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        全概率公式的推廣與應(yīng)用

        2019-07-10 04:15:51李城雄
        科學(xué)與財富 2019年18期

        李城雄

        摘 要:全概率公式作為概率論里面最重要的公式之一,也是概率論里面的一個重難點(diǎn),是條件概率公式、概率的加法公式以及乘法公式的集合運(yùn)用體現(xiàn),主要通過已知的簡單事件概率去推算未知的復(fù)雜事件概率,將復(fù)雜的概率問題進(jìn)行簡單化處理,減少了計算的難度,加快了信息處理速度,符合現(xiàn)代社會的需求,具有很強(qiáng)的適用性,運(yùn)用廣泛。本文將全概率公式分為了離散型全概率公式與連續(xù)型全概率公式,列舉了三種解全概率公式的方法和三種全概率公式推廣形式,通過大量的例題,生動形象的演示了如何利用全概率公式去解決實際生產(chǎn)生活中遇到的復(fù)雜概率問題。

        關(guān)鍵詞:全概率公式;完備事件組;樣本空間;

        但是在實際生活中,許多需要運(yùn)用全概率公式計算的問題并不完全具備這三個條件,針對這種情況就需要我們活學(xué)活用,因此也誕生了一些全概率公式的推廣形式,這些全概率公式推廣形式的出現(xiàn)使得全概率公式的使用范圍進(jìn)一步擴(kuò)大,增強(qiáng)了全概率公式的適用性。

        全概率公式推廣形式一

        已知樣本空間Ω中有一個事件組A1,A2,…,An,它具備以下三個條件:

        (1)將樣本空間Ω劃分為n個部分,即A1 ∪A2 ∪…∪An =Ω;

        (2)A1,A2,…,An并不是互不相容,但是滿足條件:

        P(Ai Aj )=0,i≠j;

        (3)P(Ai )>0,i=1,2,…,n;

        則對于任意一個事件B來說,有

        證明:由條件(1)知道 A1∪A2∪…∪An =Ω,即

        所以

        由條件(2)知道A1 ,A2,…,An 并不是互不相容,但是

        P(Ai Aj )=0,i≠j;

        所以

        P(BAi Aj )=0,…,P(BA1 A2…An )=0;

        所以根據(jù)概率的加法公式可以得到

        所以

        根據(jù)上面的證明可以知道,在生活中遇到的求全概率問題,如果問題中一系列事件A1,A2,…,An并不是互不相容,但是P(Ai Aj )=0,則還是可以用全概率公式進(jìn)行計算的。

        全概率公式推廣形式二

        已知樣本空間Ω中有一個事件組A1,A2,…,An,它具備以下三個條件:

        (1)A1,A2,…,An互不相容;

        (2) A1 ∪A2 ∪…∪An =α,α∈Ω且α≠Ω,即事件組A1,A2,…,An只占了樣本空間Ω的一部分,現(xiàn)在添加另一個事件組C1,C2,…,Cn,則剛好與A1,A2,…,An構(gòu)成了樣本空間Ω;

        (3)P(Ai )>0,i=1,2,…,n ;

        如果P(B│Cj )=0,j=1,2,…,n,則對于任意一個事件B有:

        證明:由上面的條件(2)可知

        所以

        [10]

        而上面題目中給出了P(B│Cj )=0,j=1,2,…,n,

        所以

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