趙鄭國(guó)

（柘榮縣第三中學(xué)，福建柘榮355300）

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讓學(xué)生在“錯(cuò)誤”中成長(zhǎng)
——例析寧德市中考數(shù)學(xué)中的常見(jiàn)錯(cuò)誤

趙鄭國(guó)

（柘榮縣第三中學(xué)，福建柘榮355300）

摘要：中考數(shù)學(xué)中，學(xué)生常見(jiàn)錯(cuò)誤有概念理解不透徹、公式理解不透、方程解法錯(cuò)誤、分類討論不足、動(dòng)手能力差、恐應(yīng)用題癥、閱讀能力差、識(shí)圖能力差等。教師應(yīng)正確對(duì)待“錯(cuò)誤”，并分析“錯(cuò)誤”產(chǎn)生的原因，并采取對(duì)策積極改進(jìn)，讓“錯(cuò)誤”資源“變廢為寶”。

關(guān)鍵詞：中考數(shù)學(xué)；錯(cuò)誤分析；對(duì)策

俗話說(shuō)“金無(wú)足赤，人無(wú)完人”，“錯(cuò)誤”對(duì)于每個(gè)人都是不可避免的，特別是對(duì)正在成長(zhǎng)發(fā)展階段的中學(xué)生來(lái)講，各類“錯(cuò)誤”更是“遍地開(kāi)花”，這不僅困惑著學(xué)生，同樣也困惑著教師。這就要求我們給學(xué)生“把脈”，并有針對(duì)性地解決學(xué)生產(chǎn)生的各類“錯(cuò)誤”，培養(yǎng)學(xué)生“知錯(cuò)”“改錯(cuò)”“防錯(cuò)”的良好習(xí)慣，在今后的學(xué)習(xí)中取得更好的成績(jī)。另外隨著學(xué)生由小學(xué)升入初中，由于知識(shí)、內(nèi)容的不斷增加，往往比小學(xué)階段更容易出現(xiàn)學(xué)習(xí)成績(jī)兩極化。特別到了九年級(jí)以后有些班級(jí)的后進(jìn)生的面積達(dá)到30％-50％，這要引起我們認(rèn)真思考?，F(xiàn)利用寧德市近幾年中考試題進(jìn)行評(píng)析學(xué)生答題常見(jiàn)的“錯(cuò)誤”，幫助學(xué)生從“錯(cuò)誤”中悟出原因，“吃一塹，長(zhǎng)一智”真正起到糾錯(cuò)的作用。

一、常見(jiàn)錯(cuò)誤分析

（一）概念、公式理解不透徹，模糊混淆［1］

一方面概念教學(xué)是任何學(xué)科都不可缺少的。數(shù)學(xué)知識(shí)是在一個(gè)接一個(gè)的概念中串聯(lián)起來(lái)的，而數(shù)學(xué)概念的教學(xué)與理解正確與否會(huì)直接影響到數(shù)學(xué)公式、法則、定理等學(xué)習(xí)。然而學(xué)生在學(xué)習(xí)概念時(shí)往往還保留著小學(xué)生“死記硬背”的方法去背概念，出現(xiàn)了概念背得“滾瓜爛熟”而沒(méi)有真正理解它的含義和本質(zhì)，在解題是“生搬硬套、不求本質(zhì)”的狀態(tài)，從而錯(cuò)誤連連。例1.（2009年寧德市）-3的絕對(duì)值（）［2］

錯(cuò)誤剖析：本題主要考察了絕對(duì)值的概念，學(xué)生選擇D主要原因在于絕對(duì)值與倒數(shù)的概念混淆不清。絕對(duì)值本身是初中的一個(gè)難點(diǎn)，但考題比較簡(jiǎn)單，學(xué)生只要明白“任何數(shù)的絕對(duì)值是一個(gè)非負(fù)數(shù)”就可以排除B、D而選擇A。像絕對(duì)值、相反數(shù)、倒數(shù)等概念都是中考最常見(jiàn)的簡(jiǎn)單的概念考點(diǎn)之一，只要考生認(rèn)真對(duì)比分析它們的內(nèi)在本質(zhì)就可以輕易得分。

例2.（2008年寧德市）寧德市位于福建省東北部，有漫長(zhǎng)的海岸線.據(jù)測(cè)算，海岸線總長(zhǎng)約為878000米，用科學(xué)記數(shù)法表示這個(gè)數(shù)為（）［2］

A.0.878×106米B.8.78×106米

C.878×103米D.8.78×105米

錯(cuò)誤剖析：科學(xué)計(jì)數(shù)法的表示形式為a×10n，并且1≤a＜10，n為整數(shù)的規(guī)定。本題的形式都一樣，選擇A沒(méi)有注意到條件1≤a＜10，選擇B的學(xué)生對(duì)a×10n中n沒(méi)有理解透徹而導(dǎo)致錯(cuò)誤。

另一方面數(shù)學(xué)公式無(wú)處不在，深入到數(shù)學(xué)運(yùn)用的各個(gè)環(huán)節(jié)，因此對(duì)公式的理解與運(yùn)用也十分重要。要想正確運(yùn)用公式的前提是要正確了解公式的來(lái)龍去脈，特別要認(rèn)清公式的一些基本特征，其次要對(duì)比不同公式的異同點(diǎn)。例如冪運(yùn)算中的一組公式am·an= am+n、am÷an=am-n、（am）n=amn、（ab）n=anbn及平方差和完全平方公式（a+b）（a-b）=a2-b2、（a±b）2=a2±2ab+b2則最容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。同樣我們?cè)诮坦垂啥ɡ碇薪?jīng)常碰到這么一個(gè)問(wèn)題，不少學(xué)生背住a2+b2=c2，卻不理解a、b、c所表示的意義，其實(shí)該定理的實(shí)際意義是“直角三角形中兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，其中a、b、表示直角邊，c表示斜邊”。若a、b、c所表示的意義改成a、c表示直角邊，b表示斜邊，那公式則變成a2+ c2=b2。如果只認(rèn)字母不理解公式的真正意義就會(huì)出錯(cuò)，這就是典型的公式理解不透，死記硬背。

例3.（2011年寧德市）下列運(yùn)算正確的是（）［2］

A.a+a2=a3B.a·a2=a3C.a6÷a2=a3D.（3a）2=6a2

錯(cuò)誤剖析：本例是常見(jiàn)的冪運(yùn)算的題型，這組公式特別容易混淆，學(xué)生常把a(bǔ)m·an=am+n、am÷an=am-n、（am）n=amn、（ab）n=anbn混淆成am＋an=am+n、am·an=am+n、am÷an= am÷n、（am）n=am+n、（ab）n=abn的錯(cuò)誤，導(dǎo)致學(xué)生選擇A、C、D。

例4.（2008年寧德市）化簡(jiǎn)，求值：（x-3）2-x（x-8），其中

錯(cuò)誤剖析：學(xué)生將完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+ b2混淆成（a±b）2=a2±b2，平方差公式和完全平方公式?jīng)]有認(rèn)清，出現(xiàn)（x-3）2＝x2－32的錯(cuò)誤。問(wèn)題在于學(xué)生沒(méi)有記住兩個(gè)公式的特征，即完全平方公式展開(kāi)有三項(xiàng)，出現(xiàn)了最簡(jiǎn)單的錯(cuò)誤。

（二）方程解法錯(cuò)誤

方程是初中數(shù)學(xué)研究的主要內(nèi)容之一，從一元一次方程、一元二次方程、分式方程到方程組，這些知識(shí)貫穿著整個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)體系。學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤的地方有方程漏解、應(yīng)用題未檢驗(yàn)根的合理性及分式方程未檢驗(yàn)增根等。因此，我們要教會(huì)學(xué)生在解方程時(shí)要認(rèn)清不同的方程其解的個(gè)數(shù)是不一樣的。對(duì)于初中階段的學(xué)生而言怎樣區(qū)別解的個(gè)數(shù)呢?記住只要認(rèn)清方程的未知數(shù)的次數(shù)：未知數(shù)一次的一個(gè)解、未知數(shù)兩次的兩個(gè)解、分式方程先解再檢驗(yàn)，分母為零無(wú)解為增根。

例5.（2009年寧德市）方程x2-4x=0的解是_____ _______________［2］

錯(cuò)誤剖析：本題的正解有兩個(gè)分別為x=0或x= 4。學(xué)生常見(jiàn)的錯(cuò)誤只有一個(gè)解，如果能認(rèn)清方程的未知數(shù)次數(shù)為兩次其必有兩個(gè)解就不會(huì)出現(xiàn)漏解的情況出現(xiàn)。

錯(cuò)誤剖析：本例學(xué)生可以解出x=1，但有部分學(xué)生沒(méi)有進(jìn)行檢驗(yàn)而出現(xiàn)錯(cuò)誤。由于分式方程在變形時(shí)要用到去分母，會(huì)使未知數(shù)取值范圍擴(kuò)大，從而有可能產(chǎn)生增根。相對(duì)整式方程解方程不需要將驗(yàn)根的過(guò)程在書(shū)面寫(xiě)出來(lái)，而分式方程則要在試卷中體現(xiàn)，否則解題不完整。

（三）分類討論不足，結(jié)果不全面

分類討論是數(shù)學(xué)解題中最常見(jiàn)的一種思想方法，歷年來(lái)各省市中考對(duì)分類討論都比較重視，中考的壓軸題幾乎每題都要運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想來(lái)解題。

例7.（2005年寧德市）在活動(dòng)課上，小紅已有兩根長(zhǎng)為4cm、8cm的小木棒，現(xiàn)打算拼一個(gè)等腰三角形，則小紅應(yīng)取的第三根小木棒長(zhǎng)是_____cm。［2］

錯(cuò)誤剖析：等腰三角形是最常見(jiàn)的分類討論的題型之一。由于該題告訴大家的是兩邊長(zhǎng)，沒(méi)有明確哪邊是腰、哪邊是底邊，因需要分類討論，當(dāng)4為腰時(shí)，則三邊長(zhǎng)為4、4、8，當(dāng)4為底時(shí)，則三邊長(zhǎng)為4、4、8，學(xué)生容易得出答案為4或8。但本題除了分類討論外，還需滿足“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”故4、8、8不滿足題意要舍去。

（四）動(dòng)手能力弱，缺乏生活常識(shí)

新課標(biāo)要求學(xué)生不但要學(xué)會(huì)知識(shí)，還要會(huì)利用所學(xué)的知識(shí)與技能解決問(wèn)題，發(fā)展實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神，現(xiàn)在的試題不但緊扣時(shí)代脈搏，還會(huì)讓試題“動(dòng)”起來(lái)，要求學(xué)生要有一定的動(dòng)手與創(chuàng)新能力，并要有一定的生活常識(shí)。

例8.（2012年寧德市）將一張正方形紙片按圖①、圖②所示的方式依次對(duì)折后，再沿圖③中的虛線剪裁，最后將圖④中的紙片打開(kāi)鋪平，所得到的圖案是（）［2］

錯(cuò)誤剖析：本例是一個(gè)典型的動(dòng)手操作的題目。學(xué)生的錯(cuò)誤之處是缺乏生活中的折紙實(shí)踐，未能看明白圖中①-④的步驟中折紙所表示的意思（特別是②到③是關(guān)鍵）而導(dǎo)致錯(cuò)誤。本例只要學(xué)生能正確折紙，再將結(jié)果展開(kāi)便可得到正確地答案。

（五）應(yīng)用題“恐懼癥”

縱觀寧德市近幾年的應(yīng)用題看整體比較簡(jiǎn)單，但學(xué)生卻一看見(jiàn)應(yīng)用題就形成一種定勢(shì)“難”“我不會(huì)解”，主要原因在于我們學(xué)生怕應(yīng)用題而不去接觸應(yīng)用題。我市的應(yīng)用題每年都選擇不同的社會(huì)熱點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)行編寫(xiě)，并以列二元一次方程和分式方程為主。

例9.（2011年寧德市）某旅行社2010年1～5月份，接待前往以福鼎太姥山、屏南白水洋、福安白云山為主要景點(diǎn)的寧德世界地質(zhì)公園的游客5000人.今年同期比去年增加40％，其中外地游客增加50％，本地游客增加10％。求2010年1～5月份該旅行社接待外地游客和本地游客分別是多少人？［2］

錯(cuò)誤剖析：本例是近年來(lái)比較容易出現(xiàn)錯(cuò)誤的一道題，主要失分點(diǎn)在于題目中的“今年”特指本次中考的時(shí)間為2011年，而不少學(xué)生為未能認(rèn)真分析題意，列不出方程。

例10.（2008年寧德市）5月12日14時(shí)28分，四川汶川發(fā)生了8.0級(jí)大地震震后兩小時(shí)，武警某師參謀長(zhǎng)王毅奉命率部隊(duì)乘車火速向汶川縣城開(kāi)進(jìn)．13日凌晨1時(shí)15分，車行至古爾溝，巨大的山體塌方將道路完全堵塞，部隊(duì)無(wú)法繼續(xù)前進(jìn)，王毅毅然決定帶領(lǐng)先遣分隊(duì)徒步向汶川挺進(jìn)，到達(dá)理縣時(shí)為救援當(dāng)?shù)厥転?zāi)群眾而耽誤了1小時(shí)，隨后，先遣分隊(duì)將步行速度提高，于13日23時(shí)15分趕到汶川縣城。

（1）設(shè)先遣分隊(duì)從古爾溝到理縣的步行平均速度為每小時(shí)x千米，請(qǐng)根據(jù)題意填寫(xiě)下表：

（2）根據(jù)題意及表中所得的信息列方程，并求出先遣分隊(duì)徒步從理縣到汶川的平均速度是每小時(shí)多少千米？［2］

錯(cuò)誤剖析：本例題目較長(zhǎng)要求學(xué)生正確從題目中提煉出正確地相等關(guān)系，而設(shè)計(jì)的表格填空是為了降低難度讓學(xué)生更容易找出相等關(guān)系。由于學(xué)生未能正確讀表格，讓表格成為不少學(xué)生的“攔路虎”，不能正確填出表格導(dǎo)致錯(cuò)誤。其實(shí)應(yīng)用題的關(guān)鍵在于審題，這要求我們學(xué)生要多讀題目正確找出題中的兩個(gè)相等關(guān)系。解題時(shí)要“靜心”“耐心”“用心”，千萬(wàn)別“煩心”，只要用心做好“四心”，那你離解好應(yīng)用題就不會(huì)太遠(yuǎn)了。

（六）閱讀能力差，障礙重重［3］

閱讀理解題是近幾年各地中考的熱門試題之一，它常以一段文字的形式出現(xiàn)，題目的形式與內(nèi)容較多，有舊知識(shí)的改變情景問(wèn)題的閱讀，也有新知識(shí)的閱讀（如舊課本所刪掉的知識(shí)、高中知識(shí)等）。讓學(xué)生閱讀后理解其內(nèi)容后總結(jié)出做法，再模仿其做法解決一些問(wèn)題。閱讀題可以充分考察學(xué)生的自學(xué)水平和知識(shí)的運(yùn)用能力。

例11.（2013年寧德市）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)一點(diǎn)分別作坐標(biāo)軸的垂線，若垂線與坐標(biāo)軸圍成矩形的周長(zhǎng)與面積相等，則這個(gè)點(diǎn)叫做“和諧點(diǎn)”．

如圖1，矩形ABOC的周長(zhǎng)與面積相等，則點(diǎn)A是“和諧點(diǎn)”

（1）判斷點(diǎn)E（2，3），F(xiàn)（4，4）是否為“和諧點(diǎn)”；

錯(cuò)誤剖析：本例主要講解一個(gè)簡(jiǎn)單定義，相對(duì)于題目較長(zhǎng)的閱讀題來(lái)講內(nèi)容少，比較集中沒(méi)有多余的字眼。學(xué)生容易解出第一小題，第二小題學(xué)生可以得出答案，但容易將答案漏掉。此題主要考查了新定義以及反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用以及一元二次方程的解法，根據(jù)定義得出正確信息是解題關(guān)鍵．

（七）識(shí)圖能力差，難解題意［3］

打開(kāi)每份中考試題，里面五花八門、各式各樣的圖形都有，識(shí)圖也是學(xué)生需掌握的一項(xiàng)基本技能。初中數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的圖形有幾何圖、坐標(biāo)圖、示意圖、實(shí)物圖等，這些圖形使試卷更加鮮活生動(dòng)。但如何在各類圖形中正確找出相關(guān)的信息，是要求學(xué)生要有一個(gè)穩(wěn)定的知識(shí)基礎(chǔ)與過(guò)硬的解題能力。坐標(biāo)軸則是最常見(jiàn)的一種圖形，但對(duì)于不同的坐標(biāo)所表示的意義也是不同的。同一個(gè)內(nèi)容在坐標(biāo)軸中用不同的單位長(zhǎng)度來(lái)表示，所呈現(xiàn)的圖形也是不一樣的。最常見(jiàn)的在坐標(biāo)軸上體現(xiàn)業(yè)績(jī)時(shí)，人們常會(huì)將縱坐標(biāo)的單位長(zhǎng)度進(jìn)行變化，讓圖像上升的趨勢(shì)顯得更陡，給人以業(yè)績(jī)?cè)鲩L(zhǎng)得快的感覺(jué)。

例12.（2005年寧德市）17．某山區(qū)今年6月中旬的天氣情況是：前5天小雨，后5天暴雨。那么反映該地區(qū)某河流水位變化的圖像大致是（）［2］

錯(cuò)誤剖析：本例要求學(xué)生明白小雨與暴雨的雨量的大小對(duì)河流水位的變化是不同的，顯然B、C是錯(cuò)誤的，而暴雨的雨量大，水位變化大，因此圖形更陡，所以選A。

二、對(duì)策與建議

（一）正確對(duì)待“錯(cuò)誤”

“錯(cuò)誤”往往是正確、成功的開(kāi)始，我們教師要善于“捕捉”學(xué)生學(xué)習(xí)中方方面面知識(shí)的錯(cuò)誤點(diǎn)［4］，并及時(shí)做好錯(cuò)例登記與分析，并將其轉(zhuǎn)化為教學(xué)中的例題進(jìn)行講解。同時(shí)在教學(xué)是要積極鼓勵(lì)學(xué)生認(rèn)真對(duì)待錯(cuò)誤、分析錯(cuò)誤，充分利用錯(cuò)誤資源，并將其轉(zhuǎn)化為學(xué)習(xí)中的重要資源。

（二）了解錯(cuò)誤產(chǎn)生的原因

1.外因：由于小學(xué)升初中我們對(duì)學(xué)生的認(rèn)知水平和教學(xué)要求都有所不同，特別是初中字母的引入會(huì)妨礙學(xué)生學(xué)習(xí)初中的新知識(shí)（學(xué)生經(jīng)常會(huì)在“用字母表示數(shù)”和代數(shù)式的計(jì)算后開(kāi)始產(chǎn)生許多的錯(cuò)誤）。另外，一些學(xué)生的粗心大意、審題不清、解題丟三落四也容易產(chǎn)生錯(cuò)誤，還有數(shù)學(xué)的符號(hào)問(wèn)題再加上考試時(shí)的緊張也會(huì)出現(xiàn)一些不該錯(cuò)的地方出現(xiàn)錯(cuò)誤，出現(xiàn)失分。

2.內(nèi)因：首先，學(xué)生知識(shí)未掌握清楚，特別是學(xué)生一些概念、定理、公式等只了解皮毛，但學(xué)生卻往往自認(rèn)為掌握不錯(cuò)，就沒(méi)有進(jìn)一步鞏固，容易出現(xiàn)知識(shí)的“假掌握”，進(jìn)而常常未能真正運(yùn)用自如地解題。其次，由于初中的知識(shí)點(diǎn)比小學(xué)的知識(shí)點(diǎn)增加許多，但學(xué)生只了解這些知識(shí)點(diǎn)，沒(méi)有將知識(shí)進(jìn)行歸納、對(duì)比，以便形成知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)化、系統(tǒng)化，這樣就容易出現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)之間的相互干擾。知識(shí)的相互干擾也是學(xué)生產(chǎn)生錯(cuò)誤的主要來(lái)源之一。［5］

（三）加強(qiáng)學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)與解題指導(dǎo)

只有牢固的數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)才是學(xué)好數(shù)學(xué)知識(shí)的根本，因此教學(xué)要從基礎(chǔ)抓起，課堂內(nèi)要豐富基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)，讓學(xué)生真正的掌握牢固的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)而徜徉于數(shù)學(xué)知識(shí)的海洋。另外，不少學(xué)生不懂正確地讀題、解題也是導(dǎo)致錯(cuò)誤的原因。因此，要求教師要善于總結(jié)各類題型并做好這些題型的解題指導(dǎo)，讓學(xué)生遇題“不慌”、冷靜的解決問(wèn)題。

總之，面對(duì)“錯(cuò)誤”師生都要做好充分地準(zhǔn)備去迎接它，讓其“變廢為寶”，創(chuàng)造性地在運(yùn)用好“錯(cuò)誤”資源，讓學(xué)生在“錯(cuò)誤”中健康成長(zhǎng)。

參考文獻(xiàn)：

［1］顧香才.從學(xué)生的解題錯(cuò)誤透視教師的教學(xué)失誤——一次質(zhì)量分析座談會(huì)的記錄［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)（中學(xué)版），2006(4) .

［2］2005-2013年福建省寧德市初中畢業(yè)升學(xué)考試（數(shù)學(xué)卷）.

［3］王后雄.初中數(shù)學(xué)考試失分點(diǎn)例析［M］.北京：龍門書(shū)局出版，2002.

［4］曹少華.從“錯(cuò)誤”中生成新的學(xué)習(xí)［J］.福建教育，2004（4）.

［5］王保順.初中學(xué)生數(shù)學(xué)解題錯(cuò)誤原因及對(duì)策［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)（中學(xué)版），2008（3）.

中圖分類號(hào)：G630

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1673-9884（2016）03-0028-04

收稿日期：2015 - 12 - 26

作者簡(jiǎn)介：趙鄭國(guó)（1977-），男，福建柘榮人，柘榮縣第三中學(xué)一級(jí)教師。