李城雄

摘 要：全概率公式作為概率論里面最重要的公式之一，也是概率論里面的一個重難點(diǎn)，是條件概率公式、概率的加法公式以及乘法公式的集合運(yùn)用體現(xiàn)，主要通過已知的簡單事件概率去推算未知的復(fù)雜事件概率，將復(fù)雜的概率問題進(jìn)行簡單化處理，減少了計算的難度，加快了信息處理速度，符合現(xiàn)代社會的需求，具有很強(qiáng)的適用性，運(yùn)用廣泛。本文將全概率公式分為了離散型全概率公式與連續(xù)型全概率公式，列舉了三種解全概率公式的方法和三種全概率公式推廣形式，通過大量的例題，生動形象的演示了如何利用全概率公式去解決實際生產(chǎn)生活中遇到的復(fù)雜概率問題。

關(guān)鍵詞：全概率公式；完備事件組；樣本空間；

但是在實際生活中，許多需要運(yùn)用全概率公式計算的問題并不完全具備這三個條件，針對這種情況就需要我們活學(xué)活用，因此也誕生了一些全概率公式的推廣形式，這些全概率公式推廣形式的出現(xiàn)使得全概率公式的使用范圍進(jìn)一步擴(kuò)大，增強(qiáng)了全概率公式的適用性。

全概率公式推廣形式一

已知樣本空間Ω中有一個事件組A1，A2，…，An，它具備以下三個條件：

（1）將樣本空間Ω劃分為n個部分，即A1 ∪A2 ∪…∪An =Ω；

（2）A1，A2，…，An并不是互不相容，但是滿足條件：

P（Ai Aj ）=0，i≠j；

（3）P（Ai ）>0，i=1，2，…，n；

則對于任意一個事件B來說，有

證明：由條件（1）知道 A1∪A2∪…∪An =Ω，即

所以

由條件（2）知道A1 ，A2，…，An 并不是互不相容，但是

P（Ai Aj ）=0，i≠j；

所以

P（BAi Aj ）=0，…，P（BA1 A2…An ）=0；

所以根據(jù)概率的加法公式可以得到

所以

根據(jù)上面的證明可以知道，在生活中遇到的求全概率問題，如果問題中一系列事件A1，A2，…，An并不是互不相容，但是P（Ai Aj ）=0，則還是可以用全概率公式進(jìn)行計算的。

全概率公式推廣形式二

已知樣本空間Ω中有一個事件組A1，A2，…，An，它具備以下三個條件：

（1）A1，A2，…，An互不相容；

（2） A1 ∪A2 ∪…∪An =α，α∈Ω且α≠Ω，即事件組A1，A2，…，An只占了樣本空間Ω的一部分，現(xiàn)在添加另一個事件組C1，C2，…，Cn，則剛好與A1，A2，…，An構(gòu)成了樣本空間Ω；

（3）P（Ai ）>0，i=1，2，…，n ；

如果P（B│Cj ）=0，j=1，2，…，n，則對于任意一個事件B有：

證明：由上面的條件（2）可知

所以

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而上面題目中給出了P（B│Cj ）=0，j=1，2，…，n，

所以