◎周海林

(江蘇省泰州市南京理工大學(xué)泰州科技學(xué)院，江蘇 泰州 225300)

一、引 言

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是一門(mén)研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的科學(xué)樣本空間是概率中的一個(gè)基本概念，但是在概率學(xué)習(xí)中卻往往被忽視這導(dǎo)致在概率統(tǒng)計(jì)的教學(xué)過(guò)程中，不少學(xué)生反映學(xué)習(xí)難度大，特別是在古典概型的計(jì)算上除了思維方式與高等數(shù)學(xué)和線性代數(shù)不同外，樣本空間的選取在這些問(wèn)題的解決中往往起著非常重要的作用本文對(duì)樣本空間概念及其選取進(jìn)行了一些思考與總結(jié)

二、樣本空間概述

樣本空間的概念來(lái)源于統(tǒng)計(jì)學(xué)，它由統(tǒng)計(jì)學(xué)家馮·米澤斯(Von Mises，1883—1953)于二十世紀(jì)三十年代在采用集合論的觀點(diǎn)研究事件時(shí)引入

我們將隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果組成的集合稱為樣本空間，記為樣本空間的元素，即的每個(gè)可能結(jié)果，稱為樣本點(diǎn)一般來(lái)講，討論的問(wèn)題不同，樣本空間可以很簡(jiǎn)單，也可以十分復(fù)雜在具體問(wèn)題中，給定樣本空間是描述隨機(jī)現(xiàn)象的第一步不過(guò)我們常常認(rèn)為樣本空間是預(yù)先給定的這是一種必要的抽象，這種抽象不僅能讓我們更好地把握隨機(jī)現(xiàn)象的本質(zhì)，而且得到的結(jié)果能更廣泛地得到應(yīng)用事實(shí)上，一個(gè)樣本空間可以概括各種實(shí)際內(nèi)容不同的問(wèn)題例如，只包含兩個(gè)樣本點(diǎn)的樣本空間，既可以作為拋擲硬幣出現(xiàn)正面、反面的模型，也能用于產(chǎn)品檢驗(yàn)中出現(xiàn)“正品”及“次品”，還能用于射擊中描述“中”與“不中”等盡管問(wèn)題的實(shí)際內(nèi)容如此不同，有時(shí)卻能歸結(jié)為相同的概率模型

有了樣本空間，就可以定義隨機(jī)事件隨機(jī)事件可定義為樣本點(diǎn)的集合，這樣，事件間的關(guān)系及運(yùn)算就與集合論中集合的關(guān)系及運(yùn)算完全類似概率論的重要研究課題就是計(jì)算概率，這最終都?xì)w結(jié)為事件的概率計(jì)算

現(xiàn)代概率論建立在集合論的基礎(chǔ)上概率問(wèn)題的復(fù)雜程度和所使用的數(shù)學(xué)工具的高低都主要取決于樣本空間的大小因此，樣本空間實(shí)際上是按集合的大小歸類的，它可分為有限集、可列集等在有限樣本空間中，概率論使用的數(shù)學(xué)工具主要是初等數(shù)學(xué)；在可列樣本空間中，要用到級(jí)數(shù)；在歐幾里得空間中，則廣泛使用微積分

作為有限樣本空間的一種特例，古典概型由法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯在1812年提出，并把下式作為古典概率的一般定義：

上式中，事件的概率是一個(gè)分?jǐn)?shù)，其分母是樣本空間樣本點(diǎn)的總數(shù)，而分子是事件所包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)，也稱有利場(chǎng)合數(shù)

三、應(yīng)用樣本空間計(jì)算古典概率

要成功解決古典概率計(jì)算問(wèn)題，必須用合適的樣本空間來(lái)描述隨機(jī)試驗(yàn)，而明確在怎樣的樣本空間下解題是第一步，也是最基本的一步因此，我們首先要把問(wèn)題歸結(jié)為一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，明確該試驗(yàn)的所有可能結(jié)果，即樣本點(diǎn)，然后在此基礎(chǔ)上給出相應(yīng)的樣本空間

(一)正確寫(xiě)出描述隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間

1將一枚硬幣拋擲三次，考察出現(xiàn)正面、反面的情況

(1)設(shè)事件為“恰好出現(xiàn)一次正面”，求()；

(2)設(shè)事件為“至少出現(xiàn)一次正面”，求()

(1) 由題意知樣本空間為

={,,,,,,,}，

而={,,}

2拋擲兩枚硬幣，求出現(xiàn)正面和反面各一次的概率

注：當(dāng)樣本空間的元素較多時(shí)，一般不再將樣本空間中的元素一一列出，而只需分別求出樣本空間與事件中包含的元素的個(gè)數(shù)(即樣本點(diǎn)個(gè)數(shù))，再利用公式求出事件發(fā)生的概率

因此，在構(gòu)造樣本空間計(jì)算古典概型中事件發(fā)生的概率時(shí)，需要注意每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性必須是相等的這個(gè)要點(diǎn)稱為等可能性

(二)選擇合適樣本空間，優(yōu)化概率計(jì)算

對(duì)于同一隨機(jī)試驗(yàn)，樣本點(diǎn)和樣本空間的選取并不唯一我們可以用不同的樣本點(diǎn)和樣本空間來(lái)描述隨機(jī)試驗(yàn)，這取決于如何看待實(shí)驗(yàn)的結(jié)果但不管用什么樣的樣本空間來(lái)描述，所關(guān)心的某一事件發(fā)生的概率應(yīng)該是一樣的

3袋中有只黑球和只白球，把球隨機(jī)地一只只摸出來(lái)，求第次摸出黑球的概率(1≤≤+)

通過(guò)比較三種不同的解法，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)區(qū)別主要在于選取的樣本空間不同在第一種解法中，球被看成是有“個(gè)性”、有區(qū)別的，且按次序排列；在第二種解法中，則對(duì)同色球不加區(qū)別因此，第一種解法要考慮各黑球間及各白球間的順序而用排列，第二種解法不注意順序而用組合，解法三則僅僅關(guān)注第次摸球的結(jié)果，但最后都得出了相同的答案顯然，解法三中構(gòu)造的樣本空間是最簡(jiǎn)潔的，解法也是最簡(jiǎn)單的

此外,從這個(gè)例子還可以看出，第二種解法中的每一個(gè)樣本點(diǎn)是由第一種解法中的!·!個(gè)樣本點(diǎn)合并而成的因此，樣本點(diǎn)的不可分性是相對(duì)的

最后，在計(jì)算樣本點(diǎn)總數(shù)及有利場(chǎng)合數(shù)時(shí)，必須在同一個(gè)樣本空間中考慮，否則會(huì)引起混淆而導(dǎo)致謬誤

顯然，構(gòu)造不同的樣本空間，計(jì)算概率的難易程度有差別，下面再舉幾例

4袋中有只黑球和只白球，從袋中每次摸出一只球，直到袋中剩下的球全是同色為止，求袋中剩下的球全是黑球的概率

顯然，這樣可以做出來(lái)，但比較麻煩

5投擲一枚均勻的硬幣(2+1)次，求擲出的正面數(shù)比擲出的反面數(shù)多的概率

由于每次擲出正面和反面的可能性是一樣的，由乘法原理知樣本空間有22+1個(gè)樣本點(diǎn)本題應(yīng)用組合系數(shù)雖然可以做出來(lái)，但比較麻煩

事實(shí)上，可以這樣考慮：記={擲出的正面數(shù)>擲出的反面數(shù)}，={擲出的反面數(shù)>擲出的正面數(shù)}，顯然，事件與事件處于對(duì)稱平等的位置，發(fā)生的可能性應(yīng)該相等，即()=()

6袋中裝有(2-1)只白球和2只黑球，一次取出只球，發(fā)現(xiàn)都是同一種顏色，求這種顏色是黑色的概率

注：盡管對(duì)事件發(fā)生有利的樣本點(diǎn)與在事件發(fā)生的條件下對(duì)事件發(fā)生有利的樣本點(diǎn)是一樣的，但是概率的計(jì)算是在不同的樣本空間中進(jìn)行的顯然，條件概率是在一個(gè)縮小的樣本空間中進(jìn)行計(jì)算的

7任取一個(gè)正整數(shù)，求該正整數(shù)的平方能被5整除的概率

本題按常規(guī)思路是研究所有正整數(shù)，也就是將正整數(shù)的全體作為樣本空間，顯然，這樣的樣本空間是無(wú)限空間，也談不上等可能性這樣，它就不是一個(gè)古典概型了那么，要將它化為一個(gè)古典概型，關(guān)鍵在于如何將無(wú)限樣本空間縮減為有限樣本空間，同時(shí)滿足等可能性要求

四、應(yīng)用樣本空間計(jì)算幾何概率

在前面古典概型的討論中，我們利用等可能性的概念，成功計(jì)算了這類問(wèn)題的概率不過(guò)，古典概型要求樣本空間中的樣本點(diǎn)總數(shù)必須有限下面我們討論有無(wú)限多結(jié)果而又有某種等可能性的場(chǎng)合，這類問(wèn)題一般可以通過(guò)幾何方法來(lái)求解不過(guò)，這種等可能性是通過(guò)下列方式來(lái)賦予意義的：落在某區(qū)域的概率與區(qū)域的測(cè)度(長(zhǎng)度、面積、體積等)成正比，并且與其位置及形狀無(wú)關(guān)

因此，若以記“在區(qū)域中隨機(jī)地取一點(diǎn)，而該點(diǎn)落在區(qū)域中”這一事件，則其概率定義為：

在幾何概型中，若所考慮的問(wèn)題只有一個(gè)因素在變，則取長(zhǎng)度作為幾何度量；若所考慮的問(wèn)題有兩個(gè)因素在變，則取面積作為幾何度量；若所考慮的問(wèn)題有三個(gè)因素在變，則取體積作為幾何度量

我們不難發(fā)現(xiàn)：在幾何概型中，結(jié)果為無(wú)限不可數(shù)個(gè)，且樣本空間中的事件的概率與該事件的幾何度量成正比，而與它的位置無(wú)關(guān)這是隨機(jī)變量服從均勻分布的實(shí)際背景

8在[0,1]中任取兩個(gè)數(shù)，求下列事件的概率：

(1)兩數(shù)的和不超過(guò)15；(2)兩數(shù)的積不超過(guò)025

設(shè)兩數(shù)分別為，，則0≤≤1，0≤≤1

對(duì)于幾何概率問(wèn)題，貝特朗于1899年在《概率論》一書(shū)中介紹了一個(gè)實(shí)例——貝特朗奇論，引起了大家的注意，推動(dòng)了概率論的發(fā)展

(1)如果認(rèn)為弦的端點(diǎn)等可能地落在圓周上，則一點(diǎn)確定后，另一點(diǎn)也等可能地落在圓周上以此點(diǎn)為頂點(diǎn)作一等邊三角形，顯然，只有落入此三角形內(nèi)的弦才滿足要求，這種弦的另一端跑過(guò)的弧長(zhǎng)記為，則

注意：同一問(wèn)題有三種不同的答案，細(xì)究原因，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)在取弦時(shí)采用的等可能性假定不同三種答案針對(duì)的是三種不同的隨機(jī)試驗(yàn)，對(duì)應(yīng)三種不同的樣本空間，才導(dǎo)致有不同的計(jì)算結(jié)果但對(duì)于各自的隨機(jī)試驗(yàn)而言，它們都是正確的

五、結(jié)束語(yǔ)

樣本空間是一個(gè)重要的基本概念，教師在教學(xué)中需要循序漸進(jìn)地增強(qiáng)學(xué)生對(duì)它的理解和應(yīng)用特別是在古典概型的計(jì)算上，盡管對(duì)同一問(wèn)題可以用不同的樣本點(diǎn)和樣本空間來(lái)描述，但是對(duì)同一事件的概率計(jì)算難易程度在不同的樣本空間中會(huì)有比較大的差別其實(shí)，概率問(wèn)題的復(fù)雜程度與所需要使用的數(shù)學(xué)工具主要取決于所選取樣本空間的大小顯然，上面幾個(gè)例題中最簡(jiǎn)單的解法中所選取的樣本空間都是最小的了如果還要小的話，所求概率的事件就“裝”不進(jìn)樣本空間，即所求事件不是樣本空間的子集，或者無(wú)法保證等可能性因此，抓住刻畫(huà)所求概率事件的本質(zhì)特點(diǎn)，對(duì)與其關(guān)系不大的因素不予考慮，恰當(dāng)?shù)剡x取樣本點(diǎn)和樣本空間，將有助于更快更容易地正確解決問(wèn)題