丁艷玲
摘要:高等數(shù)學(xué)和大學(xué)物理具有千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系。本文首先討論了高等數(shù)學(xué)和大學(xué)物理的學(xué)科特點(diǎn),提出兩學(xué)科在教學(xué)中的相互滲透和相互促進(jìn)作用。基于工科學(xué)生在高等數(shù)學(xué)和大學(xué)物理學(xué)習(xí)中遇到的問(wèn)題,指出大學(xué)物理為高等數(shù)學(xué)的抽象思維提供豐富的內(nèi)涵,進(jìn)而提出物理思維在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透的必要性。文中著重探討如何在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì),從而培養(yǎng)數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生的物理思維,進(jìn)而滿足工科學(xué)校培養(yǎng)學(xué)生工程思維的需求。
關(guān)鍵詞:高等數(shù)學(xué)課程 物理思維 教學(xué)設(shè)計(jì) 教學(xué)內(nèi)容
中圖分類(lèi)號(hào):G6337文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):1009-5349(2016)11-0023-02
高等數(shù)學(xué)和大學(xué)物理是理工科學(xué)生必修的基礎(chǔ)課。雖然,它們有各自不同的目標(biāo)和價(jià)值判斷準(zhǔn)則,也有不同的傳統(tǒng)。但它們的基礎(chǔ)概念部分,令人吃驚地分享著若干共同的概念。[1]兩學(xué)科之間彼此借鑒,互相促進(jìn)。高等數(shù)學(xué)是大學(xué)物理必備的工具,物理學(xué)發(fā)現(xiàn)的定性規(guī)律可以用數(shù)學(xué)表達(dá)式定量且簡(jiǎn)潔地表述出來(lái)。反之大學(xué)物理對(duì)高等數(shù)學(xué)的回饋也很豐厚。學(xué)過(guò)物理的學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)意境有更深邃的理解,更能體會(huì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的豐富內(nèi)涵和高度概括力。一些頗費(fèi)口舌的數(shù)學(xué)概念可以借助物理的直觀而簡(jiǎn)化處理。[2]高等數(shù)學(xué)和大學(xué)物理有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系,許多教育工作者就如何結(jié)合兩門(mén)學(xué)科特點(diǎn)協(xié)同教學(xué)進(jìn)行了深入探討。
一、問(wèn)題的提出
隨著我國(guó)高考調(diào)整,普通高校擴(kuò)招,增大學(xué)校規(guī)模,就出現(xiàn)了普通本科院校生源質(zhì)量逐年下降,明顯的表現(xiàn)就是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相對(duì)比較薄弱。[3]根據(jù)多年實(shí)際教學(xué)經(jīng)驗(yàn)及對(duì)學(xué)生的問(wèn)卷調(diào)查發(fā)現(xiàn):學(xué)生們?cè)趯W(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí),物理想象能力匱乏;學(xué)習(xí)大學(xué)物理時(shí),缺少與新知識(shí)相關(guān)的高等數(shù)學(xué)知識(shí)作為儲(chǔ)備,從而對(duì)物理模型的理解應(yīng)用產(chǎn)生局限性。因此,幫助學(xué)生克服在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)中涉及的物理問(wèn)題時(shí)出現(xiàn)的思維負(fù)遷移,使其順利實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維和物理思維間轉(zhuǎn)化,從而為更好地培養(yǎng)學(xué)生具有優(yōu)秀的工程師素質(zhì),是目前數(shù)學(xué)教學(xué)中需要承擔(dān)的任務(wù)和挑戰(zhàn)。本文就如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中加強(qiáng)培養(yǎng)學(xué)生物理思維的改革與實(shí)踐提出幾點(diǎn)思考與探索。
二、探尋物理意義,實(shí)現(xiàn)物理思維在數(shù)學(xué)中的滲透
高等數(shù)學(xué)在應(yīng)用方面具有為其他科學(xué)提供表述語(yǔ)言、抽象思維模式和計(jì)算工具的特點(diǎn)。[4]物理學(xué)研究的是物理量之間的數(shù)量關(guān)系,這種數(shù)量關(guān)系要借助于數(shù)學(xué)來(lái)表達(dá)。數(shù)學(xué)既是物理學(xué)的語(yǔ)言,又是物理學(xué)的工具。在高等數(shù)學(xué)涉及到的物理問(wèn)題教學(xué)中,既要實(shí)現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)物理內(nèi)容,如定理、定律等,又要指導(dǎo)學(xué)生善于從數(shù)學(xué)演算的結(jié)果中作出符合實(shí)際的解釋?zhuān)醋穯?wèn)表示什么樣的物理意義。
高等數(shù)學(xué)與大學(xué)物理在概念、內(nèi)容上有著相當(dāng)程度的融合。下面以“對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分”教學(xué)內(nèi)容為例,展示在教學(xué)中始終圍繞物理意義來(lái)完成數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程。利用探尋物理意義的方式實(shí)現(xiàn)物理具體思維與數(shù)學(xué)抽象思維間的轉(zhuǎn)換,進(jìn)而建立物理問(wèn)題和數(shù)學(xué)概念間的柔性連接。
高等數(shù)學(xué)的“對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分”教學(xué)引入中首先提出如下物理問(wèn)題。設(shè)一曲線形構(gòu)件所占的位置是在xoy面內(nèi)的一段曲線弧L上,已知曲線形構(gòu)件在曲線弧L上的點(diǎn)(x,y)處的線密度為μ(x,y),現(xiàn)計(jì)算該曲線形構(gòu)件的質(zhì)量m。在處理具有實(shí)際意義的物理問(wèn)題過(guò)程中,通常需要將問(wèn)題進(jìn)行合理的抽象和簡(jiǎn)化,轉(zhuǎn)化成適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型。我們將構(gòu)件質(zhì)量計(jì)算的數(shù)學(xué)形式定義為對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分。反之,從物理學(xué)角度解讀對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分,∫Lμ(x,y)ds就是線密度為μ(x,y)曲線形構(gòu)件的質(zhì)量。將問(wèn)題延伸一下,當(dāng)μ(x,y)=1時(shí),得對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分∫Lds=s。從物理學(xué)角度解釋?zhuān)绻€密度為常數(shù)1,曲線質(zhì)量恰好為曲線長(zhǎng)度與線密度的乘積,即曲線質(zhì)量恰好為曲線長(zhǎng)度。
類(lèi)似的,引導(dǎo)學(xué)生自主思考:若曲形構(gòu)件所占有空間區(qū)域?yàn)殚]合曲線,計(jì)算當(dāng)它的密度為1時(shí)的質(zhì)量;設(shè)平面薄片占有由閉合曲線所圍成的平面區(qū)域R,計(jì)算當(dāng)它的密度為1時(shí)的質(zhì)量。
通過(guò)上述教學(xué)過(guò)程,可以清晰地發(fā)現(xiàn)教學(xué)的主題雖還是數(shù)學(xué)內(nèi)容,但教學(xué)的延展卻是數(shù)學(xué)的物理應(yīng)用,這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)有助于開(kāi)拓學(xué)生的視野,提高學(xué)生們的應(yīng)用能力。
三、突出高等數(shù)學(xué)中物理概念和原理的學(xué)習(xí)
高等數(shù)學(xué)主要培養(yǎng)學(xué)生抽象概括、空間想象、邏輯推理和計(jì)算等方面的能力,大學(xué)物理不僅要使學(xué)生獲得關(guān)于自然現(xiàn)象的更加嚴(yán)密、準(zhǔn)確和一般化的知識(shí),而且要使學(xué)生掌握科學(xué)的思想方法和研究方法(包括運(yùn)用數(shù)學(xué)工具和實(shí)驗(yàn))。因此,高等數(shù)學(xué)和物理雖然在許多內(nèi)容上有著高度的融合,但是由于自身各自的學(xué)科特點(diǎn),仍要注意區(qū)分?jǐn)?shù)學(xué)概念和物理概念,突出物理概念、原理的學(xué)習(xí)。
下面以高數(shù)教材中的“曲線”教學(xué)內(nèi)容為例進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì),強(qiáng)調(diào)在教學(xué)中始終把握曲線是運(yùn)動(dòng)的軌跡這一物理背景,讓學(xué)生們體會(huì)用曲線來(lái)描繪和分析運(yùn)動(dòng)是數(shù)學(xué)教學(xué)的功能之一。
對(duì)于任意一條空間曲線都可以認(rèn)為是某質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌道,也都可以認(rèn)為是某一隨時(shí)間變化的位置矢量的端點(diǎn)軌跡。對(duì)于變化的位置矢量來(lái)說(shuō),總可以表達(dá)為三個(gè)直角坐標(biāo)分量的形式r=xi+yizk。該矢量表達(dá)和參數(shù)方程表達(dá)x=x(t)
y=y(t)
z=z(t)是等價(jià)的。
1.向量值函數(shù)在運(yùn)動(dòng)學(xué)中的概念
若r是沿光滑平面曲線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的位置向量,則在任何時(shí)刻t,
(1)v(t)=drdt是質(zhì)點(diǎn)的速度向量,并且與曲線相切(切向量);
(2)‖v(t)‖代表v(t)的大小,是質(zhì)點(diǎn)的速率;
(3)a(t)=dvdt=d2vdt是速度的導(dǎo)數(shù)或位置向量的二階導(dǎo)數(shù),是質(zhì)點(diǎn)的加速度向量;
(4)v(t)‖v(t)‖是一個(gè)單位向量,且為運(yùn)動(dòng)方向。
我們可以把運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的速度表示成它的速率與方向的乘積:
速度=‖v‖(v‖v‖=(速率)(方向)
2.曲線的曲率與物理學(xué)的銜接
在曲線曲率的教學(xué)過(guò)程中,可以更工程化地體現(xiàn)我們的教學(xué)內(nèi)容。現(xiàn)在我們不妨拋開(kāi)抽象的數(shù)學(xué)概念,以向量值函數(shù)在運(yùn)動(dòng)學(xué)中的相關(guān)概念為基礎(chǔ),給出曲率的定義。設(shè)物體沿某光滑曲線運(yùn)動(dòng),不妨用點(diǎn)離開(kāi)某個(gè)“基點(diǎn)”的有向距離s確定物體位置,這與用離開(kāi)原點(diǎn)的有向距離來(lái)確定該點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的位置如出一轍。s可以作為研究曲線形狀的自然參數(shù)(稱為弧長(zhǎng)參數(shù))。弧長(zhǎng)參數(shù)對(duì)于研究空間或平面曲線的彎曲和扭轉(zhuǎn)特別有效。
由于s(t)=∫tt0‖v(τ)‖dτ,顯然有dsdt=‖v(t)‖。由速度向量v(t)=drdt相切于曲線,知向量T=v‖v‖是光滑曲線的單位切向量?,F(xiàn)令弧長(zhǎng)作為參數(shù),因?yàn)槲覀兛紤]的曲線dsdt>0,是單值的且其反函數(shù)是s的可微函數(shù)t,故有反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為dtds=1ds/dt=1‖v‖。這就使得r是s的可微函數(shù),其導(dǎo)數(shù)可通過(guò)鏈?zhǔn)椒▌t計(jì)算得drds=drdtdtds=v1‖v‖=T。這個(gè)等式說(shuō)明dr/ds是在速度向量v方向上的單位切向量。
對(duì)于平面曲線,它即使彎曲也不能扭轉(zhuǎn)出平面。當(dāng)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)沿平面光滑曲線運(yùn)動(dòng)時(shí),T=drds隨著曲線的彎曲而轉(zhuǎn)動(dòng),因?yàn)門(mén)是單位向量,在質(zhì)點(diǎn)沿曲線運(yùn)動(dòng)時(shí),它的長(zhǎng)度保持常數(shù)值而僅僅方向在改變。由此我們定義單位長(zhǎng)度上T的轉(zhuǎn)動(dòng)率稱為曲率。若T是光滑曲線的單位切向量,則曲率函數(shù)是K=‖dTds‖。如果‖dTds‖大,T在質(zhì)點(diǎn)通過(guò)P時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)得急劇,在點(diǎn)P的曲率就大,如果接近于零,在質(zhì)點(diǎn)通過(guò)時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)得緩慢,在點(diǎn)的曲率就小。以直線與圓周的曲率為例,易知直線曲率為零,圓周曲率為其半徑的倒數(shù),且半徑越小曲率越大,恰好可以檢驗(yàn)這個(gè)定義。
雖然作為數(shù)學(xué)概念,可以很輕松地講解曲率,但通過(guò)這種教學(xué)設(shè)計(jì)結(jié)合物理概念和原理來(lái)講解曲率時(shí),可以更好地實(shí)現(xiàn)物理思維在數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透,達(dá)到良好的教學(xué)效果。
由此可見(jiàn),針對(duì)高等數(shù)學(xué)教材中涉及的物理模型章節(jié),例如,質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的描述,力的做功運(yùn)算,多質(zhì)點(diǎn)系剛體,場(chǎng)的路徑積分及通量計(jì)算等進(jìn)行教學(xué)改革與實(shí)踐,可以提高學(xué)生的物理思維,并為使他們具備工程思維打下良好基礎(chǔ)。但同時(shí)在針對(duì)高數(shù)教材中涉及的物理問(wèn)題調(diào)整教學(xué)內(nèi)容時(shí),還要注意以下幾個(gè)問(wèn)題:
(1)既要注意物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)表現(xiàn)形式,又要特別注意物理現(xiàn)象自身的特點(diǎn)。
(2)既要明確物理規(guī)律所表示的物理意義,又不能單純地從抽象的數(shù)學(xué)意義去理解物理問(wèn)題,特別要防止單純從數(shù)學(xué)觀點(diǎn)出發(fā)將物理問(wèn)題純數(shù)學(xué)化的傾向。
(3)由于物理規(guī)律受實(shí)際情況的制約,所以表達(dá)物理概念或規(guī)律的公式時(shí)一定要明確物理公式成立的條件和適用的范圍。
因?yàn)樵诮虒W(xué)過(guò)程中適當(dāng)強(qiáng)調(diào)物理定律或公式是如何建立或?qū)С龅?,并在此基礎(chǔ)上弄清物理定律或公式的意義和應(yīng)用背景,因此可以幫助學(xué)生們避免機(jī)械地死記硬背物理公式的困難。
四、結(jié)論
大學(xué)物理與高等數(shù)學(xué)有著密切的聯(lián)系,許多教育工作者就如何更好地建立兩學(xué)科的柔性連接進(jìn)行了廣泛深入的研究。本文基于數(shù)學(xué)及物理的廣泛聯(lián)系及應(yīng)用性,意識(shí)到數(shù)學(xué)融合物理的教學(xué)實(shí)踐具有廣闊的發(fā)展空間。文中強(qiáng)調(diào)高等數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)建立物理問(wèn)題和數(shù)學(xué)概念的柔性連接并突出高等數(shù)學(xué)中物理概念和原理的學(xué)習(xí)。通過(guò)對(duì)“弧長(zhǎng)的曲線積分”和“用曲線來(lái)描繪和分析運(yùn)動(dòng)”的教學(xué)設(shè)計(jì),具體呈現(xiàn)了數(shù)學(xué)教學(xué)中加強(qiáng)培養(yǎng)學(xué)生物理思維的必要性與可行性。這種教學(xué)設(shè)計(jì)為學(xué)生提供了一種真正的工程背景,使學(xué)生感受到科學(xué)和技術(shù)就發(fā)生在身邊,成果就在其中,從而引發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣,擴(kuò)展他們的視野,培養(yǎng)他們的工程素質(zhì)。
參考文獻(xiàn):
[1]陳治,陳祖光,郎霞等.關(guān)于高等數(shù)學(xué)與大學(xué)物理的互補(bǔ)鏈接[J].教學(xué)與教學(xué)研究(現(xiàn):中國(guó)大學(xué)教育),1999,02:44-46.
[2]陳建軍,徐濤.高等數(shù)學(xué)課程與大學(xué)物理課程教學(xué)協(xié)同芻議[J].高等函授學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2011,24(06):29-31.
[3]張淼.提高學(xué)生的高等數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)效果的教學(xué)研究與探討[J].長(zhǎng)春工程學(xué)院學(xué)報(bào)(社會(huì)科學(xué)版),2014,15(04):131-132.
[4]王子興.數(shù)學(xué)方法論——問(wèn)題解決的理論[M].長(zhǎng)沙:中南工業(yè)出版社,1997.
[5]陳建軍,徐濤.高等數(shù)學(xué)課程與大學(xué)物理課程教學(xué)協(xié)同芻議[J].高等函授學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2011,24(06):29-31.
責(zé)任編輯:孫瑤