的考查中更加強化表征分析和統(tǒng)計推斷. 在教學中，要引導學生把握研究概率與統(tǒng)計問題的一般路徑和思維方式.

關鍵詞：真實情境；經典模型；數學建模；數據分析；研究路徑

中圖分類號：G633.6" " "文獻標識碼：A" " "文章編號：1673-8284（2024）10-0053-08

引用格式：彭海燕，張珅瑞. 創(chuàng)設真實情境" 強化實踐應用：2024年高考“概率與統(tǒng)計”專題命題分析［J］. 中國數學教育（高中版），2024（10）：53-60.

概率與統(tǒng)計的高考命題改革是伴隨著經濟社會的發(fā)展而不斷發(fā)展與深化的. 事實上，經過近30年的探索與實踐，特別是新課標、新教材落地實施和新高考內容深化改革以來，高考對概率與統(tǒng)計的考查呈現了新的趨勢：更加注重基本概念的理解與應用，試題情境更加真實和復雜，素材來源更加豐富和多元，模型更加精細和完善，數學建模與概率與統(tǒng)計深度融合.

一、考查內容分析

2024年是高考數學全國卷試卷結構調整的第七個年頭，也是改革力度最大的一年. 在結構調整的背景下，2019年全國Ⅰ卷概率與統(tǒng)計解答題首次出現在全卷最后一題的位置；2023年新課標Ⅰ卷概率與統(tǒng)計解答題則出現在全卷倒數第二題的位置；2024年新課標Ⅰ卷中沒有設置概率與統(tǒng)計解答題，新課標Ⅱ卷中的概率與統(tǒng)計解答題依然出現在全卷倒數第二題的位置（第18題）. 在內容安排上，結構調整以前，包括2024年舊高考的全國甲卷，一般都會設置3道概率與統(tǒng)計試題，涵蓋排列與組合或二項式定理、統(tǒng)計（數字特征或統(tǒng)計案例）和概率（公式應用、經典模型）內容. 而2024年新課標Ⅰ卷中有2道概率與統(tǒng)計客觀題，分別考查正態(tài)分布密度曲線的理解及其性質把握和古典概型（排列與組合背景或隨機變量視角）；新課標Ⅱ卷中的概率與統(tǒng)計試題包含2道客觀題和1道主觀題，考查數字特征的理解、計數原理的應用和二項分布基礎上的數學建模及期望決策. 兩份新課標試卷中概率與統(tǒng)計試題鋪排各異的特點提示我們，隨著新課標卷中試題數量的減少，考查內容不再強調全覆蓋，如此便可以更加靈活、科學地確定試題的內容、分值、順序和難度.

二、命題特點分析

1. 命題意圖分析

2020年以來的高考數學試題緊密結合社會實際和學生的現實生活，加強對實踐應用能力的考查，體現了數學在解決實際問題中的工具特征和應用價值，充分體現了數學教育改革中不斷加強實踐性、應用性的要求. 2024年高考數學命題充分考慮概率與統(tǒng)計知識與生產生活實際聯(lián)系的緊密度，主要以概率與統(tǒng)計知識為載體考查實踐應用能力，以及數據分析、數學建模和邏輯推理素養(yǎng). 綜觀三套全國卷，在情境設置上主要是與學生校園生活有關的現實生活情境（如體育運動）和勞動生產情境，這也是概率與統(tǒng)計問題常用的情境.

（1）以排列與組合考查基本原理和古典概型應用，突出基礎性.

排列與組合是兩類特殊的計數問題，是對計數原理的直接運用，也是古典概型應用的基礎，在具體問題設計中重視利用圖表及其表征信息來分析問題和解決問題.

例1 （2024年新課標Ⅱ卷·14）在如圖1所示的4 × 4方格表中選4個方格，要求每行和每列均恰有一個方格被選中，則共有" " " " 種選法. 在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個數之和的最大值是" " " " .

答案：24；112.

考查目標：此題考查計數原理和排列與組合，枚舉法和轉化與化歸思想，以及圖表表征分析能力和邏輯推理素養(yǎng).

命題意圖：此題的表征是通過一個數表來呈現的，需要學生分析數表中數據的特征，屬于推理型的分割數表問題，命題更趨向對核心原理的考查. 第一空突出對分步計數原理的檢測；第二空既可以在第一空的基礎上逐一列舉得到選中的[15，21，33，43]4個數之和最大，也可以在分析數表數字特征的基礎上運用分類思想，分別從列和行兩個角度研究規(guī)律，發(fā)現每列中的數十位數字都相同，因而可以僅關注個位數字特征，進而研究每行的數字特征，再結合最大值構成的特點，運用邏輯推理得到問題的答案. 第二空較好地考查了學生思維的靈活度和創(chuàng)新性，真正考查了學生的表征能力.

試題亮點：作為雙空題，該題屬于中等題，具有創(chuàng)新性，是一道“反套路、反刷題”試題. 第一空比較簡單，屬于常見的分步乘法計數原理問題，旨在降低試題難度、提高得分率，這是雙空題設計的初衷. 當然，這一空也為第二空作遞進鋪墊，第二空則完美地體現了“多考想的、少考算的”的命題理念. 學生可以將此題涉及的所有情況一一列舉后完成解答，也可以針對表格信息先進行邏輯推理，發(fā)現行、列數字之間的規(guī)律，再作答. 顯然，后者的運算量要少得多. 該題是一道考查思維品質的良好試題.

拓展練習：（2016年全國Ⅱ卷·理5）如圖2，小明從街道的點E處出發(fā)，先到點F處與小紅會合，再一起到位于點G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數為（" " ）.

（A）24 （B）18

（C）12 （D）9

答案：B.

例2 （2024年全國甲卷·理16）有6個相同的球，分別標有數字1，2，3，4，5，6，從中無放回地隨機取3次，每次取1個球，設[m]為前兩次取出的球上數字的平均值，[n]為取出的三個球上數字的平均值，則[m]與[n]之差的絕對值不大于[12]的概率為________.

答案：[715].

考查目標：此題考查絕對值不等式、排列與組合、古典概型，枚舉法和分類討論思想，以及邏輯推理素養(yǎng).

命題意圖：此題重點考查學生對概率模型的理解與應用，需要學生運用枚舉法解決問題. 若用[a，b，c]表示一次實驗可能出現的結果，則可以先確定[c]球的編號，再根據[a+b]的取值范圍討論[a，b]兩個球的可能情況，得到符合條件的樣本點，進而根據古典概型的計算公式求解. 當然，如果能夠注意到[a+b∈]

[3，11]，則不難發(fā)現[a+b=5]和[a+b=9]的樣本點的個數是相同的，如此[c=1]和[c=6]時的數量是一致的；同理，[c=2]和[c=5]，[c=3]和[c=4]時的數量也是一致的，也就是說只需要計算[c為1，2，3]時的數量即可. 此題較好地體現了發(fā)現問題和提出問題在問題解決中的價值.

試題亮點：此題為填空題的最后一題，只要學生認真分析題目條件，從[m，n]的關系中梳理并推導出[a，b，c]三個球編號的關系，繼而利用枚舉法便可求解，對學生邏輯思維的嚴謹性和運算求解能力要求較高. 此題的命制背景是學生熟悉的取球問題，源于人教A版《普通高中教科書·數學》（以下統(tǒng)稱“人教A版教材”）必修第二冊習題10.1第14題的第（3）小題，原題的背景是拋擲3次骰子，求三個點數之和是9的概率. 此題在其基礎上進行了拓展與延伸，學生需要基于[m，n]的關系梳理推導出[a，b，c]三個球編號之間的關系，并且綜合了平均數、絕對值不等式的考點，形式新穎，體現了高考概率試題在綜合性和創(chuàng)新性上的突破，展示了高考試題源于教材、高于教材的立意. 教學過程中，要引領學生抓住核心要素，分析問題本質. 古典概型是高中階段學生學習的重要概率模型，是高考考查的熱點內容，枚舉法則是解決古典概型問題最基本的方法，2023年全國乙卷、2022年新高考Ⅰ卷、2022年全國乙卷、2022年全國甲卷等高考試卷中的相關概率與統(tǒng)計試題均體現了枚舉法在解決古典概型問題中不可撼動的基礎地位.

拓展練習：（2022年全國甲卷·理15）從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平面的概率為" " " " .

答案：[635].

（2）以統(tǒng)計量的計算和含義理解考查統(tǒng)計推斷和決策，突出綜合性.

高考概率與統(tǒng)計試題重視考查統(tǒng)計圖表和數字特征，并且近三年都是根據實際問題背景構建新的統(tǒng)計量來引導統(tǒng)計的考查方向，強化統(tǒng)計推斷和決策.

例3 （2024年新課標Ⅱ卷·4）某農業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產量（單位：kg）并整理如表1所示.

根據表1中數據，下列結論中正確的是（" " ）.

（A）100塊稻田畝產量的中位數小于[1 050 kg]

（B）100塊稻田中畝產量低于[1 100 kg]的稻田所占比例超過[80%]

（C）100塊稻田畝產量的極差介于[200 kg]到[300 kg]之間

（D）100塊稻田畝產量的平均值介于[900 kg]到[1 000 kg]之間

答案：C.

考查目標：此題考查頻數分布表、圖表中數量關系信息的提取、集中趨勢和離散程度數字特征的計算，以及邏輯推理能力和數學運算素養(yǎng).

命題意圖：此題利用頻數分布表考查學生的閱讀理解能力，要求學生通過對表格中樣本的部分數據進行分析計算并作出估計. 特別是A，B，D三個選項，都涉及對缺失項的理性判斷. 此題具有很強的現實意義，要求學生有較強的理論聯(lián)系實際的能力，以及分析問題和解決問題的能力，較好地考查了學生的思維品質.

試題亮點：此題源于人教A版教材必修第二冊“9.2 用樣本估計總體”的例1，其給出2015年全年空氣質量等級和2016年5月和6月的空氣質量指數，要求選擇合適的統(tǒng)計圖描述數據、計算相應的數字特征并回答問題. 兩道題目雖然命制背景不同，但是考查目標均是頻數分布表、圖表中數量關系信息的提取，以及集中趨勢和離散程度數字特征的計算，要求學生對概念的本質及每個數字特征的意義有深刻理解. 另外，此題雖然是基礎題，但由于頻數分布表有所“缺失”，因而對學生的圖表分析能力要求較高，重在考查學生的邏輯推理素養(yǎng). 關于數字特征問題，在掌握數字特征計算的同時，更要深入理解數字特征在具體情境中的實際含義，而這也是近五年高考考查的熱點.

拓展練習：（2022年全國甲卷·理 / 文2）某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識. 為了解講座效果，隨機抽取10位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如圖3所示，則（" " ）.

（A）講座前問卷答題的正確率的中位數小于70%

（B）講座后問卷答題的正確率的平均數大于85%

（C）講座前問卷答題的正確率的標準差小于講座后正確率的標準差

（D）講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

答案：B.

例4 （2024年全國甲卷·理17 / 文18）某工廠進行生產線智能化升級改造. 升級改造后，從該工廠甲、乙兩個車間的產品中隨機抽取[150]件進行檢驗，數據如表2所示.

（1）填寫如下列聯(lián)表（表3）.

能否有[95%]的把握認為甲、乙兩車間產品的優(yōu)級品率存在差異？能否有[99%]的把握認為甲、乙兩車間產品的優(yōu)級品率存在差異？

（2）已知升級改造前該工廠產品的優(yōu)級品率[p=0.5]. 設[p]為升級改造后抽取的[n]件產品的優(yōu)級品率. 如果[pgt;p+1.65p1-pn]，則認為該工廠產品的優(yōu)級品率提高了. 根據抽取的[150]件產品的數據，能否認為生產線智能化升級改造后，該工廠產品的優(yōu)級品率提高了？（[150≈12.247.]）

附： [K2=nad-bc2a+bc+da+cb+d，n=a+b+c+d.]

參考答案：（1）有95％的把握認為甲、乙兩車間產品的優(yōu)級品率存在差異，但沒有99％的把握認為甲、乙兩車間產品的優(yōu)級品率存在差異.

（2）能夠認為生產線智能化升級改造后，該工廠產品的優(yōu)級品率提高了.

考查目標：此題考查樣本估計總體、[2×2]列聯(lián)表、獨立性檢驗，以及新定義統(tǒng)計量的計算與含義理解，考查數學運算和邏輯推理素養(yǎng).

命題意圖：此題在對提煉的數量關系進行考查時，要求學生深入挖掘試題內涵，選取適當的策略和思維路徑等，對學生解題的過程與方法提出了要求. 第（1）小題主要考查用樣本數字特征估計總體數字特征，并提取相應信息數據填寫[2×2]列聯(lián)表，然后計算[K2]，分析和判斷實際問題，有效考查了學生對獨立性檢驗的理解. 第（2）小題新定義一個不等式[pgt;p+][1.65p1-pn]，通過計算并比較其與升級改造后的產品的優(yōu)級品率的大小，判斷優(yōu)級品率是否有所提高.

試題亮點：此題以工廠車間生產線智能化升級改造為背景命制，體現了我國加工制造業(yè)的發(fā)展. 此題位于全國甲卷（理科）解答題的第1題（文科卷解答題的第2題），屬于基礎題，求解思路單一，對學生的運算能力有一定要求. 近幾年高考中也持續(xù)出現相關背景下的新定義問題，如2023年全國乙卷理科中的產品伸縮率比較，2021年全國乙卷理科中的產品某項指標是否提高，解題思路和方法與此題一致，體現了對數學核心素養(yǎng)的積極滲透. 著力提升學生邏輯思維的嚴謹性和對統(tǒng)計思想的感悟，旨在提升學生分析問題和解決問題的能力.

拓展練習：（2022年新高考Ⅰ卷·20）一醫(yī)療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當地居民的衛(wèi)生習慣（衛(wèi)生習慣分為良好和不夠良好兩組）的關系，在已患該疾病的病例中隨機調查了[100]例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機調查了[100]人（稱為對照組），得到如表5所示的數據.

（1）能否有[99%]的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習慣有差異？

（2）從該地的人群中任選一人，[A]表示事件“選到的人衛(wèi)生習慣不夠良好”，[B]表示事件“選到的人患有該疾病”，[PB AP（B A）]與[PB APB A]的比值是衛(wèi)生習慣不夠良好對患該疾病風險程度的一項度量指標，記該指標為[R].

① 證明：[R=PA BP（A B） ? PA BPA B]；

② 利用該調查數據，給出[PA B]，[PA B]的估計值，并利用①的結果給出[R]的估計值.

附：[K2=nad-bc2a+bc+da+cb+d，]

答案：（1）有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習慣有差異.

（2）① 略；②[6].

例5 （2024年新課標Ⅱ卷·18）某投籃比賽分為兩個階段，每個參賽隊由兩名隊員組成，比賽具體規(guī)則如下：第一階段由參賽隊中一名隊員投籃[3]次，若[3]次都未投中，則該隊被淘汰，比賽成績?yōu)閇0]分；若至少投中[1]次，則該隊進入第二階段，由該隊的另一名隊員投籃[3]次，每次投中得[5]分，未投中得[0]分. 該隊的比賽成績?yōu)榈诙A段的得分總和.

某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成，設甲每次投中的概率為[p]，乙每次投中的概率為[q]，各次投中與否相互獨立.

（1）若[p=0.4，q=0.5]，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊的比賽成績不少于[5]分的概率.

（2）假設[0lt;plt;q].

① 為使得甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)閇15]分的概率最大，應該由誰參加第一階段比賽？

② 為使得甲、乙所在隊的比賽成績的數學期望最大，應該由誰參加第一階段比賽？

答案：（1）[0.686].

（2）① 甲參加第一階段比賽；② 甲參加第一階段比賽.

考查目標：此題考查二項分布、獨立事件的理解和積事件概率的運算，考查數學建模、邏輯推理和數學運算素養(yǎng).

命題意圖：此題需要學生理解兩個階段比賽結果的獨立性，并抽象出甲、乙投中次數[X]，[Y]服從二項分布，其中[X～B3，p]，[Y～B3，q]，甲、乙參加第一階段比賽，比賽成績隨機變量分別為[Z1，Z2]. 此題需要構建隨機變量之間的關系，并用符號恰當地表示，即建立隨機變量[Zi i=1，2]與[X]，[Y]之間的模型. 第（1）小題屬于簡單題，為具體概率值的積事件概率計算，為后續(xù)問題的求解作思維鋪墊；第（2）小題則聚焦學生在推理中進行分類計算和綜合比較，考查了邏輯推理、數學運算和數學抽象等素養(yǎng).

試題亮點：此題綜合性較強，在體現數學應用價值的同時考查學生的關鍵能力，具有一定的區(qū)分度. 命制背景是學生熟悉的投籃比賽，教材中也有類似背景，如人教A版教材選擇性必修第三冊第75頁例3，此題與2022年全國乙卷（理科）第10題有異曲同工之妙，凸顯了高考對概率考查的本質要求，可有效檢測學生的概率思想. 對于概率的學習，不能局限于對各種概率的計算，要提升學生分析隨機現象的能力，培養(yǎng)學生認識不確定現象的思維方式，促使學生學會辯證地思考問題，從而提升學生的數據分析素養(yǎng). 此外，2024年新課標Ⅰ卷第14題也可以通過分析兩個隨機變量之間的關系解決. 綜觀近幾年高考中的此類試題發(fā)現，對事件關系的分析及準確地用符號表達事件關系是學生的弱點，導致此類涉及多個復雜事件關系的問題成為學生學習的難點，因此要特別注重培養(yǎng)學生分析事件及其關系和符號表達的能力.

拓展練習：（2016年全國Ⅰ卷·理19）某公司計劃購買[2]臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰. 機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個[200]元. 在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個[500]元. 現需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了[100]臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數，得到柱狀圖如圖4所示.

以這[100]臺機器更換的易損零件數的頻率代替[1]臺機器更換的易損零件數發(fā)生的概率，記[X]表示[2]臺機器三年內共需更換的易損零件數，[n]表示購買[2]臺機器的同時購買的易損零件數.

（1）求[X]的分布列；

（2）若要求[PX≤n≥0.5]，確定[n]的最小值；

（3）以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據，在[n=19]與[n=20]之中選其一，應選用哪個？

答案：（1）求得[X]的分布列如表7所示.

（2）19.

（3）選[n=19].

2. 命題導向分析

通過對2024年高考概率與統(tǒng)計試題的分析可以發(fā)現，高考中強化的考教銜接做得很深入，6份全國卷中的概率與統(tǒng)計試題基本都源于教材中的例題和習題，真正體現了高考改革與課程改革同頻共振、同向同行. 例如，2024年新課標Ⅰ卷題第9題源于人教A版教材選擇性必修第三冊“7.5 正態(tài)分布”練習題的第2題，原題通過兩個服從正態(tài)分布的隨機變量考查不同事件的概率比較. 此題則增加了生活的應用背景，通過種植區(qū)以往的畝收入與推動出口后的畝收入兩個隨機變量服從的正態(tài)分布考查對應的概率. 解題方法完全一致，側重于對數形結合思想的運用. 情境真實，感受數學源于生活又應用于生活，體現提升素養(yǎng)的教育理念和“五育”并舉的教育要求. 2024年全國甲卷理科第13題源于人教A版教材選擇性必修第三冊復習參考題6第1題中的第（7）小題，兩題均考查二項式系數的性質，都是求系數的最大值. 但原題因展開式中各項系數即二項式系數，因而較為基礎，只需要掌握二項式系數的性質即可輕松求解，而此題在其基礎上提升了難度，因展開式中各項系數與二項式系數不同，可以用公式列出不等關系組，求解符合題意的參數取值范圍，也可以結合數據特點逐一計算展開式中第6項到第10項的系數并比較得出答案，對學生的思維能力和計算能力都有較高要求. 體現了高考試題源于教材、高于教材的立意，著重考查學生的邏輯推理和數學運算素養(yǎng). 此外，2024年天津卷第3題源于人教A版教材選擇性必修第三冊習題8.1第1題，原題需要依據四幅散點圖判斷[y]與[x]之間的相關關系，此題則需比較相關系數的大小，本質一致. 此題屬于基礎題，學生要認識到正負相關的意義，以及數據線性相關的密切程度和相關系數的值之間的關系，考查學生對相關系數的理解與應用. 2024年北京卷第18題源于人教A版教材選擇性必修第三冊“7.3 離散型隨機變量的數字特征”的例4，原題的背景是工地的大型設備不同狀態(tài)下的方案損失費用計算問題，難點在于需要分析不同天氣狀態(tài)下不同方案的總損失. 而此題的背景是保險的保費與出險賠付，需要分析出險次數對賠償金額的影響. 兩題均能充分體現數學的應用價值. 此題需要學生認真分析并建立賠償次數和賠付金額、毛利潤之間的聯(lián)系，對學生數據分析、邏輯推理和數學運算等素養(yǎng)提出了明確要求. 2024年上海卷第8題源于人教A版教材選擇性必修第三冊“7.1.2 全概率公式”例5的第（1）小題，背景是車床加工零件次品率問題，此題則是類似的答題正確率問題. 考查方式一致，主要考查對全概率公式的理解與直接運用.

當然，高考概率與統(tǒng)計命題除了體現教考銜接一體化以外，還應該注意到概率與統(tǒng)計命題更加重視概念的理解、復雜事件關系的分析及與現實生活廣泛的聯(lián)系. 其中，復雜事件關系的分析及其符號化表達將會導致試題對邏輯推理和數學運算能力要求的提高，從而導致試題難度的增加. 相應地，與社會生活聯(lián)系的廣泛性也會導致情境的豐富和對閱讀理解能力、信息整理能力的要求的提高，這些都是值得關注的命題導向.

三、復習教學建議

2018年以來高考對概率與統(tǒng)計內容的考查表明，高考試題的情境設置除了關注學生身邊的校園現實生活實際情境（如各種校園體育運動、球類比賽等），也希望學生更多關注與生產勞動相關的情境（如先進制造與數字賦能、經濟生活、環(huán)境保護等），感受概率與統(tǒng)計在生產生活實際中的廣泛應用. 當然，為了體現新時代特點，激發(fā)學生投身科技自立自強，熱愛科學、崇尚科學，也設計了大量科學研究情境（如生物制藥中的藥品試驗、芯片制造中的刻蝕技術、各種創(chuàng)新工藝改造等）. 三種情境的設計極大拓展了概率與統(tǒng)計知識的應用空間，也突出考查了學生的實踐應用能力，以及數據分析和數學建模等素養(yǎng).

當然，2024年高考試卷結構改革帶來了許多新的挑戰(zhàn). 面對這些挑戰(zhàn)，對于概率與統(tǒng)計內容的復習教學，我們有以下建議.

1. 重視概念和公式教學，切實把握概念的內涵和外延

新高考特別重視考查對概念的理解和運用，人教A版教材對概率與統(tǒng)計內容處理的最大特色就是重視概率與統(tǒng)計中相關概念的形成和講解. 事實上，正是由于很多教師在講解概念時不夠深入，甚至直接跳過概念而把重心放在習題講解上，才導致學生無法真正把握概念，使得概率與統(tǒng)計成為難點. 例如，2024年新課標Ⅰ卷第9題是一道考查正態(tài)分布概念的好題，只要熟知正態(tài)分布的概念和[Nμ，σ2]中[μ，σ]的含義，很容易求出相關的概率范圍. 再如，關于獨立性的概念，如果對獨立性概念的內涵和外延把握不好，很容易產生錯誤認識. 事實上，“相互獨立”的含義不是“事件[A]（或事件[B]）對事件[B]（或事件[A]）的發(fā)生沒有影響”，而是“事件[A]（或事件[B]）對事件[B]（或事件[A]）發(fā)生的概率沒有影響”，也許很多學生對“概率”一詞沒有注意，即可能會把事件[A]和事件[B]相互獨立簡單理解為事件[A]與事件[B]相互不影響或相互沒有關系，2021年全國Ⅰ卷理科第8題就是專門考查獨立性概念的試題. 類似地，還有對條件概率的概念理解等，都需要學生深入把握概念的本質. 因此，在教學中一定要強化概念學習，切實把握好概念的內涵和外延.

2. 重視事件關系分析，強化事件的符號化表達

概率學習中的兩大難點：一是對復雜關系的分析和分解；二是對隨機事件的恰當符號化表達. 只有把以上兩件事情做到位，才能更好地運用概率公式對隨機事件的概率進行數學運算. 上述例5就需要分析甲、乙兩隊投籃的情況及相應成績的構成及其符號表達才能順利求解. 但實際上，很多學生沒有養(yǎng)成上述習慣，直接運用概率[p，q]計算，不能很好地把握事件關系，也無法看透問題的本質. 例如，對于2024年新課標Ⅰ卷第14題，如果能夠從事件關系的角度進行分析，即設四輪比賽后，甲的總得分為[X]，乙的總得分為[Y]，則[Y=4-X]. 由此，很容易看透問題本質，得到非常簡潔的解答，而非逐一列舉. 對于復雜的概率問題，可以采取如下研究路徑：認識隨機現象—用恰當的符號表達事件—明確隨機事件間的關系—運用概率公式進行數學運算.

3. 重視積累經典模型，切實把握模型的本質特征

概率與統(tǒng)計內容與現實聯(lián)系緊密，概率論源于生活，因而有著大量的經典模型問題，如賭徒問題，以及概率中的優(yōu)化問題、小概率決策及相關分析、回歸分析、獨立性檢驗、t—檢驗等. 對于上述經典問題，要切實弄懂其本質特征，如賭資分配是近三年高考考查的熱點問題，主要原因是其能夠與全概率公式進行充分融合. 事實上，賭資分配問題有幾個很明顯的特征：① 問題研究可以簡化為點在數軸上移動；② 每次移動都有一定概率；③ 當前時刻與下一時刻的運動有聯(lián)系，可以寫出概率遞推公式；④ 最后一定會停下來，達到一個給定的最終狀態(tài). 其實，賭資分配問題的本質模型是一維隨機游走，而且有兩側吸收壁. 一維隨機游走，指在一維空間中，即一條直線數軸上，有一個可以任意移動的質點位于某處[x=i，i∈Z]，它能夠以一定的概率向左或向右移動一個單位長度，每個單位時間移動一次.

4. 認真研究教材，做好教考銜接

通過對2024年高考試題的特點分析，發(fā)現試題引導教學立足課程標準，要求以課程目標和核心素養(yǎng)為指引，以數學的基礎知識、基本技能為載體，在學生領悟數學思想、積累數學活動經驗的過程中引導學生學會學習、學會研究、學會解決問題，進而培養(yǎng)學生的數學核心素養(yǎng). 在教學中，要重視對教材的學習，要強化教材研究，要重視對教材中一些基本概念、核心原理來龍去脈的講解和深刻理解；立足教材中的概念、公式、定理等重要知識，構建知識的邏輯框架，使內容結構化，提升學生理解的深刻性和思維的靈活性；強化通性通法，淡化特殊技巧，引導學生善于從繁雜的問題呈現形式中洞悉本質，把握一般規(guī)律與方法，注重滲透數學思想，積累數學活動經驗；圍繞教材中的典型例題和習題，深入挖掘其內涵和價值，重視一題多解、一題多變、多題一解，開闊學生發(fā)現問題、提出問題的視野，以及分析問題、解決問題的能力，培養(yǎng)學生優(yōu)良的思維品質，為培育學生的數學關鍵能力和發(fā)展學生的數學核心素養(yǎng)奠定堅實基礎.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］教育部考試中心. 中國高考評價體系［M］." 北京：人民教育出版社，2019.

［3］教育部考試中心. 中國高考評價體系說明［M］. 北京：人民教育出版社，2019.

［4］任子朝，趙軒. 基于高考評價體系的數學科考試內容改革實施路徑［J］. 中國考試，2019（12）：27-32.

［5］陳昂，任子朝. 數學高考中實踐應用能力考查研究［J］. 數學教育學報，2017，26（3）：15-18.

［6］彭海燕. 數學建模視角下概率與統(tǒng)計命題探析［J］. 中學數學教學參考（上旬），2022（9）：73-76.

［7］彭海燕，李維. 高考數學全國卷解讀［M］. 杭州：浙江大學出版社，2023.

［8］彭海燕，張珅瑞. 概率與統(tǒng)計的秘密［M］. 杭州：浙江大學出版社，2023.

作者簡介：彭海燕（1977— ），男，正高級教師，廣東省特級教師，主要從事中學數學教育教學研究；

張珅瑞（1984— ），男，高級教師，主要從事高中數學教育教學研究．