范艷華

摘要：教材是教學的主要資源，是教與學的重要憑借。對教材的研讀不能僅局限于教材文本，而要站在數(shù)學學科本質(zhì)的高度，從教材的編寫視角、學生的學習思維視角以及教師的導學視角，做到“三線相融”。以此為基礎，才能深入鉆研教法與策略，尋找教材、教者與學生之間的 “融合點”，把學生真正帶到知識和思維的更高之處。

關鍵詞：小學數(shù)學；教材研讀；三線相融

中圖分類號：G42 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2016）12A-0039-04

一個教師的專業(yè)成長水平，其首要的衡量標準是教師的“教材把握力”，這項能力的高低則取決于教師對教材研讀的深度和廣度。筆者在平時聽課及與教師的課后交流中，發(fā)現(xiàn)很多教師不知教材應該如何研讀——備課時，常常只是看一下教材上的課時內(nèi)容，然后找一些有關教學設計的參考資料，截取一些“成功做法”，拼拼湊湊就成了一節(jié)課的教學預案；課中，對于生成性問題，常常感到措手不及；課后，問及本課內(nèi)容的一些核心概念、知識結構體系以及某個教學環(huán)節(jié)背后的設計意圖之類問題，常常也是無從答來。有鑒于此，提高教材研讀能力是當下廣大一線教師的一個重要課題。教師在課前可以從編者、學生、教師三個視角，對教材進行“三線相融”式的研讀。在此基礎上，對教學目標進行合理定位，對教學素材做出選擇，設計有效的教學方案，引導學生理解和運用數(shù)學知識，發(fā)展數(shù)學思維。

一、編者視角，把握數(shù)學知識的生長之線

小學數(shù)學每一課時的知識內(nèi)容，都不是一個獨立的存在，而是處在所屬的一個整體的知識結構之中，各知識版塊之間有著相互關聯(lián)、逐步深入的內(nèi)在聯(lián)系。在對每一課時內(nèi)容進行研讀時，首先要從整體上把握教材的編排結構，厘清這一課時內(nèi)容在所屬知識體系中所處的地位，了解知識發(fā)生的過程、產(chǎn)生的背景及其背后蘊含的思想方法，進而把握知識內(nèi)容的生長主線。這樣，才能在預設教學時知道從哪里開始，又可以延伸至哪個層面。以蘇教版六年級上冊《整數(shù)除以分數(shù)》這一課時內(nèi)容的研讀為例。

1.教材的編排脈絡

對于教材的編排脈絡，主要厘清相關知識在本套教材中的分布和各部分之間的關系，以及各部分知識在教學時需要達成的教學要求。

教材在安排這部分內(nèi)容時，注意遵循由易到難、循序漸進的原則。編排分兩塊：一是計算法則的教學，順序為分數(shù)除以整數(shù)、整數(shù)除以分數(shù)、分數(shù)除以分數(shù)；二是實際問題，順序為分數(shù)除法應用題、兩步計算、分數(shù)乘除混合運算。

先教學分數(shù)除以整數(shù)，再教學一個數(shù)除以分數(shù)。在教學一個數(shù)除以分數(shù)時，又是先教學整數(shù)除以分數(shù)，再教學分數(shù)除以分數(shù)。整數(shù)除以分數(shù)，安排了兩道習題，例題2是整數(shù)除以幾分之一，例題3是整數(shù)除以幾分之幾。這樣安排，能使學生在不斷探索新知的過程中逐步完善對分數(shù)除法計算方法的理解，通過自主的活動歸納并總結出分數(shù)除法的計算方法。

2.知識的生長脈絡

分數(shù)除以整數(shù)，從例題 ÷2，分子能被除數(shù)整除，到“試一試” ÷3，分子不能被除數(shù)整除，初步得出除以一個整數(shù)，就是求這個整數(shù)的幾分之一是多少，只要用分數(shù)乘這個整數(shù)的倒數(shù)。在此基礎上，再自然生長到整數(shù)除以分數(shù)，由整數(shù)除以幾分之一到整數(shù)除以幾分之幾，通過畫圖直觀的過程，得出整數(shù)除以分數(shù)也等于乘除數(shù)的倒數(shù)。由這兩方面的基礎，自然提升到分數(shù)除以分數(shù)，最后得出一個數(shù)除以分數(shù)的統(tǒng)一的計算方法：甲數(shù)除以乙數(shù)（0除外），等于甲數(shù)乘乙數(shù)的倒數(shù)。

3.不同版本的對比與啟發(fā)

分數(shù)除以整數(shù)，人教版、蘇教版、北師版三個版本的教材都是通過圖形直觀的方式，讓學生理解算理得出算法。學生也比較容易基于圖形直觀及整數(shù)除法的意義理解。在直觀的基礎上，逐漸將學生的思維由除法轉(zhuǎn)向乘法。特別是北師大版，在教學了 ÷2之后，有意安排了 ÷3；因為前者可以從整數(shù)除法的意義的角度，用分子先除以2，后者則不同，分子4不能被3整除，由此可讓學生感知前者的局限性，自然就將學生的思維引向乘法。對于接下來的整數(shù)除以分數(shù)，三種版本的教材盡管依然采取直觀的形式，但是顯然已采用半抽象的線段或者直條模型，北師版教材則利用長方形的寬一定，長與面積的變化關系，讓學生理解算理，進而得出算法。

通過比較研讀三種版本的教材，可以看出，分數(shù)除法的教學，因為相對整數(shù)除法抽象許多，因此在教學時先讓學生經(jīng)歷直觀的操作活動或者圖形的觀察，從整數(shù)除法的角度將之自然生長過來。在此基礎上，再逐步引導學生進行數(shù)學聯(lián)想和推理，最后通過比較歸納，得出分數(shù)除法的通用法則。

二、學生視角，探尋數(shù)學學習的思維之線

對教材的深度研讀，除了從“編者”“排”的視角解讀，更需要從學生“學”的視角深入地把握教材，探尋學生學習這一知識內(nèi)容時的思維之線。教師從學生學習的角度研讀教材，可以從以下幾個問題思考：

1.學生的認知起點

對一節(jié)課的學習，學生認知起點的確定尤為重要。學生已有的認知基礎是什么？認知水平如何？通過本節(jié)內(nèi)容的教學學生能在哪些方面獲得發(fā)展？學生有沒有和本節(jié)知識相關的生活經(jīng)驗？

以蘇教版四年級上冊“角的度量”為例。本節(jié)內(nèi)容中學生已有的知識經(jīng)驗是對于角的概念的認識，知道角的大小指的是角的兩邊叉開的大小。學生已有的數(shù)學活動經(jīng)驗是會畫出一個角，會用重疊的方法比較兩個角的大小，會用直尺度量線段的長度。學生的認知起點是“如何來度量兩邊叉開的大小”。因此，教材一開始先讓學生用熟悉的數(shù)學工具三角板上的角進行度量，能比出這個角和三角板上的角的大小關系，但是不能知道這個角到底有多大，由此引出角的度量工具量角器。

對于如何度量一個角的大小，學生基于已有的知識經(jīng)驗和活動經(jīng)驗，會像教材上那樣用三角板上的角比劃著量，還會用直尺去試著量兩邊之間的距離。因此教師在教學設計中，需要讓學生由這一經(jīng)驗基礎出發(fā)，自然過渡到用量角器量角。

2.學生的認知轉(zhuǎn)折點

學生在學習本知識內(nèi)容時新舊轉(zhuǎn)折處在哪里？通過什么方式讓學生自然將新知納入到已有的認知系統(tǒng)，進行同化？

還是以“角的度量”為例?！敖堑亩攘俊笔菍W生在第二學段學習“角的認識”中的一個重要內(nèi)容，是區(qū)別于長度、面積、重量等另一個維度的測量知識內(nèi)容。學生的認知轉(zhuǎn)折點在于：原來對于線段的長度的度量只要用直尺順著線段起點到終點直線方向測量即可。然而角的度量工具不再是直的，而是一個半圓形的工具，度量的方法除了關注點還要關注線，即所謂的“二合一看”，學生經(jīng)歷一個“由直向曲”的轉(zhuǎn)折點。因此，在設計教學時首先要讓學生仔細觀察、了解量角器的構造特點，特別是量角器上與0刻度線所構成的角的度數(shù)在刻度圈上是內(nèi)圈還是外圈，讓學生學會正確地使用量角器，這是準確量角的關鍵所在。

3.學生認知的困難點

本節(jié)課的知識內(nèi)容對學生而言學習難點在哪里？用什么方法可以幫助學生突破難點？“角的度量”這一課內(nèi)容中，學生的認知困難點是在量角的時候如何區(qū)分內(nèi)外圈的刻度。因為當學生在經(jīng)歷量角“二合一看”的“看”的環(huán)節(jié)，學生看到角的另一邊所對的刻度有內(nèi)外兩圈，這時如果學生不理解量角器構造的實質(zhì)，往往會在兩個刻度中隨便選一個。

為了突破這一個難點，各版本的教材都有所設計。如北師大版和人教版教材，在引進量角器之前，都設計了1 角的認識，即將圓平均分成360份，其中1份所對的角的大小叫做1 ，然后在1 角的基礎上讓學生找出30 、50 、60 、90 、120 、180 ……。

這樣的設計，主要是讓學生在觀察找出由1 角的累計成角的過程中動態(tài)地感知角的大小變化過程，從而便于學生在量角器上也能準確地找到不同度數(shù)的角。另外，無論是人教版、北師版還是蘇教版教材，在引進量角器、認識量角器的環(huán)節(jié)，都設有“在量角器上找出指定度數(shù)角”的練習，為學生實際量角時候的“二合一看”做好準備。

三、教師視角，求索數(shù)學教學的主導之線

在理清了教材的知識生長脈絡以及學生學習思維脈絡的基礎上，就需要在教材和學生之間架起一條教師“導”的主線，也就是如何讓學生在原有認知基礎之上自然生長新知，又如何在教師的引導之下順利突破認知的困難點，進而讓學生的數(shù)學思維得到較好的發(fā)展。以蘇教版三年級下冊“長正方形的面積計算”為例。

1.新舊知思維無痕對接

“長方形的面積計算”是平面圖形的面積計算教學的起始課，是以后進行平行四邊形、三角形、梯形及圓等平面圖形的面積計算方法學習的基礎?！伴L方形的面積計算”是緊接著“面積的意義及面積單位”知識的學習編排的，因此學生學習“長方形的面積”的基礎是對面積意義的理解；而面積概念的出現(xiàn)是學生認識事物從一維空間走向二維空間的開始?；谶@樣的學情實際，從教者的角度，要讓學生新舊知的思維自然對接生長。

教學的起點之處，教師可以引導學生的思維從一維向二維生長。如可以先讓學生回憶如何測量一條線段的長度，在此基礎上由線段動態(tài)鋪出一個長方形的平面，讓學生思考如何知道這個長方形面積，進而讓學生通過用面積單位測量出長方形的面積，理解面積的大小就是看這個平面圖形中一共包含著幾個面積單位。

這樣不著痕跡的設計，能很好地將學生的思維自然地從一維的“長度”領域引導到二維的“面積”領域，并且為后續(xù)長方形面積推導中長、寬的乘積與所擺單位面積的小正方形個數(shù)之間的聯(lián)系做了很好的思維孕伏。

2.學導主線貫穿思維始終

長方形的面積計算方法探究中主線是幫助學生溝通一維長度屬性與二維平面屬性間的聯(lián)系，體現(xiàn)化歸思想，擴展學生認識圖形的基本視點，培養(yǎng)空間觀念。如計算一個長4厘米、寬3厘米的長方形的面積。已知的信息是線段的長度，而所求的問題則是圖形的面積，于是，學生在思考時需要把新問題作如下轉(zhuǎn)化：

長4厘米，其實是說明我們可以沿著長邊擺這樣的4個面積單位（此時的面積單位為1平方厘米的正方形），根據(jù)寬3厘米，又可以得到“擺這樣的3行”這一信息。當我們得到了4×3總共12個面積單位時，也就得出了這個長方形的面積是12平方厘米。

此時“化歸”的思維過程，更多指向于回歸面積本源，借助面積單位的特點，找到長度屬性與面積屬性之間的聯(lián)接點和對應關系，從而解決新問題。而如同這樣的化歸，在后續(xù)學習長方體的體積計算教學中，引導學生從一維長度屬性、二維面積屬性擴展到三維體積屬性的認識時同樣適用。

基于以上分析，教學設計中可以貫穿這樣一條主線：用單位面積的小正方形去鋪滿這個長方形，無論長和寬是多少，每排個數(shù)就是長所包含的單位長度個數(shù)，排數(shù)就是寬所包含的單位長度的個數(shù)。

先讓學生用1平方厘米的小正方形擺一擺，量出長方形的面積，在這個過程中學生通過操作活動直觀體驗一維與二維之間的關系。第二層次，讓學生通過想象感受兩者之間的關系，將剛才學生直觀測量的長方形的長和寬逐漸進行延長變化（課件上在變化后的長邊和寬邊上分別配上直尺，然后再動態(tài)鋪出相應的單位面積的小正方形），讓學生在動態(tài)變化中感知、想象此時這個長方形的長、寬與面積之間的關系，最終通過長方形變化到撐滿屏幕，甚至想象延伸到屏幕以外了。此時，學生自然產(chǎn)生不再需要借助單位面積的小正方形去度量了，而要總結出一個長方形的面積計算公式這一學習心理需求，此時教學面積計算公式也水到渠成了。

3.認知沖突引向思維深處

對于教材的研讀，除了要從知識內(nèi)容的本身展開，還需要深入到學生思維的深處，即要利用教材中的可延伸之處，激發(fā)學生的思維沖突，將學生的思維引導到更深之處。

在教學“長正方形的面積計算”時，當學生推導得出長方形的面積計算公式之后，應用公式求長正方形的面積，對于學生而言，并沒有思維的障礙和沖突，但在后繼的學習中，學生對于一維變化和二維變化之間的關系，還不是很明了。比如，長方形的長和寬都擴大3倍，那么這個長方形的面積隨之應該是擴大3 倍，但學生往往會認識是和長度倍數(shù)一樣，面積也應該擴大3倍。

對此，在進行教材基本練習的基礎上，教師可以增設一個變式題。先讓學生畫一個面積是18平方厘米的長方形，然后讓學生憑著直覺推理思考：如果長方形的長和寬都乘以2，那么變化后的長方形的面積是多少平方厘米？許多學生會脫口而出：“36平方厘米”。此時，就是一個很好的思維沖突處。教師可以讓學生在方格紙上先畫一畫，再觀察、計算變化后長方形的面積。這樣，學生從一開始對于一維變化與二維變化之間的直覺淺層的判斷，經(jīng)過直觀操作與仔細思考，已經(jīng)能清楚地理解之間的變化關系了。經(jīng)過這樣對教材的深度開發(fā)與補充設計，學生對于本節(jié)課的知識主線與思維主線就會理解得比較透徹了。

教材是教學的主要資源，是教與學的重要憑借。對教材的研讀不能僅僅局限于教材文本，而要站在數(shù)學學科本質(zhì)的高度，從教材的編者視角、學生學習思維的視角以及教師導學的視角，做到“三線相融”。 以此為基礎，才能深入鉆研教法與教學策略，尋找教材、教者與學生之間的 “融合點” ，把學生真正帶到知識和思維的更高之處。

責任編輯：丁偉紅

Deep Interpretation of Teaching Materials from Different Angles

FAN Yan-hua

（Xishan District Bureau of Education， Wuxi 214101， China）

Abstract： Teaching materials are the major resources of instruction and also the dependence of teaching and learning. Therefore， we should not confine the interpreting of teaching material to texts， but we should start from the essence of mathematics to analyze and interpret the teaching materials from the angles of compilation， students thinking and teachers guidance. On the basis， we can deeply research into teaching methods and strategies， and discover the integrating point of teaching materials， teachers and students， so that students could be led to the higher spot of knowledge and thinking.

Key words： primary mathematics； teaching material interpretation； three-thread integration