戴振宇

【摘要】空間觀念是《課標(biāo)（2011年版）》提出的核心詞之一.投影與視圖是培養(yǎng)學(xué)生空間觀念的重要內(nèi)容.本章主要研究了中心投影、平行投影和物體的三視圖的有關(guān)知識(shí)。內(nèi)容的呈現(xiàn)注重從生活實(shí)際取材，重視了知識(shí)的形成過(guò)程，把空間圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形進(jìn)行研究.教學(xué)時(shí)應(yīng)充分借助于學(xué)習(xí)平面幾何的經(jīng)驗(yàn)，淡化形式，注重實(shí)質(zhì)，重視空間觀念的培養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】空間觀念；轉(zhuǎn)化思想；生活經(jīng)驗(yàn)

“投影與視圖”是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)（2011年版）》）界定的“圖形與幾何”部分的重要內(nèi)容.本章是青島版教科書(shū)的最后一章，主要研究投影的基礎(chǔ)知識(shí)和物體的三視圖.投影是將空間圖形變化為平面圖形，研究不同投影方式下投影的變化規(guī)律，是用平面圖形刻劃空間圖形的重要方法和途徑，投影是視圖的基礎(chǔ)；三視圖是本章的核心內(nèi)容，在生產(chǎn)中有廣泛的應(yīng)用.是數(shù)學(xué)學(xué)科的任務(wù)之一.

本章內(nèi)容與空間圖形有著密切的聯(lián)系，對(duì)于初、高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的銜接起著承上啟下的作用，是后繼高中階段學(xué)習(xí)空間圖形知識(shí)的基礎(chǔ)，對(duì)于學(xué)生順利過(guò)渡到高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有著十分重要的意義.

1教材分析

1.1知識(shí)結(jié)構(gòu)（如圖1所示）

1.2內(nèi)容概述

本章內(nèi)容包括中心投影、平行投影和物體的三視圖三節(jié)內(nèi)容.

第1節(jié)“中心投影”1課時(shí).教科書(shū)首先從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，通過(guò)手影、投影儀、幻燈機(jī)等生活實(shí)例，引出投影、投射線、投影面以及中心投影的概念.然后利用“實(shí)驗(yàn)與探究”提出四個(gè)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)觀察和借助生活經(jīng)驗(yàn)，依次探究細(xì)竹簽、平行四邊形紙片在燈光下落在水平桌面上的影子.再把這一現(xiàn)象抽象為在中心投影下，點(diǎn)、線段、平行四邊形在水平平面內(nèi)的投影，并且分線段、平行四邊形與投影面的幾種不同位置，分別探索投影的形狀和大小，從而發(fā)現(xiàn)中心投影的一般規(guī)律.并且探索得到線段和平行四邊形在中心投影下的性質(zhì).進(jìn)一步探索在燈光下平行四邊形紙片與桌面平行時(shí)紙片在桌面上的影子，概括出平面圖形與投影面平行時(shí)中心投影的特征，由此說(shuō)明了幻燈機(jī)的工作原理.

第2節(jié)“平行投影”3課時(shí)，學(xué)習(xí)平行投影的概念和簡(jiǎn)單的性質(zhì)、探索特殊的平行投影——正投影的概念和簡(jiǎn)單的性質(zhì)、討論簡(jiǎn)單幾何體在水平投影面和豎直投影面內(nèi)的正投影.

第1課時(shí)教科書(shū)從陽(yáng)光下物體的影子的生活情境出發(fā)，引出平行投影的概念，然后在“實(shí)驗(yàn)與探究”中，通過(guò)問(wèn)題（1）（2）（3）設(shè)計(jì)的教學(xué)活動(dòng)依次探索點(diǎn)、細(xì)竹竿和矩形紙片的平行投影現(xiàn)象，從而歸納出點(diǎn)、線段、矩形的平行投影的規(guī)律.

第2課時(shí)教科書(shū)首先給出正投影的概念，然后按照線段、平面圖形、長(zhǎng)方體的順序從一維、二維到三維依次探索了正投影的規(guī)律.對(duì)線段的正投影結(jié)果分線段平行于投影面、傾斜于投影面和垂直于投影面三種情況進(jìn)行了分析.

第3課時(shí)教科書(shū)安排了兩個(gè)例題，目的是鞏固幾何體正投影的規(guī)律，利用這一規(guī)律會(huì)畫(huà)簡(jiǎn)單幾何體的正投影，并引出“視圖”的概念，為下一節(jié)學(xué)習(xí)三視圖做好鋪墊.

第3節(jié)“物體的三視圖”3課時(shí).主要研究三視圖的概念和簡(jiǎn)單幾何體三視圖的畫(huà)法、根據(jù)視圖描述簡(jiǎn)單幾何體，以及簡(jiǎn)單幾何體的組合體三視圖的畫(huà)法、綜合運(yùn)用本章及上一章（空間圖形的初步認(rèn)識(shí)）的知識(shí)，根據(jù)視圖和表面展開(kāi)圖，想象和制作實(shí)物模型.

三視圖是本章的核心內(nèi)容.教科書(shū)首先利用“交流與發(fā)現(xiàn)”欄目結(jié)合圖2引出了主視圖、俯視圖、左視圖以及三視圖的概念，了解主視圖是在豎直投影面的正投影.

進(jìn)而教科書(shū)把這三個(gè)視圖都展開(kāi)到主視圖所在的平面內(nèi)，結(jié)合圖3說(shuō)明了三個(gè)視圖之間的位置關(guān)系，所標(biāo)出的上、下、左、右、前、后，是指在識(shí)圖時(shí)，主視圖反映實(shí)際物體的左、右、上、下關(guān)系，俯視圖反映實(shí)際物體的左、右、前、后關(guān)系，左視圖反映實(shí)際物體的上、下、前、后關(guān)系.從而主視圖反映物體的長(zhǎng)和高，俯視圖反映物體的長(zhǎng)和寬，當(dāng)主視圖的位置確定后，俯視圖在主視圖的正下方，主、俯視圖都反映物體的長(zhǎng)，所以畫(huà)圖時(shí)應(yīng)“上主下俯長(zhǎng)對(duì)正”.同樣地可以解釋“主、左視圖高平齊”.

為幫助學(xué)生正確認(rèn)識(shí)三視圖，理解并利用上述規(guī)律，然后教科書(shū)給出了四個(gè)例題，例1是畫(huà)三視圖，通過(guò)這個(gè)題目，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到畫(huà)三視圖時(shí)不僅整體上要做到“長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等”，而且它的局部也要符合這一規(guī)律.

例2是告訴學(xué)生三視圖，讓學(xué)生描述出幾何體的形狀.

例3要求畫(huà)出一個(gè)簡(jiǎn)單組合體的三視圖.給出幾何體，讓學(xué)生畫(huà)出這個(gè)幾何體的三視圖.為了明確哪是主視圖，哪是俯視圖和左視圖，教科書(shū)在實(shí)體圖中標(biāo)出了三個(gè)投射方向.

例4是一個(gè)由三視圖制作幾何體模型的全過(guò)程.設(shè)計(jì)本例的目的是為了加深學(xué)生對(duì)空間圖形相關(guān)知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系的認(rèn)識(shí)，感悟平面圖形與空間圖形的轉(zhuǎn)化，同時(shí)進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念和幾何直觀.

1.3教學(xué)目標(biāo)

本章是從以下四個(gè)方面落實(shí)課程目標(biāo)的：

（1）知識(shí)與技能

①通過(guò)背景豐富的實(shí)例，了解中心投影和平行投影.

②會(huì)畫(huà)基本幾何體的三視圖，會(huì)判斷簡(jiǎn)單物體的三視圖，能根據(jù)三視圖描述基本幾何體或?qū)嵨镌?

③了解基本幾何體與其三視圖之間的關(guān)系，通過(guò)典型實(shí)例，知道這種關(guān)系在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用.

（2）數(shù)學(xué)思考

①探索物體的三視圖，強(qiáng)化平面圖形與空間幾何體的相互轉(zhuǎn)換過(guò)程，進(jìn)一步發(fā)展空間觀念和幾何直觀.

②體會(huì)幾何體與平面圖形之間的相互聯(lián)系，感悟轉(zhuǎn)化的思想，發(fā)展合情推理能力.

③在繪制物體的三視圖時(shí)，能對(duì)繪制出的圖形進(jìn)行驗(yàn)證.

（3）解決問(wèn)題

①嘗試評(píng)價(jià)中心投影和平行投影間的差異.評(píng)價(jià)三視圖之間的聯(lián)系.

②畫(huà)出三視圖后，能解釋畫(huà)法的合理性，能根據(jù)三視圖，準(zhǔn)確地識(shí)別相應(yīng)的簡(jiǎn)單幾何體.

③體會(huì)在解決問(wèn)題的過(guò)程中與他人合作的重要性，形成合作交流的自覺(jué)意識(shí).

（4）情感與態(tài)度

①對(duì)投影與視圖的學(xué)習(xí)有濃厚的興趣，能夠在數(shù)學(xué)活動(dòng)中發(fā)揮積極作用.

②通過(guò)視圖、投影的學(xué)習(xí)，體驗(yàn)到數(shù)字、符號(hào)和圖形都是有效的描述現(xiàn)實(shí)世界的重要手段.

③從視圖、投影的應(yīng)用中，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)是解決實(shí)際問(wèn)題和進(jìn)行交流的重要工具，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí).

由此可見(jiàn)，教科書(shū)對(duì)課程目標(biāo)的要求不只停留在知識(shí)技能方面，而且還特別注重了讓學(xué)生參入數(shù)學(xué)活動(dòng)的過(guò)程性方面，上述要求涵蓋了數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的各個(gè)緯度，體現(xiàn)了《課標(biāo)（2011年版）》的“課程目標(biāo)”和價(jià)值追求.2編寫(xiě)時(shí)重點(diǎn)考慮的問(wèn)題

為了落實(shí)上述目標(biāo)，編寫(xiě)人員以《課標(biāo)（2011年版）》為依據(jù)，除了選用合適的素材（如圖片、情境、實(shí)例）外，還精心設(shè)計(jì)了一些符合“數(shù)學(xué)學(xué)科特征”及“學(xué)生認(rèn)知規(guī)律”的探究、實(shí)驗(yàn)、思考、交流等活動(dòng)，以期把教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)成“師生積極參與、交往互動(dòng)、共同發(fā)展的過(guò)程”.

就本章而言，教科書(shū)編寫(xiě)的指導(dǎo)思想是：從生活實(shí)際出發(fā)，精心創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，使學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)與探究，觀察與思考、交流與發(fā)現(xiàn)等系列活動(dòng)，經(jīng)歷觀察、比較、識(shí)別、抽象的過(guò)程，從而了解投影和平行投影的定義、掌握三視圖的知識(shí)；通過(guò)動(dòng)手操作會(huì)畫(huà)簡(jiǎn)單幾何體的三視圖，能根據(jù)三視圖說(shuō)出簡(jiǎn)單幾何體的形狀；設(shè)置恰當(dāng)?shù)乃伎紗?wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷根據(jù)三視圖制作幾何模型的全過(guò)程.

2.1貼近學(xué)生的生活實(shí)際

《課標(biāo)（2011年版）》提出了六條針對(duì)教材編寫(xiě)的建議，其中之一為“現(xiàn)實(shí)性”，并且進(jìn)一步指出“素材的選用應(yīng)當(dāng)充分考慮學(xué)生的認(rèn)知水平和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).這些素材應(yīng)當(dāng)在反映數(shù)學(xué)本質(zhì)的前提下盡可能貼近學(xué)生的現(xiàn)實(shí)，以利于他們經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)情境中抽象出數(shù)學(xué)知識(shí)與方法的過(guò)程.”本章內(nèi)容充分利用現(xiàn)實(shí)生活中的素材，使學(xué)生在觀察、實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，抽象出空間圖形，歸納出它們的幾何特征，發(fā)現(xiàn)它們的數(shù)學(xué)規(guī)律.在例題、習(xí)題的設(shè)計(jì)與選擇上我們也注意了與生產(chǎn)生活的聯(lián)系.

例如，教科書(shū)從人們非常熟悉的生活中的影子、手影引出了投影的概念，從燈泡發(fā)出的光線、幻燈機(jī)等實(shí)例中，引出了中心投影的概念，在探索中心投影和平行投影時(shí)，教科書(shū)結(jié)合細(xì)竹簽、平行四邊形紙片和正方體模型的例子，討論當(dāng)它們與投影面成不同位置關(guān)系時(shí)的投影，探索和發(fā)現(xiàn)出其中蘊(yùn)含的規(guī)律；在“物體的三視圖”一節(jié)，以一個(gè)常見(jiàn)的機(jī)器部件在三個(gè)投影面的正投影，引出三視圖的概念與畫(huà)法.這些內(nèi)容都體現(xiàn)了從現(xiàn)實(shí)情境中抽象出數(shù)學(xué)知識(shí)與方法，然后又利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的編寫(xiě)教材特點(diǎn).

這些素材的選取一方面有利于學(xué)生學(xué)習(xí)本章的數(shù)學(xué)知識(shí)，另一方面使學(xué)生體會(huì)到“數(shù)學(xué)學(xué)來(lái)源于生活實(shí)際，產(chǎn)生于現(xiàn)實(shí)需要，又服務(wù)于我們的生活實(shí)際”，加深了對(duì)“生活即數(shù)學(xué)”的認(rèn)識(shí)和理解.通過(guò)本章知識(shí)的學(xué)習(xí)，不僅可以提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的能力，而且還有利于培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)和提高.

2.2重視數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)展和應(yīng)用過(guò)程

按照《課標(biāo)（2011年版）》提出的“過(guò)程性”要求，我們結(jié)合具體課程內(nèi)容，設(shè)計(jì)了一些必要的數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、繪圖、計(jì)算、推理、交流、反思等，感悟知識(shí)的形成和應(yīng)用過(guò)程.例如，一方面讓學(xué)生認(rèn)識(shí)生活中的投影現(xiàn)象，感受中心投影和平行投影的不同，同時(shí)讓學(xué)生通過(guò)在燈光下和陽(yáng)光下進(jìn)行操作、實(shí)驗(yàn)和觀察，體會(huì)影子的變化規(guī)律，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)對(duì)于同一物體，由于與投影面的相對(duì)位置不同，影子的大小、形狀也會(huì)不同，從而豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，并由此總結(jié)出投影的基本性質(zhì)，以增強(qiáng)學(xué)生的空間觀念，為學(xué)習(xí)正投影和三視圖打下基礎(chǔ).另一方面，學(xué)習(xí)了投影和三視圖的知識(shí)后，都設(shè)計(jì)了相應(yīng)的問(wèn)題，讓學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)加以解決，這個(gè)過(guò)程既可以加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解和掌握，又可以培養(yǎng)他們問(wèn)題解決的能力，有利于應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng).

2.3注重對(duì)數(shù)學(xué)思想的滲透和應(yīng)用

從數(shù)學(xué)思想方法來(lái)看，轉(zhuǎn)化是本章最重要的數(shù)學(xué)思想，物體的各種投影都是將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形；由簡(jiǎn)單幾何體畫(huà)出它的三視圖，由三視圖想象出幾何體的形狀，都反映了立體圖形與平面圖形的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化，這對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念是非常重要的，同時(shí)也發(fā)展了學(xué)生的幾何直觀.在探索中心投影、平行投影以及三視圖的投影規(guī)律的過(guò)程中，還滲透了抽象、分類和歸納的數(shù)學(xué)思想.

3教學(xué)建議

3.1充分利用學(xué)生已有的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

在我們生活的客觀世界中，物體的形狀都是立體圖形，而它們的影子則是平面圖形，物體在光源下形成影子是將立體圖形變化為平面圖形的過(guò)程.在本章內(nèi)容的教學(xué)中，涉及到空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系（相交、垂直和平行）等知識(shí)，由于這些內(nèi)容屬于高中學(xué)段的教學(xué)內(nèi)容，學(xué)生學(xué)習(xí)本章前缺乏對(duì)這些知識(shí)的學(xué)習(xí).

為了解決這一問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生順利學(xué)好本章內(nèi)容，教師應(yīng)從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，利用學(xué)生直觀的、感性的經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生能結(jié)合熟悉的生活實(shí)例，通過(guò)與平面圖形相關(guān)知識(shí)的類比，感受這些位置關(guān)系.教學(xué)時(shí)，可以利用模型、教具或課件動(dòng)態(tài)地直觀地演示，獲取對(duì)這些空間位置關(guān)系的感性認(rèn)識(shí).例如，通過(guò)教室的天花板與地面平行、墻壁面與地面垂直、兩個(gè)相鄰的墻壁面也互相垂直、兩相鄰墻壁面的交線與地面垂直、墻壁面與地面的交線與天花板平行、一個(gè)墻壁面和與它相鄰的兩個(gè)墻壁面的交線互相平行等實(shí)例，幫助學(xué)生感受空間位置關(guān)系，克服學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)中缺乏立體幾何知識(shí)的現(xiàn)象.

3.2加強(qiáng)空間觀念的教學(xué)

《課標(biāo)（2011年版）》提出了十大核心概念，其中之一是“空間觀念”.空間觀念是本章的核心，也是本章教學(xué)的主線.教學(xué)中，應(yīng)注意突出培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念這一重點(diǎn).

例如，在教學(xué)中心投影和平行投影時(shí)，應(yīng)首先讓學(xué)生理解點(diǎn)、線段、三角形、平行四邊形等基本幾何圖形在投影面的投影，然后逐步過(guò)渡到研究簡(jiǎn)單幾何體的投影.研究簡(jiǎn)單幾何體的正投影時(shí)，應(yīng)分別考慮簡(jiǎn)單幾何體各個(gè)面在同一投影面上投影的形狀.最后考慮幾何體在三個(gè)兩兩垂直的投影面上的形狀，得到三視圖的概念.反過(guò)來(lái)能根據(jù)這三個(gè)投影想象出被投影的幾何體的形狀.教學(xué)時(shí)，要讓學(xué)生充分經(jīng)歷以上過(guò)程，體現(xiàn)其中的邏輯順序和轉(zhuǎn)化思想，從而逐步培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念.

3.3注重實(shí)質(zhì)，淡化形式

由于初中學(xué)生的思維水平有限，對(duì)于一些抽象的概念難以達(dá)到深刻理解的程度.對(duì)于這樣的一些概念，我們要求學(xué)生了解即可，不要過(guò)分強(qiáng)調(diào)對(duì)其的理解.例如，對(duì)中心投影和平行投影這兩個(gè)概念的教學(xué)，只要求學(xué)生通過(guò)實(shí)例了解這兩種現(xiàn)象即可，不要求學(xué)生從嚴(yán)格的數(shù)學(xué)意義上去理解與把握，把教學(xué)重點(diǎn)放在讓學(xué)生了解它們的簡(jiǎn)單規(guī)律和區(qū)別上.具體教學(xué)時(shí)，可以充分展示生活中的事例，也可讓學(xué)生根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn)去舉例，經(jīng)過(guò)相互交流，形成正確的認(rèn)識(shí).有條件的話盡可能地使用模型、教具和課件展示投影現(xiàn)象，豐富學(xué)生的認(rèn)識(shí)和體驗(yàn)，增強(qiáng)幾何直觀，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，更好地認(rèn)識(shí)投射線、幾何體、投影面之間的位置關(guān)系，想象出投影的形狀，促進(jìn)對(duì)知識(shí)的理解.

3.4嚴(yán)格控制教學(xué)難度

讓學(xué)生根據(jù)要求畫(huà)出給定幾何體的三視圖是本章的一個(gè)重要教學(xué)目標(biāo).教科書(shū)給出了畫(huà)三視圖的原則，如“長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等”，俯視圖在主視圖的正下方，左視圖在主視圖的右邊，看得見(jiàn)部分的輪廓線畫(huà)粗實(shí)線，看不見(jiàn)部分的輪廓線畫(huà)虛線等，這些是畫(huà)三視圖必須遵循的規(guī)定.在畫(huà)三視圖之前應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生細(xì)心觀察，認(rèn)清幾何體的基本特征后，再動(dòng)手畫(huà)圖.

教學(xué)中，教師要認(rèn)真研讀《課標(biāo)（2011年版）》提出的“能判斷簡(jiǎn)單物體的視圖，并會(huì)根據(jù)視圖描述簡(jiǎn)單的幾何體”的要求，準(zhǔn)確把握其教學(xué)要求的意義，控制畫(huà)三視圖的難度，要求學(xué)生會(huì)畫(huà)直棱柱、圓柱、圓錐、球的主視圖、左視圖、俯視圖，以及常見(jiàn)的幾種簡(jiǎn)單幾何體及其簡(jiǎn)單組合體的三視圖為主，不要求畫(huà)復(fù)雜幾何體的三視圖.