耿忠娟

摘 要：在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，解題是必不可少的活動，且需要師生共同參與。因?yàn)閷W(xué)生學(xué)習(xí)了某些數(shù)學(xué)知識未必能夠駕馭這些知識?？梢姡獯饠?shù)學(xué)題需要的是數(shù)學(xué)思維能力，同時(shí)也能發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，本文從四個(gè)方面闡述了如何培養(yǎng)高中生的數(shù)學(xué)解題能力。

關(guān)鍵詞：解題能力；數(shù)學(xué)思維； 解題方法

中圖分類號：G63 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1673-9132（2016）32-0065-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2016.32.041

近幾年來，高考數(shù)學(xué)突出考查學(xué)生在理解、掌握知識的基礎(chǔ)上嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评砟芰?，同時(shí)注重考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力、空間想象能力、邏輯思維能力、創(chuàng)新應(yīng)用能力，進(jìn)而體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的工具性和應(yīng)用性。因此，培養(yǎng)學(xué)生的解題能力是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重中之重。我在本文中就如何培養(yǎng)學(xué)生的解題能力，談幾點(diǎn)具體的看法。

一、讓學(xué)生養(yǎng)成認(rèn)真審題的好習(xí)慣，提高審題能力

數(shù)學(xué)問題包括已知條件和需要解決的問題兩部分，審題就是要求學(xué)生對條件和問題進(jìn)行全面認(rèn)識，對與條件和問題有關(guān)的知識點(diǎn)進(jìn)行分析。有的學(xué)生的讀題習(xí)慣是快速讀題，然后找尋思路，找不到思路后，再次讀題，這樣反而浪費(fèi)時(shí)間；有的學(xué)生是僅僅讀題目的文字，沒有分析題目多給的已知條件和需要解決的問題。因此我個(gè)人認(rèn)為，審題時(shí)要慢并將題目中的關(guān)鍵詞關(guān)鍵量做出標(biāo)記，同時(shí)審題時(shí)要注意題目中的隱含條件。另外，還要邊審題邊分析題，讀到題目的已知條件要想和該條件相關(guān)的基礎(chǔ)知識點(diǎn)，以便找到解決問題的思路。有些問題從已知條件中不能很快找尋到思路時(shí)，就要看題目中的問題，由問題想解決該問題需要知道哪些條件，進(jìn)而尋找解決問題的突破口。

例1.在 中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，

已知

（1）求的值。

（2）若，求邊c的值。

[審題分析]（1）先化單角為半角再求單角三角函數(shù)值。

（2）a2+b2=4（a+b）-8中隱藏特殊平方關(guān)系可求a，b，用余弦定理求c。

[解]（1）由已知得，

即

由，得

即

兩邊平方得

（2）由>0，

得即，

則由，得.

由a2+b2=4（a+b）-8，得（a-2）2+（b-2）2=0，則a=2，b=2。

由余弦定理得，

所以.

在本題的審題中，要注意三角形中及三角函數(shù)式所隱含的角的限制。挖掘出的隱含條件和特殊特征有可能是撬動問題解決和發(fā)現(xiàn)簡捷解法的關(guān)鍵，這項(xiàng)工作有時(shí)不難，有時(shí)有一定困難，但只要有意識地注意它，有意識地訓(xùn)練，并掌握基礎(chǔ)知識和解題規(guī)律，是不難做到的。

二、引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，尋求解題途徑

數(shù)學(xué)問題由兩部分組成：已知條件和需要解決的問題，這兩者之間有內(nèi)在的邏輯聯(lián)系和必然的因果關(guān)系。解數(shù)學(xué)題的過程，就是靈活運(yùn)用所學(xué)知識，去尋求這種聯(lián)系和關(guān)系的過程，尋求到了這種邏輯聯(lián)系也就找到了由條件到結(jié)果的途徑。尋找解題途徑的方法主要有綜合法和分析法，常用的有等價(jià)轉(zhuǎn)化、特殊化、一般化、歸納、類比等方法。解題時(shí)運(yùn)用這些特有方法尋找解題途徑是否奏效，關(guān)鍵在于是否能靈活地運(yùn)用和大膽試探。

例2.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=m，前m項(xiàng)和Sm=n（m>n），求它的前m+n項(xiàng)的和Sm+n.

[審題分析]

（1）這樣只要求出即可.

（2）由可以構(gòu)造出，并求出。

[解]設(shè)的公差為d，則由Sn=m， Sm=n（m>n）得

兩式相減得

本題的解法突出了整體思想，要求學(xué)生要掌握公式，善于觀察結(jié)構(gòu)特征。通過問題的結(jié)構(gòu)特征采用適合的方法。發(fā)現(xiàn)問題的規(guī)律是提高解題能力的重要過程，對于所考察的知識點(diǎn)或者根據(jù)題型進(jìn)行規(guī)律的總結(jié)，并將這些規(guī)律應(yīng)用于新的問題，如解決三角函數(shù)的問題要先觀察角，解決數(shù)列問題要先觀察項(xiàng)數(shù)等。

三、指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想 尋找解題思路

數(shù)學(xué)是一門思維學(xué)科，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法來尋求解題思路，往往會事半功倍。函數(shù)與方程思想能夠解決函數(shù)、不等式和方程等知識的綜合問題；數(shù)形結(jié)合思想能夠使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)；分類討論思想是“化整為零，各個(gè)擊破，再積零為整”的解題策略；轉(zhuǎn)化與化歸思想能夠?qū)?fù)雜的問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題，將未解決的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已知解決的問題。

學(xué)生的解題活動最能影響他們的思維發(fā)展，要使數(shù)學(xué)解題活動在發(fā)展學(xué)生思維方面取得最佳效果，還必須合理地控制學(xué)生的解題活動，即在教師的指導(dǎo)下，由學(xué)生獨(dú)立地探索解題。

四、培養(yǎng)學(xué)生在解題后進(jìn)行反思的習(xí)慣

待解決問題之后，再對自己的解題活動加以回顧與探討、分析與研究，是非常必要的一個(gè)環(huán)節(jié)，這是數(shù)學(xué)解題過程的最后階段，也是提高學(xué)生解題能力最有意義的階段。解題過程反思包括：反思問題中的隱含條件和結(jié)構(gòu)特征是否被挖掘，反思解題過程的分析與推理是否合理，反思解答過程是否完備，反思解題思路是否最簡。學(xué)生通過對解題的結(jié)果和解題思路進(jìn)行細(xì)致分析，對解題的主要思想、關(guān)鍵因素和同一類型問題的解法進(jìn)行概括，從解題中總結(jié)歸納出數(shù)學(xué)的基本思想和基本方法，并將它們運(yùn)用到新的問題中去。

例3.過點(diǎn)P（1，-2）引圓x2+y2=1的切線，求切線方程。

[錯(cuò)解]設(shè)過點(diǎn)P（1，-2）的圓的切線方程為y+2=k（x-1），則圓心O（0，0）到切線的距離等于圓的半徑. 即，解得。

切線方程為3x+4y+5=0。

[答案]x=1和3x+4y+5=0

[反思]（1）如何通過檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)題有錯(cuò)？此題可以用幾何作圖進(jìn)行驗(yàn)證，點(diǎn)在圓外，切線有兩條，上述解法丟解了。

（2）丟解說明推理不合理，解答不完備，解題不合理的原因是什么？此題設(shè)直線方程時(shí)就埋下可能丟解的隱患，根本原因在于直線方程的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式等四種形式都不能夠表示平面內(nèi)所有直線，所以使用某種形式的方程時(shí)，該方程不能表示的直線情形必須另外討論。

反思能溝通知識間的聯(lián)系，促進(jìn)知識的同化和遷移，深化對知識的理解，有利于在原有的基礎(chǔ)上建立更高層次的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，進(jìn)而產(chǎn)生新的發(fā)現(xiàn)，反思能使我們的解題水平和思維水平不斷上升，并形成良好的思維品質(zhì)和科學(xué)的思維模式。

總之，解題并不僅是為了求得問題的結(jié)果，真正的目的是提高學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識、分析問題和解決問題的能力，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新精神，提升他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，而這種數(shù)學(xué)素養(yǎng)在學(xué)生獨(dú)自完成作業(yè)中能夠得到提高，所以，我們有必要處理好知識教學(xué)與解題教學(xué)的關(guān)系，在平時(shí)教學(xué)中，注重培養(yǎng)學(xué)生的解題能力，發(fā)展他們的數(shù)學(xué)思維，使數(shù)學(xué)教學(xué)效果得到明顯改善。

參考文獻(xiàn)：

[1] 曹一鳴，張生春.數(shù)學(xué)教學(xué)論.北京師范大學(xué)出版社，2008.

[2] 新課標(biāo)高考2015高考總復(fù)習(xí)一輪用書.首都師范大學(xué)出版社，2015.

[責(zé)任編輯 趙景霞]