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        例談初中數(shù)學(xué)幾何綜合問題的解題方法

        2016-05-28 09:15:46鄭波
        考試周刊 2016年30期
        關(guān)鍵詞:解題方法類型初中數(shù)學(xué)

        鄭波

        摘 要: 初中數(shù)學(xué)中的幾何問題不僅是平時(shí)教學(xué)中的重點(diǎn),而且是中考中必考的知識點(diǎn),在中考中它往往以壓軸題出現(xiàn),因此,在平時(shí)的教學(xué)中我們要關(guān)注這類題.本文從作者的教學(xué)實(shí)踐出發(fā),結(jié)合具體的中考實(shí)例談?wù)劤踔袛?shù)學(xué)幾何綜合問題的解題方法,其中主要包括從特殊到一般的解題方法和根據(jù)題干建立聯(lián)系的方法.

        關(guān)鍵詞: 初中數(shù)學(xué) 幾何綜合題 解題方法 類型

        幾何綜合題常常和運(yùn)動(dòng)問題結(jié)合起來,在題設(shè)圖形中存在一個(gè)或多個(gè)動(dòng)點(diǎn),甚至是一個(gè)圖形,它們在線段、射線或弧線上運(yùn)動(dòng)的一類開放性題目.解決這類問題的關(guān)鍵是動(dòng)中求靜,靈活運(yùn)用有關(guān)數(shù)學(xué)知識,如平移、旋轉(zhuǎn)、對稱和運(yùn)動(dòng)過程中的面積變化關(guān)系等解決問題.在加入運(yùn)動(dòng)問題的同時(shí),幾何綜合問題又可以大致分為兩類,一類是幾何綜合題,一類是代數(shù)和幾何型綜合題.這兩類題目不僅有各自的特點(diǎn),還有一些共同點(diǎn),下面筆者一一分析、闡述.

        類型一:幾何綜合題

        1.概念分析

        幾何型綜合題是指以幾何知識為主或以幾何變換為主的一類綜合題,涉及知識主要包括幾何的定義、公理、定理及幾何變換等內(nèi)容.

        2.解題策略

        解決幾何型綜合題的關(guān)鍵是把代數(shù)知識與幾何圖形的性質(zhì)及計(jì)算與證明有機(jī)融合起來,進(jìn)行分析、推理,從而達(dá)到解決問題的目的.概括來講就是采用從特殊到一般的解題方法.

        3.例題展示

        (2015·湖州)已知在△ABC中,AB邊上的動(dòng)點(diǎn)D由A向B運(yùn)動(dòng)(與A,B不重合),點(diǎn)E與點(diǎn)D同時(shí)出發(fā),由點(diǎn)C沿BC的延長線方向運(yùn)動(dòng)(E不與C重合),連接DE交AC于點(diǎn)F,點(diǎn)H是線段AF上一點(diǎn).

        (1)初步嘗試

        如圖1,若△ABC是等邊三角形,DH⊥AC,且點(diǎn)D,E的運(yùn)動(dòng)速度相等.求證:HF=AH+CF.

        小王同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以由以下兩種思路解決此問題:

        思路一:過點(diǎn)D作DG∥BC,交AC于點(diǎn)G,先證GH=AH,再證GF=CF,從而證得結(jié)論成立;

        思路二:過點(diǎn)E作EM⊥AC,交AC的延長線于點(diǎn)M,先證CM=AH,再證HF=MF,從而證得結(jié)論成立.

        請你任選一種思路,完整地書寫本小題的證明過程.

        (2)類比探究

        (3)延伸拓展

        4.例題分析

        類型二:代數(shù)和幾何型綜合題

        1.概念分析

        代數(shù)和幾何型綜合題是指以代數(shù)知識與幾何知識綜合運(yùn)用為主,包括坐標(biāo)系中的圖形變換等的一類綜合題,涉及知識以函數(shù)與圓、方程,函數(shù)與三角形、四邊形等相關(guān)知識為主.

        2.解題策略

        幾何圖形形象直觀,解題過程的可操作性強(qiáng),因此解決這類題目時(shí)可以采用數(shù)形結(jié)合的思想.概括來講就是根據(jù)題干建立適當(dāng)聯(lián)系.

        3.例題展示

        (2015·衡陽)如圖,四邊形OABC是邊長為4的正方形,點(diǎn)P為OA邊上任意一點(diǎn)(與點(diǎn)O,A不重合),連接CP,過點(diǎn)P作PM⊥CP交AB于點(diǎn)D,且PM=CP,過點(diǎn)M作MN∥OA,交BO于點(diǎn)N,連接ND,BM,設(shè)OP=t.

        (1)求點(diǎn)M的坐標(biāo)(用含t的代數(shù)式表示);

        (2)試判斷線段MN的長度是否隨點(diǎn)P的位置的變化而改變?并說明理由;

        (3)當(dāng)t為何值時(shí),四邊形BNDM的面積最小?

        結(jié)語

        縱觀以上分析,我們發(fā)現(xiàn)要想掌握好幾何綜合性問題,不僅要將課本基本知識熟記于心,還要掌握一定的思想方法,比如:分類討論思想、函數(shù)思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想等,在掌握這些內(nèi)容后,還要把握“運(yùn)動(dòng)”的要義,不管是點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)、線的運(yùn)動(dòng)、面的運(yùn)動(dòng),都要熟悉,只有這樣才能在考試中取得好成績.

        參考文獻(xiàn):

        [1]王義兵.淺談初中數(shù)學(xué)中函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用問題[J].中學(xué)數(shù)學(xué),2012,24.

        [2]李長軍,徐毅.解析幾何學(xué)習(xí)中應(yīng)注意的幾個(gè)問題[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2005,08.

        [3]張宏政.代數(shù)與幾何綜合問題[J].中學(xué)生數(shù)理化(初中版,中考版),2009,06.

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