盧偉坤

【摘 要】本文分析高考試題中有關(guān)導(dǎo)數(shù)的命題問題，提出突出基礎(chǔ)知識點復(fù)習(xí)，注重學(xué)好綜合知識應(yīng)用等復(fù)習(xí)策略，為高考復(fù)習(xí)提供參考。

【關(guān)鍵詞】導(dǎo)數(shù) 試題分析 高考復(fù)習(xí)

【中圖分類號】G 【文獻標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2017）05B-0147-04

導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，從 2006 年到 2016 年大部分省、區(qū)、市的高考試題中可以看出，導(dǎo)數(shù)成為每年高考的必考內(nèi)容之一。導(dǎo)數(shù)已經(jīng)由原來的基礎(chǔ)知識點簡單層面上的考查上升為知識網(wǎng)絡(luò)交匯處的深層次考查。導(dǎo)數(shù)知識點在每年高考中占有較大的分值比重。由于導(dǎo)數(shù)本身具有強大的工具作用，以導(dǎo)數(shù)為載體的綜合題已經(jīng)成為高考命題的風(fēng)向標(biāo)。運用導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識，研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值是高考的熱點問題。導(dǎo)數(shù)在高考中考查形式多樣，以選擇題、填空題等主觀題目的形式考查導(dǎo)數(shù)的基本概念、運算及應(yīng)用，也經(jīng)常以解答題形式與其他數(shù)學(xué)知識交匯起來，綜合命題。本文主要綜合分析研究導(dǎo)數(shù)在近幾年高考題知識點的情況變化，為今后備戰(zhàn)高考把握方向。

一、導(dǎo)數(shù)的重要基礎(chǔ)知識點的介紹

（一）導(dǎo)數(shù)的概念

如果函數(shù) y=f（x）在 x0 處的增量 ?y 與自變量的增量 ?x 的比值，當(dāng) ?x→0時極限 存在，則稱 f（x）在 x0 處可導(dǎo)，并稱此極限值為函數(shù) y=f（x）在點 x0 處的導(dǎo)數(shù)，記為 或 。

（二）導(dǎo)函數(shù)

函數(shù) y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)每一點的導(dǎo)數(shù)都存在，就說 f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)也是（a，b）內(nèi)的函數(shù)，又叫做 f（x）的導(dǎo)函數(shù)，記作 或 ，函數(shù) f（x）的導(dǎo)函數(shù)在 x=x0 時的函數(shù)值 就是在 x0 處的導(dǎo)數(shù)。

（三）導(dǎo)數(shù)的幾何意義

1.設(shè)函數(shù) y=f（x）在點 x0 處可導(dǎo)，那么它在該點的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)所表示曲線在相應(yīng)點 M（x0，y0）處的切線斜率。

2.設(shè) s=s（t）是位移函數(shù)，則 表示物體在 t=t0 時刻的瞬時速度。

3.設(shè) v=v（t）是速度函數(shù)，則 表示物體在 t 時刻的加速度。

（四）函數(shù)的單調(diào)性

一般地，函數(shù) y=f（x）在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果，則 f（x）為增函數(shù)；如果，則 f（x）為減函數(shù)。

如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有，則 f（x）為常函數(shù)。

（五）可導(dǎo)函數(shù)的極值

設(shè)函數(shù) f（x）在點 x0 附近有定義，如果對附近所有的點都有 f（x） f（x0）），我們就說 f（x0）是函數(shù) f（x）的一個極大值（或極小值）。

（六）函數(shù)的最大值最小值

最值是一個整體性概念，是指函數(shù)在給定區(qū)間（或定義域）內(nèi)所有函數(shù)值中最大值與最小值。

二、題型結(jié)構(gòu)層次舉例分析

（一）導(dǎo)數(shù)的運算、導(dǎo)數(shù)的幾何意義

這類題目體現(xiàn)的主要知識點是導(dǎo)數(shù)幾何意義，次要的知識點是導(dǎo)數(shù)的運算，但是主次知識點同等重要。主次知識點結(jié)合在一起考體現(xiàn)在題型的結(jié)構(gòu)上。

例 1（2008 年江蘇卷文，8）設(shè)直線 是曲線 的一條切線，則實數(shù) b 的值為

【命題的動向】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線的求法來求解。

例 2（2010年遼寧卷文，12）已知點 P 在曲線 上， 為曲線在點 P 處的傾斜角，則 的取值范圍是（選項略）

【命題的動向】本題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、基本不等式、直線傾斜角與斜率的關(guān)系以及三角函數(shù)值等問題。

（二）函數(shù)的單調(diào)性

例 1（2010 年北京卷理，18）已知函數(shù)。

（I）當(dāng) k=2 時，求曲線 y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；

（II）求 f（x）的單調(diào)區(qū)間。

例 2（2010 年卷天津文，20 ）已知函數(shù)，其中 a>0。

（I）若 a=1，求曲線 y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；

（II）若在區(qū)間上，f（x）>0 恒成立，求 a 的取值范圍。

【命題的動向】本題考查曲線的切線方程、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值、解不等式等，考查運算能力及分類的思想方法。

例 3（2010 年山東卷文，21）已知函數(shù)。

（I）當(dāng) a=-1，求曲線 y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；

（II）當(dāng)時，討論 f（x）的單調(diào)性。

【命題的動向】本題考查了導(dǎo)數(shù)的運算、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、直線方程的求解以及利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，考查了學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)知識解決函數(shù)問題的能力以及分類討論能力。

（三）極值問題

例 1（2007 年山東卷文，21）設(shè)函數(shù)，其中 。

證明：當(dāng) ab>0 時，函數(shù) f（x）沒有極值點；當(dāng) ab<0時，函數(shù) f（x）有且只有一個極限點，并求出極值。

例 2（2010 年重慶卷理，18）已知函數(shù)，其中實數(shù) 。

（I）若 a=2 ，求曲線 y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；

（II）若 f（x）在 x=1 處取得極值，試討論 f（x）的單調(diào)性。

【命題的動向】本題考查了單調(diào)區(qū)間性質(zhì)和求解切線方程的方法。

（四）最大值與最小值問題

例 1（2010 年江蘇卷文，14）將邊長為 1 的正三角形薄鐵皮，沿一條平行于某邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記，則 S 的最小值是

【命題的動向】本題考查了用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值問題，函數(shù)的實際應(yīng)用能力。

例 2（2010 年陜西卷文，21）已知函數(shù)

（I）若曲線 y=f（x）與曲線 y=g（x）相交，且在交點處有相同的切線，求 a 的取值及切線的方程；

（II）設(shè)函數(shù) h（x）=f（x）-g（x），當(dāng) h（x）存在最小值時，求其最小值 的解析式。

（III）對（II）中的，證明：當(dāng)時，。

【命題的動向】本題考查了切線的求法、單調(diào)區(qū)間的判斷及最值等求解，考查考生綜合運用所學(xué)知識解決問題的能力。

例 3（2010 年江西卷理，19）設(shè)函數(shù) 。

（I）當(dāng) a=1 時，求 f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（II）若 f（x）在（0，1]上的最大值為，求 a 的值。

（五）函數(shù)的單調(diào)性與不等式問題

1.直接證明不等式

例 1（2010 年遼寧卷文，21）已知函數(shù)。

（I）討論函數(shù) f（x）的單調(diào)性；

（II）設(shè)函數(shù) ，證明：對于任意。

【命題的動向】本題考查了導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，判斷函數(shù)的單調(diào)性以及利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)性質(zhì)證明相應(yīng)的不等式等。

例 2（2010 年全國卷文，21）設(shè)函數(shù)。

（I）若求 f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（II）若當(dāng) 時，求 a 的取值范圍。

【命題的動向】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性、不等式等。

2.求參數(shù)的取值范圍

例 1（2011 年北京卷文，18）設(shè)函數(shù)，且方程的兩個根分別為 1，4。

（I）當(dāng) a=3 且曲線 y=f（x）過原點時，求 f（x）的解析式；

（II）若 f（x）在內(nèi)無極點值，求 a 的取值范圍。

【命題的動向】本題考查了導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的圖象、函數(shù)的極值等相關(guān)問題，考查邏輯推理能力、運算能力等。

（六）利用導(dǎo)數(shù)解應(yīng)用題

例 1（2013 年江蘇卷文，17）如圖，某地有三家工廠，分別位于矩形 ABCD 的兩個頂點 A、B 及 CD 的中點 P 處，已知AB=20 km，CB=10 km，為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在該矩形ABCD 的區(qū)域上（含邊界），且與 A、B 等距離的一點 O 處建造一個污水處理廠，并鋪設(shè)三條排污管道 AO、BO、OP，設(shè)排污管道的總長為 y km。

（1）按下列要求寫出函數(shù)關(guān)系式：

設(shè) ∠BAO=θ（rad），將 y 表示成 θ 的函數(shù)關(guān)系式；

設(shè) OP=x（km），將 y 表示成 x 的函數(shù)關(guān)系式。

（2）請你選用（1）中的一個函數(shù)關(guān)系，確定污水處理廠的位置，使三條排污管道總長度最短。

【命題的動向】本題考查了函數(shù)最值求法及導(dǎo)數(shù)在函數(shù)求解中的應(yīng)用以及運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力。解題關(guān)鍵是建立好目標(biāo)函數(shù)，并且要注意所得結(jié)果符合問題的實際意義。

例 2（2013 年山東卷文，21）兩縣城 A 和 B 相距 20 km，現(xiàn)計劃在兩縣城外以 AB 為直徑的半圓弧 AB 上選擇一點 C 建造垃圾處理廠，其對城市的影響度與所選地點到城市的距離有關(guān)，對城 A 和城 B 的總影響度為城 A 與城 B 的影響度之和，記 C 點到城 A 的距離為 x km，建在 C 處的垃圾處理廠對城 A 和城 B 的總影響度為 y，統(tǒng)計調(diào)查表明：垃圾處理廠對城 A 的影響度與所選地點到城 A 的距離的平方成反比，比例系數(shù)為 4；對城 B 的影響度與所選地點到城 B 的距離的平方成反比，比例系數(shù)為 k，當(dāng)垃圾處理廠建在弧 AB 的中點時，對城 A 和城 B 的總影響度為 0.065。

（1）將 y 表示成 x 的函數(shù)；

（11）討論（1）中函數(shù)的單調(diào)性，并判斷弧 AB 上是否存在一點，使建在此處的垃圾處理廠對城 A 和城 B 的總影響度最小？若存在，求出該點到城 A 的距離；若不存在，說明理由。

【命題的動向】本題主要考查了函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，運用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式的能力和運用換元法和基本不等式研究函數(shù)的單調(diào)性等問題。

（七）導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

例 1（2013年廣東卷文，21）已知曲線 Cn：y=nx2，Pn（xn，yn）（xn>0，yn>0）是曲線 Cn 上的點。

（1） 試寫出曲線 Cn 在 Pn 處的切線 ln 的方程并求出 ln 與 y 軸的交點 Qn 的坐標(biāo)；

（2）若原點 O（0，0）到 ln 的距離 PnQn 線段的長度之比取得最大值，試求點 Pn 的坐標(biāo)（xn，yn）。

【命題的動向】本題是在函數(shù)與不等式的交匯處命題，考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程、求點的坐標(biāo)等問題，考查了同學(xué)們利用所學(xué)知識綜合解決問題的能力。

例 2（2013 年浙江卷文，21）已知函數(shù) f（x）=（x-a）2（x-b）（a，b∈R，a

（I）當(dāng) a=1，b=2 時，求曲線 y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；

（II）設(shè) x1，x2 是 f（x）的兩個極值點，x3 是 f（x）的一個零點，且 x3≠x1，x3≠x2。證明：存在實數(shù) x4，使得 x1，x2，x3，x4 按某種順序排列后構(gòu)成等差數(shù)列，并求 x4。

【命題的動向】本題考查了函數(shù)的極值概念、導(dǎo)數(shù)的四則運算法則、切線方程的求解，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及等差數(shù)列等基礎(chǔ)知識，同時考查抽象概括、推理分析能力和創(chuàng)新能力。

三、考情深入分析與復(fù)習(xí)建議

（一）考情深入分析

結(jié)合近年各省市高考對導(dǎo)數(shù)知識點的考查及題型結(jié)構(gòu)，可以看出對導(dǎo)數(shù)基礎(chǔ)知識點的考查，一般是顯性出現(xiàn)在題目中的，而且這些提示的關(guān)鍵詞比較固定，讓我們一看就知道用導(dǎo)數(shù)的知識來解決，比如切線、單調(diào)區(qū)間、極值等。對于帶有以上關(guān)鍵詞的題目，一般都是對導(dǎo)數(shù)基礎(chǔ)知識的考查，這就要求我們對導(dǎo)數(shù)四則運算、函數(shù)的求導(dǎo)要熟練和對相關(guān)的概念要理解好，才能做好解題的第一步。而對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查題型也比較穩(wěn)定，一般命題的出發(fā)點是以函數(shù)為載體，用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的變化率。函數(shù)的變化率實際上體現(xiàn)的是函數(shù)的性質(zhì)，而函數(shù)的性質(zhì)必須通過導(dǎo)函數(shù)來探討。因此，熟練求出導(dǎo)函數(shù)是解決問題的前提。但是考查深度不止停留在函數(shù)性質(zhì)概念層面上，還會繼續(xù)對函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用的考查。函數(shù)性質(zhì)的運用又可以同其他知識點來考查。這就使不同知識點的聯(lián)系更緊密。比如，從題型來看，導(dǎo)數(shù)知識點的綜合題目主要是圍繞函數(shù)的單調(diào)性這一性質(zhì)來考查。通過函數(shù)的單調(diào)性可以探求極值點、最值、零點和解不等式等，而最值可以以實際問題優(yōu)化來命題，零點可以同方程的根來考查。這些都體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)知識點的交匯的隱性考查，從而使一些題型難度增大。從題型數(shù)量難度和分值比重來看，導(dǎo)數(shù)知識點的難度題一般是在解答題的第二小問，分值比重在 6 分左右；而對導(dǎo)數(shù)基礎(chǔ)知識的考查一般在選擇題、填空題和其所在解答題的第一小問出現(xiàn)現(xiàn)占的分值比重較大。

（二）復(fù)習(xí)建議

從以上的分析可以看出，萬變不離其宗，對導(dǎo)數(shù)基礎(chǔ)知識的考查始終是命題的重點，而對函數(shù)的性質(zhì)的掌握也十分重要。對此筆者提出以下兩方面的復(fù)習(xí)建議：

1.突出基礎(chǔ)知識點的復(fù)習(xí)。基于小題對導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線、單調(diào)區(qū)間等基礎(chǔ)知識點考查的頻率較高，復(fù)習(xí)一定要注重基礎(chǔ)知識的落實，如導(dǎo)函數(shù)的求法，導(dǎo)數(shù)的運算。

2.注重導(dǎo)數(shù)綜合知識的應(yīng)用。導(dǎo)數(shù)綜合知識的應(yīng)用主要是在解答題中出現(xiàn)。從考題知，考查的主干知識點集中于函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用。因此復(fù)習(xí)時注意基本題型的掌握，如運用函數(shù)單調(diào)性求單調(diào)區(qū)間、極值點、最值、證明不等式、求參數(shù)的取值范圍、判斷方程根的個數(shù)等。對此類題型的復(fù)習(xí)，要在基礎(chǔ)知識掌握上，增加聯(lián)系與綜合，特別是對知識點交匯處要重點把握，提高綜合運用知識解決問題的能力。同時，加強數(shù)學(xué)思想方法的提煉和運用，如函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論的思想、等價轉(zhuǎn)化的思想等。

本文主要從導(dǎo)數(shù)在高考題中的知識點視角出發(fā)，借助收集掌握的文獻資料，其中通過收集 2006 年至 2016 年全國部分省市的高考試題，歸類并綜合深入分析導(dǎo)數(shù)知識點的考點分布。結(jié)合具體例子來分析知識點結(jié)構(gòu)難度 ，最后對考情深入分析，即抓住了導(dǎo)數(shù)知識點考查的本質(zhì)，為高考復(fù)習(xí)化繁為簡，把握重點，指明方向。本文優(yōu)點在于論據(jù)充分，真實可靠，有一定說服力；確定的研究指標(biāo)合理正確，能服務(wù)總目標(biāo)；研究方法選擇恰當(dāng)。本文不足之處有：研究視角有待進一步增加；研究指標(biāo)分析上需進一步加深；研究手段有待進一步完善。擬采用增加的研究指標(biāo)：基于為教師提供更清晰的教學(xué)思路，增加導(dǎo)數(shù)在高考數(shù)學(xué)考綱這一論據(jù)。由于導(dǎo)數(shù)在不同省市高考考綱可能有所不同，因此擬采用的方法為統(tǒng)計方法。選擇這一方法的目的是為了找出導(dǎo)數(shù)在考綱的要求的相同點，明確（下轉(zhuǎn)第157頁）（上接第149頁）導(dǎo)數(shù)在考綱的重難點，為教師制訂更具有針對性的教學(xué)計劃提供依據(jù)。

【參考文獻】

[1]張圣官.導(dǎo)數(shù)——高中數(shù)學(xué)的一個交匯點[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2005（4）

[2]王寶祥.淺談導(dǎo)數(shù)與不等式證明的知識整合[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2005（4）

[3]劉 淼.新課程高考中函數(shù)題的幾個新趨勢[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2005（4）

[4]劉 艷.高考導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問題歸類解析[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2006（2）

[5]李昭平.高考導(dǎo)數(shù)問題透視[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2006（4）

[6]虞金龍.簡議導(dǎo)數(shù)在高考中的綜合應(yīng)用[J].中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2011（2）

[7]廖月友.高中數(shù)學(xué)課堂導(dǎo)學(xué)與針對訓(xùn)練（1版）[M].北京：中國言實出版社，2007

[8]高考命題研究組.最新5年高考真題匯編詳解（2版）[M].海南：南方出版社，2010

[9]蔡紫燕.高考中的導(dǎo)數(shù)考點解析[J].考試周刊，2009（48）

[10]滿秀懿.與導(dǎo)數(shù)交匯的知識點[J].高中數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)，2010（3）

（責(zé)編 盧建龍）