盧孔兆

[摘 要] 高三數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)課，要注重復(fù)習(xí)的有效性，讓學(xué)生更好地理解所學(xué)的知識(shí)，把握數(shù)學(xué)的本質(zhì).兩個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)案例的對(duì)比讓變式教學(xué)的優(yōu)勢(shì)躍然紙上.變式教學(xué)符合新課改的理念，符合時(shí)代發(fā)展的需要，讓新時(shí)代的學(xué)生在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的課堂上依然能演繹自己的精彩，自主和諧地學(xué)習(xí).變式教學(xué)是提升數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課有效性的一把金鑰匙.

[關(guān)鍵詞] 變式教學(xué) 有效性 變式教學(xué)模式

[中圖分類(lèi)號(hào)] G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1674 6058（2016）17 0005

提升數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課有效性是教師們一如既往所追求的目標(biāo).本文對(duì)兩個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)案例進(jìn)行對(duì)比，從而引發(fā)思考：在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中如何讓學(xué)生更好地理解所學(xué)的知識(shí)，把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)？通過(guò)對(duì)比不難看出變式教學(xué)可以提高高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的有效性，也是提升復(fù)習(xí)課有效性的一把金鑰匙.本文主要從變式教學(xué)模式符合時(shí)代發(fā)展的需要以及讓學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂同樣能“百花齊放，百家爭(zhēng)鳴”等方面進(jìn)行論述.

一、案例概述

案例1 （由師1執(zhí)教）

（1）回憶拋物線的定義及其幾何意義.

（2）引導(dǎo)學(xué)生用拋物線的定義解決問(wèn)題（給出五個(gè)小題）.

（3）實(shí)例點(diǎn)撥.

【例1】 根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，寫(xiě)出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.

（1）x2=- 3 2 y （2）4x-3y2=0 （3）y2=4ax（a≠0）

剖析： 解題只需對(duì)照方程，確定焦點(diǎn)位置和待定系數(shù)p以及進(jìn)行簡(jiǎn)單的討論.

【例2】 已知拋物線c：y2=2x的焦點(diǎn)F，點(diǎn)P拋物線c上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)A（2， 1 2 ）.求|PF|+|PA|的最小值.

剖析： 本題只需利用拋物線的定義將|PF|的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化到點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離|PQ|（其中Q為點(diǎn)P在準(zhǔn)線上的投影），然后|PF|+|PA|的最小值就是點(diǎn)A，P，Q在同一條直線上的時(shí)候取得，即（|PF|+|PA|）min= 5 2 .

【例3】 拋物線y2=2px（p>0）上有兩動(dòng)點(diǎn)A，B及一個(gè)定點(diǎn)M，F(xiàn)為焦點(diǎn)，若|AF|，|MF|，|BF|成等差數(shù)列，求證：線段AB的垂直平分線過(guò)定點(diǎn)Q.

解： 設(shè)A（x1，xy1），B（x2，y2），M（x0，y0），則|AF|=x1+ p 2 ，|BF|=x2+ p 2 ，|MF|=x0+ p 2

，由題意得x0= x1+x2 2 .∴AB的中點(diǎn)坐標(biāo)可設(shè)為（x0，t），其中t= y1+y2 2 ≠0

（否則|AF|=|MF|=|BF|p=0）.

故AB的垂直平分線為y-t= t p （x-x0），即t（x-x0-p）+yp=0，可知其過(guò)定點(diǎn)Q（x0+p，0）.

鞏固練習(xí)：（5個(gè)同步練習(xí)）.

案例2 （由師2執(zhí)教）

（1）由問(wèn)題形式給出，學(xué)生通過(guò)做題回憶拋物線的定義及其幾何意義.

問(wèn)題1：求滿(mǎn)足焦點(diǎn)在直線x-2y-4=0上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

變式1：從上式兩條拋物線中選擇一條，如y2=16x，且其上有兩動(dòng)點(diǎn)A、B及一個(gè)定點(diǎn)M，F(xiàn)為焦點(diǎn)，若|AF|，|MF|，|BF|成等差數(shù)列，求證：線段AB的垂直平分線都過(guò)定點(diǎn)Q，并求出定點(diǎn)Q.

變式2：若拋物線變?yōu)閥2=2px，求證：線段AB的垂直平分線過(guò)定點(diǎn)Q（證明同案例1）.

評(píng)析： 變式1的引入讓學(xué)生更好地理解問(wèn)題，思考問(wèn)題，從而自主地解決問(wèn)題.

問(wèn)題2：過(guò)拋物線y2=2px的焦點(diǎn)的一條直線和此拋物線相交，兩個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y1，y2求證：y1y2=-p2.

變式1：若拋物線y2=2px上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A、B的縱坐標(biāo)分別是y1、y2且滿(mǎn)足y1y2=-p2，則直線AB經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F.

變式2：設(shè)M（a，0）是拋物線y2=2px對(duì)稱(chēng)軸上的一個(gè)定點(diǎn)，過(guò)M的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，其縱坐標(biāo)為y1，y2，求證y1y2是定值.

變式3：設(shè)拋物線y2=2px上面動(dòng)點(diǎn)A，B分別為（x1，y1）、（x2，y2）且滿(mǎn)足y1y2=k（k為常數(shù)），問(wèn)AB是否恒過(guò)某一定點(diǎn)？

變式4：設(shè)拋物線y2=2px的兩動(dòng)點(diǎn)A（x1，y2）、B（x2，y2），滿(mǎn)足y1y2=k（k是常數(shù)），求AB中點(diǎn)P的軌跡方程.

評(píng)析： 我們可以通過(guò)變式讓簡(jiǎn)單、單一的題目進(jìn)行變化，從而得到更為有效的、符合學(xué)生實(shí)際的而且令人耳目一新的命題.讓學(xué)生更加懂得思考，自主學(xué)習(xí)，創(chuàng)新學(xué)習(xí).

同樣的教學(xué)內(nèi)容，不同的處理方式，讓案例2變式教學(xué)的優(yōu)勢(shì)展現(xiàn)得淋漓盡致.學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程事實(shí)上是對(duì)新知識(shí)接納并且消化的過(guò)程.變式的引入連接了新知識(shí)和學(xué)生原來(lái)已經(jīng)掌握的舊知識(shí).為新舊知識(shí)搭起了通往“銀河”的“鵲橋”.或者說(shuō)給學(xué)生搭了通往知識(shí)殿堂的云梯.讓個(gè)性十足的學(xué)生更加自主，和諧地復(fù)習(xí)，從而更為有效地復(fù)習(xí).讓學(xué)生能自己拿起變式這把“鑰匙”來(lái)打開(kāi)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)這扇“大門(mén)”.

二、案例啟示

1.變式教學(xué)模式符合新時(shí)代發(fā)展的要求

新課程改革的春風(fēng)吹遍了祖國(guó)大地，選修課的實(shí)施更為其添光添彩.時(shí)代的發(fā)展在一定程度上也召喚著變式教學(xué)模式.世界各國(guó)課程改革發(fā)展趨勢(shì)的論述中就有一條強(qiáng)調(diào)講究學(xué)習(xí)方式和教學(xué)方式的多樣化.而變式教學(xué)就是克服并改變傳統(tǒng)教學(xué)單一的例題講解教學(xué)模式，在主要教學(xué)環(huán)節(jié)中，給學(xué)生搭建多層次的階梯，給出合理的情境，精心設(shè)計(jì)有利于學(xué)生自主學(xué)習(xí)，自主發(fā)展的變式題組.琳瑯滿(mǎn)目的各種變式既迎合了這個(gè)多彩的時(shí)代，也迎合了個(gè)性十足的新時(shí)代學(xué)生.簡(jiǎn)而言之，變式教學(xué)模式給學(xué)生鋪設(shè)了更好的情境，讓學(xué)生在情境中更好更有效地復(fù)習(xí).所以我們可以大膽地得出結(jié)論：它符合這個(gè)時(shí)代，也迎合這個(gè)時(shí)代的學(xué)生.

例題

： 求y= x2+3 x （x>0）

的最小值.

變式1：求y= x2+3 x+1 （x>0）

的最小值.

本小題可以令x+1=t得y=t+ 4 t -2

，然后再利用均值不等式求得答案為2.

變式2：已知在△ABC中，a=2，A=60°，求b+c的最大值：

變式3：在△ABC中，a=2，A=60°，求△ABC的內(nèi)切圓的半徑的最大值.

本小題先利用等面積法.求得r= 3 2 bc

b+c+2

，而利用余弦定理可以得到b2+c2=bc+4.分析r的表達(dá)式的形式為分子為二次，分母為一次.我們可以令b+c+2=t，結(jié)合條件求得r= 3 6 t- 2 3 3

，又因?yàn)椋╞+c）max=4，所以rmax= 3 3 .

剖析： 畏難情緒在現(xiàn)在學(xué)生中極為普遍，如果直接給出變式3，很多學(xué)生便自然會(huì)選擇放棄.增加了例題和變式1、變式2，為學(xué)生搭建了臺(tái)階，拓展了學(xué)生的思維，讓學(xué)生有信心、有勇氣把解題進(jìn)行到底.

2.變式教學(xué)模式讓學(xué)生“百花齊放，百家爭(zhēng)鳴”

其一，讓學(xué)生“百花齊放”（讓不同層次的學(xué)生都能對(duì)數(shù)學(xué)感興趣）.

例題：已知an= 1 n（n+1） ，求Sn.

變式1：已知an= 1 （2n-1）（2n+1）

，求Sn.

變式2：已知an= 1 n（n+2）

，求Sn.

變式3：已知an= 1 n（n+1）（n+2）

，求Sn.

變式4：已知an= 2n-1 （2n+1）（2n+1+1）

，求Sn.

剖析： 本題組是針對(duì)數(shù)列中的裂項(xiàng)相消法這種求和方式設(shè)計(jì)的，變式1為基礎(chǔ)題，要求全部學(xué)生掌握，變式2由于要隔項(xiàng)相消，難度中等，要求中等及以上的學(xué)生掌握，變式3，4的難度較大，要求基礎(chǔ)較好的學(xué)生掌握.

評(píng)析：變式的引入讓學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂上仍舊能感受到人文的關(guān)懷.感到自己依然沒(méi)有被數(shù)學(xué)遺忘從而激發(fā)對(duì)數(shù)學(xué)濃厚的興趣.

其二，讓學(xué)生“百家爭(zhēng)鳴”（讓學(xué)生自主且深刻理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)）.

例如：已知點(diǎn)P（x，y）滿(mǎn)足

評(píng)析： 變式很好地激發(fā)了學(xué)生的探究興趣，激活了學(xué)生的思維，讓學(xué)生勇于思考，勇于發(fā)言，真正做到“百家爭(zhēng)鳴”.培養(yǎng)了學(xué)生觀察問(wèn)題，分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力.同時(shí)也有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)難點(diǎn)的掌握與突破.

總之，變式教學(xué)是時(shí)代發(fā)展的需要，也是學(xué)生自主發(fā)展的需要，更是達(dá)到數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課有效性的需要.通過(guò)變式讓學(xué)生“百花齊放，百家爭(zhēng)鳴”.它不但能適應(yīng)并迎合不同層次的學(xué)生，而且能讓學(xué)生更積極、更深刻地思考各種數(shù)學(xué)問(wèn)題，把握數(shù)學(xué)的本質(zhì).讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)從不懂?dāng)?shù)學(xué)復(fù)習(xí)，不理解數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)到樂(lè)于數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)，善于數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的偉大轉(zhuǎn)變.讓學(xué)生在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課這一舞臺(tái)上精彩演繹自我的風(fēng)采，真正擁有變式這把“金鑰匙”，在數(shù)學(xué)上能更上一層樓.

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1]陳玉娟在變式教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)高中數(shù)學(xué)教與學(xué)2010，5

[2]王華民實(shí)施局部探究提升復(fù)習(xí)課的有效性數(shù)學(xué)通報(bào)2010，4

[3]邱云讓教材成為鮮活的學(xué)習(xí)素材高中數(shù)學(xué)教與學(xué)2009，7

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）