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        對(duì)初中數(shù)學(xué)實(shí)踐操作性題型的探究

        2016-05-23 11:16:20李小兵福建南安延平中學(xué)福建南安362300
        關(guān)鍵詞:思考能力解題能力素質(zhì)教育

        李小兵(福建南安延平中學(xué) 福建南安 362300)

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        對(duì)初中數(shù)學(xué)實(shí)踐操作性題型的探究

        李小兵
        (福建南安延平中學(xué)福建南安362300)

        摘要:素質(zhì)教育越來(lái)越重視對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思考能力和解決問(wèn)題能力的發(fā)展性評(píng)價(jià),要使學(xué)生真正做到學(xué)以致用,學(xué)有所用。

        關(guān)鍵詞:素質(zhì)教育 實(shí)踐操作性試題 思考能力 解題能力

        實(shí)踐操作性試題逐漸成為中考命題的熱點(diǎn),特別是近些年各地?cái)?shù)學(xué)中考的壓軸題都是以這類(lèi)題型為主。根據(jù)泉州市的《考試說(shuō)明》,我們更應(yīng)該關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)“雙基”的結(jié)果與過(guò)程,重視對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思考能力和解決問(wèn)題能力的發(fā)展性評(píng)價(jià),我市中考數(shù)學(xué)命題也更多地立足于“能力立意”,體現(xiàn)“過(guò)程的教育”理念,倡導(dǎo)在“過(guò)程”中培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和應(yīng)用意識(shí),回歸本源、強(qiáng)化課堂、培養(yǎng)思維。

        題目來(lái)源于:南安市2013—2014學(xué)年度上學(xué)期初中期末教學(xué)質(zhì)量抽查初三數(shù)學(xué)試題,第26題,作為一個(gè)壓軸題,本題不僅考查了數(shù)形結(jié)合思想,還考查了轉(zhuǎn)化化歸思想,考查了運(yùn)動(dòng)變化思想、分類(lèi)討論思想等。首先,本題有著很明確的操作程序,工具簡(jiǎn)單,因此,如果學(xué)生在解題的過(guò)程中能拿相應(yīng)的工具進(jìn)行操作,則會(huì)有不錯(cuò)的效果及收獲。

        本題的第一步是填寫(xiě)PC與PD兩線(xiàn)段的大小關(guān)系(如圖1),答案并不是所有學(xué)生都能在看了一眼之后就能填定出來(lái)的。對(duì)于學(xué)習(xí)好的學(xué)生來(lái)說(shuō),第一步可能不會(huì)有什么問(wèn)題的,但底子差的學(xué)生就很會(huì)感覺(jué)到這題是很有難度的,所以尋找合適的解決辦法就相當(dāng)關(guān)鍵了。有個(gè)別學(xué)生跟我說(shuō),我是用尺子量了,看著它們是差不多長(zhǎng)的,所以填了“等于號(hào)”了。對(duì)于此情況,我給予肯定的回答,思路是正確的。相對(duì)來(lái)說(shuō),在這些考試中,圖形準(zhǔn)確性更高些,有時(shí)候可以通過(guò)最簡(jiǎn)單的方式去得到一個(gè)推測(cè)的結(jié)果,這也是解決問(wèn)題的一個(gè)方向。我們?cè)賴(lài)@著這個(gè)結(jié)果展開(kāi)思考,就可以找到解決問(wèn)題的路了。數(shù)學(xué)就是要鼓勵(lì)學(xué)生學(xué)會(huì)進(jìn)行假設(shè)的,再進(jìn)行證明。

        要證明兩線(xiàn)段的相等,就尋找解決這個(gè)問(wèn)題的方法。在證明線(xiàn)段相等的方法中,常用的方法主要有:1、這兩線(xiàn)段是全等三角形的對(duì)應(yīng)邊,2、是等腰三角形的兩腰(等角對(duì)等邊),3、它們都等于第三條線(xiàn)段(轉(zhuǎn)移轉(zhuǎn)換),4、它們表示角平分線(xiàn)到角兩邊的距離,5、它們表示線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)到線(xiàn)段兩端的距離。而這些方法中以方法1更為常見(jiàn),也相對(duì)更容易理解。學(xué)生在尋找解決方法的同時(shí),也要分析著題中所包含的條件,以尋找合適的解決方案。當(dāng)題目可以用多個(gè)可選解決方案時(shí)應(yīng)該先用自己熟悉的方式方法進(jìn)行思考。

        綜合分析題目的已知條件,可以提供的只有一個(gè)直角的角平分線(xiàn),所以,在以上的幾個(gè)方法中,證明三角形的全等可以說(shuō)是一個(gè)不錯(cuò)的選擇,可三角形在哪兒呢?在解決問(wèn)題的過(guò)程中,有時(shí)添輔助線(xiàn)是必不可少的。構(gòu)造出對(duì)我們解決問(wèn)題有幫助的三角形來(lái)是很有必須的。構(gòu)造的要點(diǎn):這兩個(gè)三角形要有些元素是相等的,如邊或角,同時(shí)還應(yīng)該讓我們需要證明相等的兩線(xiàn)段是作為對(duì)應(yīng)邊出現(xiàn)的。因此,學(xué)生要仔細(xì)分析題中可以用的條件,即明說(shuō)或是暗示的相等條件,并找出這些條件對(duì)于我們的幫助是什么。本題中出現(xiàn)的有關(guān)于相等的條件只有一個(gè),那就是角平分線(xiàn),作用是什么呢?1、角被平分,產(chǎn)生兩角相等,2、角平線(xiàn)上的點(diǎn)到兩邊的距離相等。本題的證明就是利用角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊距離相等這一定理構(gòu)造出兩個(gè)三角形,從P點(diǎn)作角兩邊的垂線(xiàn)段,從而產(chǎn)生了兩個(gè)直角三角形,又讓PC、PD作為對(duì)應(yīng)邊出現(xiàn),這離我們證明三角形全等所需條件就差不多了,只要再稍加尋找相應(yīng)條件便可以解決。

        第2題的難度相對(duì)較大,這是個(gè)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題,只要能緊扣不變量,動(dòng)中取靜,找出哪些量或關(guān)系始終不變的,便能很好地解決問(wèn)題了。這個(gè)也是解決所有動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的關(guān)鍵,如果思路老跟著動(dòng)點(diǎn)到處跑,那肯定是沒(méi)辦法解決的。同時(shí)還要善于使用前題所采用的方法或結(jié)論。

        我是這樣講解此題的,讓學(xué)生按題目的要求,操作三角板,找出可能出現(xiàn)的結(jié)果。其中,特別注意加點(diǎn)的字,即 “直線(xiàn)”O(jiān)A。因?yàn)橹本€(xiàn)與射線(xiàn)的差別,結(jié)果的數(shù)量可能就產(chǎn)生變化了。操作過(guò)程中即可直觀地發(fā)現(xiàn),符合情況的結(jié)果可能有兩個(gè),第一個(gè)為D點(diǎn)在O點(diǎn)的右邊,第二個(gè)為D點(diǎn)在O點(diǎn)的左邊,結(jié)合這兩個(gè)結(jié)果畫(huà)出圖形并進(jìn)行詳細(xì)分析。

        第一種情況:D點(diǎn)在O點(diǎn)的右邊(如圖2),同時(shí)以P,C,E為頂點(diǎn)的三角形與△OCD相似時(shí),即讓△PCE∽△ODC。由此可得,OC =OE=1,則所求的OP即可看成△PCE的斜邊上的中線(xiàn),故CE=2OP,OP=1。

        第二種情況:D點(diǎn)在O點(diǎn)的左邊,即PD與邊OB的反向延長(zhǎng)線(xiàn)相交(如圖3)。

        此情況對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)較難入手,OP似乎不容易算出來(lái),所以,此時(shí)應(yīng)該有個(gè)清楚的思路,將OP轉(zhuǎn)移出來(lái),用一條更容易計(jì)算的線(xiàn)段來(lái)進(jìn)行代替,或是找出有相關(guān)的線(xiàn)段來(lái)代替。

        如圖3。過(guò)P作PH⊥OA,PN⊥OB,目的是構(gòu)造出全等的三角形,以達(dá)到對(duì)線(xiàn)段的轉(zhuǎn)移的目的。

        由△PCE與△OCD相似,可以推導(dǎo)得到∠PCE=∠OCD;

        Rt△PHC和Rt△PND中,有∠PCE=∠PDN(等角的余角相等可得),PH=PN,

        所以Rt△PHC≌Rt△PND(A.A.S.),可得:PC=PD,CH=DN。

        由此可得:∠PCO=∠DCO=∠PDO =22.5°

        又∠BOM=∠ODP+∠OPD=45°

        ∴∠ODP=∠OPD=22.5°

        ∴OP=OD,

        目的:要計(jì)算的OP就轉(zhuǎn)化到直角三角形的邊或是邊的一個(gè)組成部分,CH=CO-HO,DN=DO+ON=OP+ON,接下來(lái)只需設(shè)OP=x ,便可解出答案來(lái)。

        在題目中尋找多解的信息圖形在運(yùn)動(dòng)變化,可能滿(mǎn)足條件的情形不止一種,也就是通常所說(shuō)的兩解或多解,如何避免漏解也是一個(gè)令考生頭痛的問(wèn)題,讓他們動(dòng)起手來(lái),他們?cè)趧?dòng)的過(guò)程中進(jìn)行思考分析,即可尋求相應(yīng)的結(jié)果,做到不重不漏。

        本題第2小題的難度比較大。出此題的本意應(yīng)該是要用來(lái)區(qū)分尖子生與一般的優(yōu)秀生,但就結(jié)果來(lái)看,學(xué)生思考此題的過(guò)程中是遇到了不少困難。動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的思考方法應(yīng)該讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中自主思考,主要是注重思維的鍛煉,否則,再遇到動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題,學(xué)生依舊是毫無(wú)頭緒。

        本題為初三上學(xué)期的期末考試內(nèi)容,學(xué)生還未接觸圓的相關(guān)知識(shí),否則學(xué)生還可以通過(guò)圓的弧弦對(duì)應(yīng)關(guān)系等知識(shí)解決,甚至能更簡(jiǎn)單的,學(xué)生的思考上也會(huì)有更多的選擇和方向。

        參考文獻(xiàn)

        [1]封冰.初中數(shù)學(xué)素質(zhì)教育下的“五主體思想”[J].中學(xué)教學(xué)參考, 2010, 第16期:64-64.

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