莫京宇

摘要：數(shù)學(xué)對(duì)于高中課程當(dāng)中尤為重要，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的關(guān)鍵在于對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握和擁有良好且正確的解題思想。在數(shù)學(xué)解題應(yīng)用中，如等價(jià)交換思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)思想等這些良好的解題思想我們都可以稱之為化歸思想。本文就化歸思想在高中數(shù)學(xué)解題中的實(shí)際應(yīng)用作出簡(jiǎn)要分析。

關(guān)鍵詞：化歸思想；高中數(shù)學(xué)；應(yīng)用

前言：化歸思想，一種化熟悉為陌生，化未知為己知的思想。這種思想在生活中被我們習(xí)慣性地應(yīng)用著，一個(gè)人的成長(zhǎng)離不開(kāi)化歸思想，它是我們思考一切問(wèn)題的基本習(xí)慣。同樣，在高中數(shù)學(xué)領(lǐng)域也離不開(kāi)化歸思想，關(guān)于它在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，我認(rèn)為可以分為五個(gè)方面進(jìn)行，即在不等式中的應(yīng)用，在數(shù)列中的應(yīng)用，在函數(shù)中的應(yīng)用和在幾何中的應(yīng)用。

一、化不等式為等式

化歸思想在不等式當(dāng)中的應(yīng)用表現(xiàn)最為明顯的是化不等式為等式。因?yàn)榈忍?hào)兩端的數(shù)值相同，根據(jù)這一點(diǎn)我們可以進(jìn)行具體的運(yùn)算，進(jìn)而得出答案。舉個(gè)例子：題目為若不等式kx-4=2的解集是x1≤x≤3，則實(shí)數(shù)k是多少。

通過(guò)觀察題目可以解析出kx-4=2的兩個(gè)根為1，3 即k-4=23k-4=2 ，可以解得k=2。在這個(gè)問(wèn)題中，我們利用化歸思想將端點(diǎn)之進(jìn)行帶入，在等號(hào)成立的情況下將題解開(kāi)。在所有高中數(shù)學(xué)的不等式的問(wèn)題之中，只要我們能夠找到不等式之間的關(guān)系，將不等式轉(zhuǎn)化為等式，問(wèn)題就都能夠被解開(kāi)[1]。

二、轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)中的重點(diǎn)，同時(shí)也是高考數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容。同樣，化歸思想在高中數(shù)學(xué)數(shù)列題型當(dāng)中也有很好的應(yīng)用，主要是根據(jù)題目?jī)?nèi)容將其轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，然后利用所學(xué)習(xí)的公式求得答案[2]。

1.在等差數(shù)列當(dāng)中的應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)的等差數(shù)列習(xí)題當(dāng)中，經(jīng)常出現(xiàn)的像an-an-1=fn這種等差數(shù)列的遞推公式，我們通?？梢岳茂B加方法來(lái)進(jìn)行解題。舉個(gè)例子。題目為已知an-an-1=n-1，求an。根據(jù)題目可知，an-an-1=n-1，所以我們可以推斷出a2-a1=1，a3-a2=2，a4-a3=3……所以我們利用疊加法將各項(xiàng)相加，可以得到an-an-1=1+2+3+4+...+n-1，進(jìn)而可以推算出結(jié)果，即an=n2-n+22。

疊加法進(jìn)行解題時(shí)我們可以用它的兩個(gè)特點(diǎn)進(jìn)行觀察，第一個(gè)特點(diǎn)是等式的右方求和要更快捷，第二個(gè)特點(diǎn)是等式的左方可以錯(cuò)項(xiàng)互相消掉，從而變成簡(jiǎn)單的公式。這種方法的應(yīng)用也正是化歸思想的數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用中常見(jiàn)的證明。

2.在等比數(shù)列當(dāng)中的應(yīng)用

在等比數(shù)列當(dāng)中我們也會(huì)使用到化歸思想，由于化歸思想而采用的方法在等比數(shù)列當(dāng)中有累乘法、迭乘法等等。對(duì)于題目上有像anan-1=fn這樣的公式，我們能夠通過(guò)后者進(jìn)行求解。比如這樣的一道題：已知數(shù)列a1=1，anan-1=nn+1求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。通過(guò)觀察，我們可以推導(dǎo)出a2a1=23，a3a2=34……一直到anan-1=nn+1，將上面的所有等式相乘可以算出ana1=2n+1，進(jìn)而我可以得出an=2n+1。在這道題中，我們通過(guò)利用化歸思想的迭乘法算出了anan-1=fn類型的等比數(shù)列通項(xiàng)公式，當(dāng)然它也具有一定的要求，即：通過(guò)跌乘之后得出的f1f2……fn公式可以進(jìn)行化簡(jiǎn)。

三、數(shù)形轉(zhuǎn)化與動(dòng)靜轉(zhuǎn)化

函數(shù)一直都是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，其中涵蓋了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等一共七個(gè)基本的初等函數(shù)，同樣，這也是高考必須涉及的范圍[3]?；瘹w思想在解函數(shù)題型當(dāng)中的運(yùn)用主要為數(shù)形之間的轉(zhuǎn)化和動(dòng)靜之間的轉(zhuǎn)化。

1.數(shù)形之間的轉(zhuǎn)化

在一部分函數(shù)題中，數(shù)字和圖形總是互相結(jié)合的，我們通過(guò)數(shù)字和圖形之間的轉(zhuǎn)化能夠讓函數(shù)題變得更加簡(jiǎn)單，從而解出答案。比如有這么一道題：函數(shù)y=11-x的圖像和函數(shù)y=2sinπx，-2≤x≤4的圖像的所有焦點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為多少。這是一道選擇題，有四個(gè)選項(xiàng)，分別為2，6，8，10。這道題需要我們進(jìn)行函數(shù)和圖像的結(jié)合去進(jìn)行解題。我們需要作出函數(shù)y=11-x與函數(shù)y=2sinπx，-2≤x≤4的圖像，如圖1所示。

通過(guò)對(duì)圖像的觀察，我們可以知道那兩個(gè)函數(shù)圖像都是關(guān)于（1，0）這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱的，所以相交的點(diǎn)也就是關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱的。而再看圖像，我們還可以觀察到這圖像當(dāng)中，在y=11-x，y=2sinπx，-2≤x≤4函數(shù)圖像在區(qū)間（-2，4）里面存在了8個(gè)相交的點(diǎn)。所以根據(jù)公式，我們可以算出橫坐標(biāo)是答案C，有8個(gè)。這道題就是利用了數(shù)字和圖形之間的轉(zhuǎn)換，將一個(gè)乍看很復(fù)雜的題變得簡(jiǎn)單了。

2.動(dòng)靜之間的轉(zhuǎn)化

動(dòng)靜之間的轉(zhuǎn)化指的是我們?cè)诮夂瘮?shù)題時(shí)，利用變化與運(yùn)動(dòng)的思路去分析題目，去將題目中有用的信息利用函數(shù)的形式進(jìn)行表現(xiàn)，去將靜止的數(shù)字變成變量，實(shí)現(xiàn)動(dòng)靜之間的相互轉(zhuǎn)化，進(jìn)而解決問(wèn)題，這在高中函數(shù)題中同樣常見(jiàn)，比如這樣的一道題：20001999和19992000哪個(gè)數(shù)值更大？第一眼看起來(lái)這兩個(gè)數(shù)字都很大，通過(guò)目測(cè)看不出來(lái)誰(shuí)打誰(shuí)小，好像無(wú)法進(jìn)行比較。不過(guò)我們通過(guò)動(dòng)靜轉(zhuǎn)化可以慢慢得出答案，第一步轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)和指數(shù)，假設(shè)ab>ba，那么我們現(xiàn)在把參數(shù)相同的轉(zhuǎn)化為不等式的一端，在兩端都取自然的對(duì)數(shù)，可以算出blna>alnb，lnaa>lnbb。這是我們?cè)陟o態(tài)和靜態(tài)之間的轉(zhuǎn)化，也是第一步的轉(zhuǎn)化，接下來(lái)進(jìn)行第二步，通過(guò)構(gòu)成公式y(tǒng)=lnxx（x>1），然后把a(bǔ)與b當(dāng)作是這個(gè)公式的自變量，通過(guò)計(jì)算我們便可以進(jìn)行比較看看20001999和19992000這兩個(gè)數(shù)值的哪一方數(shù)值更大了。

四、化歸思想在幾何中的應(yīng)用

幾何也是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，化歸思想同樣在幾何中多有應(yīng)用，具體可以分為立體幾何和解析幾何。

1.高維轉(zhuǎn)化低維

立體幾何都是三維的，在直接運(yùn)算上很困難，這時(shí)我們需要將題目中的立體幾何轉(zhuǎn)化為二維的平面圖形，然后再進(jìn)行運(yùn)算，比如圖二中的立體圖形，題目給定條件為這是一個(gè)正三棱錐S-ABC，它的底邊長(zhǎng)度是a，而側(cè)棱長(zhǎng)是2a，現(xiàn)在過(guò)A點(diǎn)作與側(cè)棱SB、SC全部相交的AEF截面。求該面的最小周長(zhǎng)。

在解決這道問(wèn)題時(shí)，我們需要利用化歸思想。周長(zhǎng)的距離可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)之間的線長(zhǎng)問(wèn)題，所以我要要將沿著SA把這個(gè)三維立體的側(cè)面打開(kāi)，得到圖3，進(jìn)而只求A和A′之間的最短距離長(zhǎng)度就可以了。

2.代數(shù)與平面轉(zhuǎn)化

代數(shù)和平面幾何的相互轉(zhuǎn)化主要體現(xiàn)在有圓錐曲線的題型之中，這樣的化歸思想方法可以將問(wèn)題簡(jiǎn)單化。比如有這樣一道題：F1（-2，0），F(xiàn)2（2，0）是兩個(gè)頂點(diǎn)，N為x2+y2=1這個(gè)圓形O上的任意一個(gè)點(diǎn)，現(xiàn)在M點(diǎn)和F1（-2，0）關(guān)于點(diǎn)N對(duì)稱，F(xiàn)2M和F1M這條線段的中垂線相交于P，點(diǎn)P的軌跡是什么。有四個(gè)選項(xiàng)ABCD，分別對(duì)應(yīng)為雙曲線、橢圓、拋物線和圓。

通過(guò)題目所給條件，我們可以進(jìn)行一定的轉(zhuǎn)化得出圖3。

然后連接O和N這兩點(diǎn)，因?yàn)檫@兩點(diǎn)是F1F2和F1M的中點(diǎn)，所以通過(guò)計(jì)算能夠得出F2M=2，所以PM-PF2=2，PF1=PM，PF1-PF2=2。因此，可以算的這道題的答案是A，雙曲線。

兩者都是化歸思想在幾何當(dāng)中的應(yīng)用，除此之外還有著定點(diǎn)定值的轉(zhuǎn)化、位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化和動(dòng)點(diǎn)和定點(diǎn)之間的轉(zhuǎn)化等。

結(jié)論：綜上所述，化歸思想在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)當(dāng)中十分廣泛，想要學(xué)好高中數(shù)學(xué)，就必須具有良好的化歸思想，然而，化歸思想的強(qiáng)化與化歸能力的提升并不是一朝一夕的事，還需要老師的教導(dǎo)以及學(xué)生的自我鍛煉。

參考文獻(xiàn)：

[1]楊社鋒.化歸思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[D].河南大學(xué)，2014.

[2]李昀晟.化歸思想在高中數(shù)學(xué)解題過(guò)程中的應(yīng)用分析[J].數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用，2015，04：124-128.

[3]王志惠.化歸思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究[D].內(nèi)蒙古師范大學(xué)，2015.

（作者單位： 長(zhǎng)沙麓山國(guó)際實(shí)驗(yàn)學(xué)校G1509班 410006）endprint