吳惠平+韓新正

【摘要】以“勾股定理”起始課為例，通過查閱文獻(xiàn)資料，發(fā)現(xiàn)勾股定理起始課教學(xué)設(shè)計(jì)大致分為三類：以證明定理為主的教學(xué)設(shè)計(jì)、以探究發(fā)現(xiàn)定理為主的教學(xué)設(shè)計(jì)、以實(shí)驗(yàn)操作來發(fā)現(xiàn)定理的教學(xué)設(shè)計(jì).分析不同設(shè)計(jì)的優(yōu)缺點(diǎn)，博采眾長(zhǎng)，巧妙融合，從而備出一節(jié)基于“理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)”的好課.

【關(guān)鍵詞】勾股定理；文獻(xiàn)資料；教學(xué)設(shè)計(jì)；實(shí)驗(yàn)操作

在“理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)”的基礎(chǔ)上備好一節(jié)課本是最好的備課方式，但由于教師理解能力的差異，以及對(duì)“三個(gè)理解”的認(rèn)識(shí)程度不同，備課效果自然不可同日而語.那么，怎樣才能備出一節(jié)好課呢？筆者認(rèn)為，通過比對(duì)同一課時(shí)的文獻(xiàn)資料，分析不同教案的優(yōu)缺點(diǎn)，博采眾長(zhǎng)，巧妙融合，自然會(huì)備出一節(jié)好課.下面以“勾股定理”起始課為例，談?wù)勅绾卫梦墨I(xiàn)資料進(jìn)行備課.供參考.

1常見教學(xué)設(shè)計(jì)

查閱近幾年的文獻(xiàn)資料，發(fā)現(xiàn)勾股定理起始課教學(xué)設(shè)計(jì)大致分為三類：以證明定理為主的教學(xué)設(shè)計(jì)、以探究發(fā)現(xiàn)定理為主的教學(xué)設(shè)計(jì)、以實(shí)驗(yàn)操作來發(fā)現(xiàn)定理的教學(xué)設(shè)計(jì).現(xiàn)對(duì)這三種教學(xué)設(shè)計(jì)做客觀分析.

1.1以證明定理為主的教學(xué)設(shè)計(jì)

章建躍博士在談到勾股定理教數(shù)學(xué)時(shí)指出：“其一，勾股定理的發(fā)現(xiàn)具備偶然性；其二，畢達(dá)哥拉斯是大數(shù)學(xué)家，對(duì)數(shù)極其敏感，對(duì)“形”非常自動(dòng)化地想到“數(shù)”，這是一般人做不到的……我覺得，不應(yīng)該讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)，重點(diǎn)應(yīng)該放在讓學(xué)生去證明這個(gè)定理.”[1]在這一觀點(diǎn)的支撐下，一線教師中的許多實(shí)踐者也取得了良好的教學(xué)效果.

課例1劉東升[2]先從一段BBC紀(jì)錄片《數(shù)學(xué)的故事》展示古埃及人結(jié)繩繃成直角三角形導(dǎo)入新課，隨即導(dǎo)入勾股定理的特例“如果作一個(gè)直角三角形，使得兩直角邊分別為3和4，你能否求出斜邊的長(zhǎng)？”在學(xué)生嘗試無果后，教師指出有人曾經(jīng)用拼圖的方法求出該三角形的斜邊長(zhǎng)為5，接下來用拼圖的方法予以計(jì)算.最后從特殊到一般用面積法（割補(bǔ)法）證明勾股定理.

分析教師設(shè)計(jì)以證明為主的教學(xué)思路，大致是基于以下幾點(diǎn)思考：一是恰當(dāng)安排講授法，節(jié)約時(shí)間，采用教師講授證明思路，學(xué)生跟進(jìn)理解，是基于對(duì)學(xué)情的理解；二是勾股定理的發(fā)現(xiàn)具有偶然性，只有畢達(dá)哥拉斯這樣的大數(shù)學(xué)家，才能從“形”非常自動(dòng)地想到“數(shù)”，這是一般人做不到的，在課堂上有限的時(shí)間里讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)該定理是不現(xiàn)實(shí)的，也是無法完成的任務(wù).所以，該設(shè)計(jì)把時(shí)間重點(diǎn)分配在證明勾股定理和欣賞勾股定理文化上.從學(xué)習(xí)的角度看，這樣的安排是有效的，是基于學(xué)情來考慮的，有利于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生演繹推理的能力.

《義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》[3]（以下簡(jiǎn)稱標(biāo)準(zhǔn)）在課程基本理念中指出：學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的和富有個(gè)性的過程.除接受學(xué)習(xí)外，動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流同樣是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式.學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)過程.顯然，上述過程少了學(xué)生觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想的過程，而這卻是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要功能所在.事實(shí)上，發(fā)現(xiàn)一個(gè)定理的價(jià)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于證明這個(gè)定理，從這個(gè)角度看，上述安排是不完美的.

1.2以探究發(fā)現(xiàn)定理為主的教學(xué)設(shè)計(jì)

特級(jí)教師卜以樓認(rèn)為：研究一個(gè)定理，一般要從猜想——驗(yàn)證——證明這三個(gè)方面去把握，如果離開了猜想、發(fā)現(xiàn)定理這兩個(gè)環(huán)節(jié)，那么培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力就會(huì)在教學(xué)中打折.事實(shí)上，發(fā)現(xiàn)一個(gè)定理的價(jià)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于證明這個(gè)定理.卜老師同時(shí)給出了基于上述思考的教學(xué)設(shè)計(jì).

課例2卜以樓首先通過畫兩個(gè)直角三角形，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊間有關(guān)系，然后順勢(shì)提出問題：既然直角三角形三邊數(shù)量之間有一個(gè)等量關(guān)系，這個(gè)等量關(guān)系是什么呢[4]？接著，引導(dǎo)基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生在單位長(zhǎng)度為1 cm的坐標(biāo)紙上，理性地選擇幾個(gè)直角三角形去畫一畫、量一量，觀察量出的數(shù)值，估計(jì)、猜想三邊間的關(guān)系；引導(dǎo)基礎(chǔ)較好的學(xué)生理性分析三邊間的關(guān)系：a、b、c三邊間關(guān)系可以是一次等量關(guān)系、二次等量關(guān)系，甚至是高次等量關(guān)系，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊否定三邊間存在一次關(guān)系，然后探討三邊間的二次等量關(guān)系，先從特殊形式入手，首先猜想a2+b2=c2，經(jīng)過驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)猜想成立，再用“證偽”否定其它的二次關(guān)系，最后引導(dǎo)學(xué)生從a2、b2、c2這些“式結(jié)構(gòu)”想到“邊長(zhǎng)分別為a、b、c的正方形面積”這個(gè)“形結(jié)構(gòu)”，然后利用圖形面積（割補(bǔ)法）來分析和解決問題.

分析首先，本課例關(guān)注學(xué)生四能培養(yǎng)，教學(xué)過程就是基于發(fā)現(xiàn)和提出問題，分析和解決問題的思路來設(shè)計(jì)的，教學(xué)過程就是引導(dǎo)學(xué)生思維的過程；其次，符合“猜想——驗(yàn)證——證明”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)規(guī)律，過程嚴(yán)謹(jǐn)，絲絲入扣，數(shù)學(xué)味濃，注重學(xué)生思維能力和創(chuàng)新能力的培養(yǎng).

但仔細(xì)分析其教學(xué)設(shè)計(jì)后發(fā)現(xiàn)，其課堂教學(xué)過于理想化，既要啟發(fā)基礎(chǔ)較差的學(xué)生畫一畫、量一量，觀察量出的數(shù)值，估計(jì)、猜想三邊間的關(guān)系，又要引導(dǎo)基礎(chǔ)較好的學(xué)生理性分析三邊間的關(guān)系，直至發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊的平方關(guān)系，還要引導(dǎo)學(xué)生證明勾股定理，復(fù)雜的教學(xué)過程可能會(huì)導(dǎo)致教學(xué)時(shí)間不夠，文章展示的探究過程很難在現(xiàn)實(shí)的課堂中得以實(shí)現(xiàn).另外，在引導(dǎo)基礎(chǔ)較好的學(xué)生理性分析三邊間關(guān)系的過程中，作者根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊就可以否定三邊間存在一次關(guān)系，這句話是有問題的，比如，邊長(zhǎng)分別為a=3、b=4、c=5的關(guān)系可以表述為a+b=75c這樣的等量關(guān)系.對(duì)于a、b、c之間二次關(guān)系的三種形式的分類是可行的，但直接從特殊情況a2+b2=c2入手，是執(zhí)果索因的結(jié)果，這和直接告知結(jié)論是一樣的效果.

1.3以實(shí)驗(yàn)操作來發(fā)現(xiàn)定理的教學(xué)設(shè)計(jì)

蘇科版數(shù)學(xué)教材主編董林偉先生指出：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)不是學(xué)生被動(dòng)地接受課本上的或老師敘述的現(xiàn)成結(jié)論，而是學(xué)生從自己的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)出發(fā)，通過自己動(dòng)手、動(dòng)腦，用觀察、模仿、實(shí)驗(yàn)、猜想等手段獲得經(jīng)驗(yàn)，逐步建構(gòu)并發(fā)展自己的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的活動(dòng)過程[5].數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)已成為數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)重要方式.關(guān)于勾股定理的教學(xué)，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)大致有兩種方法：測(cè)量法和計(jì)算法.

課例3測(cè)量法[6]：任黨華引導(dǎo)學(xué)生從“直角三角形的角度特殊，會(huì)不會(huì)它的邊在數(shù)量上也有特殊的關(guān)系呢？”開始思考，然后讓學(xué)生動(dòng)手畫一個(gè)任意直角三角形，測(cè)量其三邊長(zhǎng)度，計(jì)算交流，接著學(xué)生展示所得數(shù)據(jù)及本組猜想，師生用幾何畫板演示，發(fā)現(xiàn)a2+b2=c2這一結(jié)論成立，再用拼圖法證明結(jié)論，最后介紹有關(guān)勾股定理的數(shù)學(xué)史.

課例4計(jì)算法[7]：萬廣磊從展示2002年的數(shù)學(xué)大會(huì)的弦圖開始，然后直接給出直角三角形和以該三角形三邊向形外作三個(gè)正方形，通過填空的方式來計(jì)算三個(gè)正方形的面積，學(xué)生通過畫一畫、想一想、試一試、辨一辨來發(fā)現(xiàn)a2+b2=c2，再用實(shí)驗(yàn)的方法驗(yàn)證鈍角三角形和銳角三角形不具備兩短邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方，然后用拼圖法證明勾股定理，最后介紹有關(guān)勾股定理的數(shù)學(xué)史.

分析這兩個(gè)課例都是通過畫一畫、想一想、算一算來發(fā)現(xiàn)勾股定理的，動(dòng)手實(shí)驗(yàn)的過程有利于培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力，獲得研究問題的方法，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).但課例3存在兩點(diǎn)不足，一是學(xué)生畫圖、測(cè)量過程中無法保證圖形的準(zhǔn)確和數(shù)據(jù)的精確，不能為發(fā)現(xiàn)規(guī)律提供保證；二是學(xué)生從測(cè)量出的三邊數(shù)據(jù)中，怎么會(huì)輕易發(fā)現(xiàn)三邊的平方關(guān)系？課例4教師通過填空計(jì)算面積的方式已經(jīng)把解題思路和盤托出，難點(diǎn)化為烏有，就像幾何題中老師提前告知輔助線一樣，是避開難點(diǎn)，而不是突破難點(diǎn).羅增儒教授稱以上教學(xué)為“虛假性情境發(fā)現(xiàn)”和“淺層次的情境發(fā)現(xiàn)”.

2勾股定理教學(xué)中需要突破的難點(diǎn)

通過上述課例的分析，我們不難發(fā)現(xiàn)在勾股定理的教學(xué)中回避不了幾個(gè)難點(diǎn)：一是如何創(chuàng)設(shè)合適的情境，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊間的平方關(guān)系？二是怎樣引導(dǎo)學(xué)生從a2、b2、c2這些“式結(jié)構(gòu)”想到“邊長(zhǎng)分別為a、b、c的正方形面積”這個(gè)“形結(jié)構(gòu)”？三是選擇探究教學(xué)，探究的時(shí)間較長(zhǎng)，有時(shí)甚至不可控，需要時(shí)間成本；四是數(shù)學(xué)定理的呈現(xiàn)雖是美麗的，但發(fā)現(xiàn)的過程確是漫長(zhǎng)和痛苦的，所以，課堂上定理的發(fā)現(xiàn)不能過于理想化，所謂還原數(shù)學(xué)家火熱的思考，實(shí)在過于理想化，在短短的一節(jié)課內(nèi)要完成一個(gè)定理的發(fā)現(xiàn)，必然要降低發(fā)現(xiàn)坡度，縮短發(fā)現(xiàn)時(shí)間，中間教師的引導(dǎo)甚至干預(yù)就必不可少.3吸收精華，改進(jìn)教學(xué)設(shè)計(jì)

上述四個(gè)課例均有可取之處，在認(rèn)真學(xué)習(xí)比對(duì)優(yōu)劣的基礎(chǔ)上，多方吸收各種教法中的精華，充分考慮勾股定理教學(xué)中需要突破的四大難點(diǎn)，經(jīng)過認(rèn)真整合，確定“從特殊到一般，經(jīng)歷猜想——驗(yàn)證——證明”這樣的探究教學(xué)設(shè)計(jì)，在實(shí)際教學(xué)中取得了較好的效果.

3.1情境導(dǎo)入

在一個(gè)確定的三角形中，有確定的角的關(guān)系：①三角形內(nèi)角和等于180°；②三角形外角和等于360°，那么，三角形三邊間有確定的關(guān)系嗎？

3.2探究發(fā)現(xiàn)

（1）從最特殊的三角形研究起，猜想直角三角形三邊間關(guān)系

直角邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形的面積是多少？如果斜邊用字母c表示，請(qǐng)用c表示三角形的面積.（S△ABC=12×1×1=12，S△ABC=12×c×12c=14c2，所以c2=2）

用同樣的方法研究直角邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，有什么發(fā)現(xiàn)？

（S△ABC=12×2×2=2，S△ABC=12×c×12c=14c2，所以c2=8）.

依次研究直角邊長(zhǎng)分別為3、4的等腰直角三角形，會(huì)發(fā)現(xiàn)下面結(jié)論.

12+12=2=c2；22+22=8=c2；32+32=18=c2；42+42=32=c2（這里是需要教師干預(yù)和引導(dǎo)的）

（2）在網(wǎng)格中研究直角邊不等的特殊直角三角形圖1

如果兩直角邊不等，上述猜想還成立嗎？老師在黑板空白處畫圖分析，指出上面的方法行不通，能否借助格點(diǎn)正方形來發(fā)現(xiàn)呢？分析“式結(jié)構(gòu)”，在上圖（圖1）中22=4，用四個(gè)正方形表示，12=1，用一個(gè)正方形表示，那么以斜邊為邊的正方形的面積是等于5嗎？引導(dǎo)利用割補(bǔ)法研究（小學(xué)已經(jīng)學(xué)過）.

（3）幾何畫板驗(yàn)證猜想的結(jié)論

（4）不完全歸納法得出勾股定理

3.3定理證明與介紹

證明過程略.（圖形割補(bǔ)見圖2，證明思路見上面分析）

本設(shè)計(jì)在研究最簡(jiǎn)單的三角形時(shí)，學(xué)生是不可能想到運(yùn)用面積來發(fā)現(xiàn)等腰直角三角形的三邊關(guān)系的，這時(shí)教師直接引導(dǎo)先用兩直角邊求面積，再啟發(fā)用斜邊求面積，這個(gè)過程不自然，但確實(shí)沒有更好的辦法.所以，發(fā)現(xiàn)式教學(xué)不能不加干預(yù)，任由學(xué)生自由思考，正如佛賴登塔爾所說：“強(qiáng)調(diào)用發(fā)生的方法來教各種思想，并不意味著應(yīng)該從它們產(chǎn)生的順序來呈現(xiàn)它們，甚至不關(guān)閉所有的僵局，刪除所有的彎路.”顯然，這就是教師主導(dǎo)作用的意義所在.

綜上所述，通過文獻(xiàn)資料的研究，我們可以對(duì)相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)有清楚的認(rèn)識(shí)，并在比較中去粗存精，獲得比較合理的教學(xué)方法，這不失為一種行之有效的備課方式.

參考文獻(xiàn)

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[7]萬廣磊.基于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的勾股定理教學(xué)實(shí)踐[J].中學(xué)數(shù)學(xué)（初中版），2015（4）：34-37.

作者簡(jiǎn)介吳惠平（ 1969—），女，高級(jí)教師，在省級(jí)以上刊物發(fā)表文章10多篇.主要從事課堂教學(xué)、教法和試題研究.