劉敏

摘 要： 本文應(yīng)用微分方程對(duì)微信營(yíng)銷信息傳播問(wèn)題進(jìn)行了分析，并對(duì)給出的數(shù)學(xué)模型做了改進(jìn).

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)建模 數(shù)學(xué)模型 微分方程 信息傳播

利用數(shù)學(xué)模型建模解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，是通過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言把其轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)思維的過(guò)程.本文探討了通過(guò)個(gè)人平臺(tái)銷售的微信營(yíng)銷的信息傳播建模問(wèn)題.

1.最簡(jiǎn)單的模型

某公司通過(guò)個(gè)人微信平臺(tái)進(jìn)行某品牌面膜的銷售，在t時(shí)刻獲知該產(chǎn)品信息的人數(shù)為I（t），每個(gè)獲知者在單位時(shí)間內(nèi)可以讓K個(gè)人獲知該產(chǎn)品信息.

假設(shè)：（1）一個(gè)獲知者在單位時(shí)間內(nèi)讓他人獲知的人數(shù)是常數(shù)；

（2）一人知情后，持續(xù)關(guān)注本產(chǎn)品信息.

由結(jié)果可知，這種信息傳播是依照指數(shù)函數(shù)的趨勢(shì)增加的，符合傳播初期獲知者依照指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng).但是由于當(dāng)t→+∞時(shí)，I（t）→+∞，這顯然是不符合實(shí)際的.假設(shè)（1）就不是很合理，因?yàn)閭鞑コ跗?，獲知者少，未獲知的多，而在傳播的中后期，獲知者慢慢增多，未獲知的逐漸減少，所以認(rèn)為一獲知者單位時(shí)間內(nèi)讓他人獲知的人數(shù)是常數(shù)不合理.我們修改假設(shè)建立新模型.

2.改進(jìn)的模型

原來(lái)的符號(hào)意義不變，用S（t）表達(dá)t時(shí)刻未獲知者的人數(shù)，n為總?cè)藬?shù).

假設(shè)：（1）一個(gè)獲知者在單位時(shí)間里讓他人獲知的人數(shù)與此時(shí)未獲知者人數(shù)成正比例關(guān)系，即K=θS（t）；

（2）一人知情后，持續(xù)關(guān)注本產(chǎn)品信息；

（3）總?cè)藬?shù)n不變，即S（t）+I（t）=n.

由以上假設(shè)得微分方程

■=θS（t）I（t），S（t）+I（t）=n，I（0）=i■.

用分離變量法得到解為

I（t）=■.（1）

令■=0得到極大值點(diǎn)為

t■=■（2）

由（2）式可知，當(dāng)產(chǎn)品信息傳播強(qiáng)度θ增加時(shí)，t■將變小，即產(chǎn)品信息傳播的高峰將來(lái)得較快，與實(shí)際符合.同時(shí)，若知道傳播強(qiáng)度θ，那么由（1）式可以得到傳播高峰到來(lái)的時(shí)刻，其對(duì)企業(yè)做出合理決策有益.

但是，此模型仍有不足之處，由（1）式，當(dāng)t→+∞時(shí)，I（t）→n，即最后人人都能獲知此品牌面膜產(chǎn)品信息，這又是不符合實(shí)際的，原因是在假設(shè)（2）中假定一人知情后持續(xù)關(guān)注本產(chǎn)品信息.所以模型還可以做進(jìn)一步改進(jìn).

3.再修改的模型

因?yàn)橛幸徊糠肢@知者關(guān)注此產(chǎn)品一段時(shí)間后，可能不再關(guān)注或是會(huì)失去興趣，轉(zhuǎn)而關(guān)注其他產(chǎn)品，而且不是每個(gè)獲知者都會(huì)把產(chǎn)品信息分享給其他人.

設(shè)獲知者不再關(guān)注產(chǎn)品信息后，永久不再關(guān)注.這樣，可把人群分為三類：（1）仍在關(guān)注此產(chǎn)品信息的獲知者，他們具有傳播性，時(shí)刻此類人數(shù)為B（t）；（2）未獲知者，他們?cè)谖磥?lái)一段時(shí)間有可能被獲知，t時(shí)刻此類人數(shù)為J（t）；（3）獲知者中不再關(guān)注且永久不再關(guān)注產(chǎn)品信息者和獲知者中暫時(shí)不再關(guān)注產(chǎn)品信息者，t時(shí)刻此類人數(shù)為M（t）.記N是人口總數(shù)，r是傳播率，γ是排除率.

假設(shè)：（1）總?cè)丝跀?shù)相對(duì)地保持不變；

（2）未獲知者人數(shù)的減少率與第一類人和第二類人的乘積成正比；

（3）第三類人的增加率與第一類人成正比；

（4）獲知者的增加率是第二類人數(shù)的減少率減第三類人數(shù)的增加率.

由以上假設(shè)，得到微分方程組

，B（t）為增函數(shù)，此產(chǎn)品面膜信息將很快被傳播；當(dāng)J=ρ時(shí)，B（t）達(dá)到最大值，即此產(chǎn)品面膜信息被傳播到最大值；若J<ρ，則此產(chǎn)品面膜信息將逐漸不會(huì)被傳播.由于產(chǎn)品信息在各時(shí)段的傳播速度不同，商家據(jù)此制訂合理的生產(chǎn)計(jì)劃，廣告策略等一系列決策，達(dá)到最大效益.

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