摘 要：在解多個(gè)三角形問(wèn)題時(shí)，撇開(kāi)運(yùn)用正弦定理、余弦定理的求解方法，嘗試在三角形中建立直角坐標(biāo)系，將解三角形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解析幾何中的直線(xiàn)問(wèn)題來(lái)求解，思路清晰，運(yùn)算量減少，學(xué)生容易掌握，為廣大學(xué)生開(kāi)辟另類(lèi)解三角形方法。

關(guān)鍵詞：建系法 解三角形 轉(zhuǎn)化思想 解析幾何

人教版高中數(shù)學(xué)必修5第一章《解三角形》介紹了運(yùn)用正弦定理、余弦定理解三角形問(wèn)題。運(yùn)用正弦定理、余弦定理解單個(gè)三角形的解三角形問(wèn)題時(shí)，直接代入公式即可解決問(wèn)題，通俗易懂，但是在解多個(gè)三角形問(wèn)題時(shí)，已知條件較多，要多次運(yùn)用正弦定理、余弦定理，過(guò)程繁瑣，運(yùn)算量較大，學(xué)生解起來(lái)比較吃力，不容易掌握。筆者嘗試在三角形中適當(dāng)建立直角坐標(biāo)系，表示三角形各頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而表示三角形各邊所在直線(xiàn)方程，將其轉(zhuǎn)化為解析幾何中的直線(xiàn)問(wèn)題來(lái)求解，思路清晰，運(yùn)算量減少，學(xué)生容易掌握，為廣大學(xué)生開(kāi)辟另類(lèi)解三角形方法。這也是數(shù)學(xué)教學(xué)的目的所在，教會(huì)學(xué)生遇到問(wèn)題要善于思考、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題、構(gòu)建模型，尋找不同知識(shí)塊之間的聯(lián)系，運(yùn)用“轉(zhuǎn)化思想”將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解，最終提升學(xué)生“數(shù)學(xué)建?！钡臄?shù)學(xué)素養(yǎng)。

首先通過(guò)例1介紹兩種解法的對(duì)比，充分彰顯建系法在解多個(gè)三角形問(wèn)題的優(yōu)勢(shì)，接著利用建系法巧解兩道解三角形問(wèn)題，其中一道為歷屆高考試題。

[例1]如圖，為測(cè)量河對(duì)岸A、B兩點(diǎn)的距離，在河的這邊取C、D兩點(diǎn)觀察，測(cè)得CD=km，∠ADB=450，∠ADC=300，∠ACB=750，∠DCB=450，A、B、C、D在同一平面，求A、B兩點(diǎn)間的距離。

解法（一）分析：在△BCD中，已知兩角和一邊，據(jù)正弦定理可求得BC邊;在△ACD中，已知兩角和一邊，據(jù)正弦定理可求得AC邊;在△ABC中，已知兩邊和夾角，據(jù)余弦定理求得AB邊，問(wèn)題得到解決。

解：在△BCD中，∠CDB=∠ADC +∠ADB =750，

∠CBD=1800-∠CDB-∠DCB =600， CD=，

據(jù)正弦定理得：

在△ACD中，∠ACD=∠ACB +∠DCB =1200，∠CAD=1800-∠ACD-∠ADC =300， CD=，

由∠CAD=∠ADC=300，得AC=CD=

在△ABC中，AC=，，∠ACB=750，據(jù)余弦定理得：

解法（二）分析：若以D為原點(diǎn)，以DC為x軸建立直角坐標(biāo)系，可求得BD、AD、BC、AC邊所在的直線(xiàn)方程，進(jìn)而通過(guò)直線(xiàn)相交可求得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求得A、B兩點(diǎn)的距離。

解：如圖，以D為原點(diǎn)、DC為x軸建立直角坐標(biāo)系，則D（0，0），C（，0）

由，得直線(xiàn)AD方程為：由，得直線(xiàn)BD方程為：

由，得直線(xiàn)BC方程為：

由，得直線(xiàn)AC方程為：

由

由

[例2]如圖所示，在△ABC中，，

（1）BC的長(zhǎng)度;（2）△ABD的面積

（3）sinC的值

解：如圖，以B為原點(diǎn)、BC為x軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)C（m，0），A（x1，y1），（其中m>0）則

∴∵BD為AC邊上的中線(xiàn)∴

∴，得m=2，∴BC=2

（3） ∵，C（2，0）? ? ∴

[例3]（2010陜西高考理科）如圖，A，B是海面上位于東西方向相距海里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45°，B點(diǎn)北偏西60°的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào)，位于B點(diǎn)南偏西60°且與B點(diǎn)相距海里的C點(diǎn)的救援船立即前往營(yíng)救，其航行速度為30海里/小時(shí)，該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要多長(zhǎng)時(shí)間？

解：如圖，以A為原點(diǎn)、AB為x軸建立直角坐標(biāo)系。由已知可得B（，0），，

∴直線(xiàn)AD方程為y=x ，直線(xiàn)BD方程為

聯(lián)立上述兩個(gè)直線(xiàn)方程解得D（，）。設(shè)C（x1，y1），由∠CBA=900-600=300，BC=得

，即C（，）

∴救援船到達(dá)D點(diǎn)需要時(shí)間為：30÷30=1（小時(shí)）。

通過(guò)上面例1兩種解法的比較，發(fā)現(xiàn)解法一要多次運(yùn)用正弦定理、余弦定理來(lái)解三角形，運(yùn)算量大，關(guān)系復(fù)雜，特別例2中還要設(shè)兩個(gè)未知數(shù)，運(yùn)算量更大，學(xué)生不易掌握。而解法二思路條理清晰，直觀易懂，該方法運(yùn)算量明顯簡(jiǎn)便很多，好用又好懂。那么如何適當(dāng)建立直角坐標(biāo)系呢？一般以三角形的頂點(diǎn)且對(duì)應(yīng)角的度數(shù)或其三角函數(shù)值已知的為坐標(biāo)原點(diǎn)，以該頂點(diǎn)所在的邊為x軸，建立直角坐標(biāo)系，這樣有利于表示各頂點(diǎn)坐標(biāo)和各邊所在直線(xiàn)方程。

利用建系法解三角形問(wèn)題，為學(xué)生開(kāi)辟了另類(lèi)解三角形的方法，同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)建模轉(zhuǎn)化解決問(wèn)題的能力，在今后的教育教學(xué)中，可引導(dǎo)學(xué)生思考其他數(shù)學(xué)問(wèn)題之間是否可以相互轉(zhuǎn)化，真正把這種能力遷移上升為“科技轉(zhuǎn)化為生產(chǎn)力”的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

作者簡(jiǎn)介

楊衛(wèi)乾，男，1974年1月出生，學(xué)歷本科，理學(xué)學(xué)士，中共黨員，1996年8月參加工作，現(xiàn)任教于福建省漳州市薌城中學(xué)，在高中數(shù)學(xué)研究中取得一定成果，在同行中具有較高聲譽(yù)。