張杏宇

摘 要：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的身影，考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，求曲線的切線。

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)；單調(diào)性；極值；最值；切線；應(yīng)用

在最近幾年的高考中，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的身影頻現(xiàn)。以導(dǎo)數(shù)為工具，以函數(shù)為載體，考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等性質(zhì)及其應(yīng)用為目標(biāo)，是最近幾年函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用試題的特點(diǎn)和命題趨向。導(dǎo)數(shù)在高考中常見(jiàn)的內(nèi)容和題型是簡(jiǎn)單的函數(shù)求導(dǎo)和利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在區(qū)間上的最值和極值，借助函數(shù)圖像的研究，來(lái)考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，數(shù)形結(jié)合的思想，利用導(dǎo)數(shù)求解實(shí)際問(wèn)題等?！皩?dǎo)數(shù)法”現(xiàn)在已然成為高中數(shù)學(xué)研究函數(shù)的一個(gè)重要方式，函數(shù)問(wèn)題涵蓋了高中數(shù)學(xué)很多的考點(diǎn)和思想方法。

一、用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線

例1.求曲線y=x3-3x2-2x，在點(diǎn)（-1，-2）處的切線方程。

分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義來(lái)進(jìn)行求解。

解：y'=3x2-6x-2，當(dāng)x=-1時(shí)y'=7，即所求切線的斜率為7。故所求切線的方程為y+2=7（x+1），即為：y=7x+5

思維點(diǎn)撥：函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處導(dǎo)數(shù)就是曲線y=f（x）在點(diǎn)P（x0，f（x0））處切線的斜率。即曲線y=f（x）在點(diǎn)P（x0，f（x0））處切線的斜率為f'（x0），故所求的切線方程為y-y0=f'（x0）（x-x0）。另外，注意，如果把“在”改成“過(guò)”，問(wèn)題就不一樣了，在點(diǎn)P（x0，f（x0））處的切線是指以點(diǎn)P為切點(diǎn)，最多只有一條；而過(guò)點(diǎn)P（x0，f（x0））處的切線，并不一定是以P為切點(diǎn)的，要先設(shè)切點(diǎn)Q（x1，f（x1）），用點(diǎn)Q的坐標(biāo)先表示出切線的方程，最后把P點(diǎn)的坐標(biāo)代入，求解出Q點(diǎn)的坐標(biāo)才可以。

二、用導(dǎo)數(shù)判斷和證明函數(shù)的單調(diào)性

例2.求函數(shù)y=x3-3x2-2的單調(diào)區(qū)間。

分析：求出導(dǎo)函數(shù)y'，令y'>0或y'<0，解出x的取值范圍即可。

解：y'=3x2-6x，令y'>0得3x2-6x>0，得x<0或x>2，由y'<0得3x2-6x<0，解得0

所有函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，0）和（2，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（0，2）。

思維點(diǎn)撥：利用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟解析：（1）確定f（x）定義域；（2）求f'（x）；（3）解不等式f'（x）>0和f'（x）<0（在函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)）；（4）寫(xiě)出f（x）的單調(diào)區(qū)間。

導(dǎo)數(shù)法是研究函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題的一個(gè)主要方法，求解單調(diào)性、參數(shù)范圍等問(wèn)題，需要先求導(dǎo)函數(shù)再解不等式，這類問(wèn)題常常轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的不等式的恒成立、存在、有解問(wèn)題的求解。由于大多函數(shù)的表達(dá)式中含有參數(shù)，所以在研究函數(shù)單調(diào)性時(shí)要注意函數(shù)的定義域以及對(duì)參數(shù)的討論。

三、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值

例3.求函數(shù)f（x）=x3-3x2-9x+4的極值。

分析：求導(dǎo)數(shù)，列寫(xiě)表格。

解：由f'（x）=3x2-6x-9=0解得x=-1或x=3。

列表得：

當(dāng)x=-1時(shí)，y有極大值f（-1）=9，當(dāng)x=3時(shí)，y有極小值f（3）=-23

思維點(diǎn)撥：求可導(dǎo)函數(shù)的極值的步驟解析：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)函數(shù)f'（x）；（3）令f'（x）=0，得所有實(shí)數(shù)根；（4）列表，對(duì)每個(gè)實(shí)數(shù)根進(jìn)行檢驗(yàn)，并判斷在每個(gè)根（如x0）的左右側(cè)，導(dǎo)函數(shù)f'（x）的符號(hào)（正負(fù)）是如何變化的，如果f'（x）的符號(hào)由正到負(fù)的變化，則f（x0）為極大值；如果f'（x）的符號(hào)由負(fù)到正的變化，則f（x0）為極小值。需要注意的是：若f'（x）=0的根x=x0的左右側(cè)符號(hào)相同，則f（x0）就不是極值。

另外，關(guān)于函數(shù)零點(diǎn)的問(wèn)題，函數(shù)的零點(diǎn)就是曲線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，就是方程的根，函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)常常與函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)一致，而復(fù)雜函數(shù)的圖像需要借助研究函數(shù)的單調(diào)性和極值等，來(lái)判斷函數(shù)的最值點(diǎn)相對(duì)于x軸的位置，包括函數(shù)的大致圖像。

四、用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值

例4.求函數(shù)f（x）=x3-3x2-9x+4在閉區(qū)間[-2，4]上的最值。

分析：求導(dǎo)，列出在區(qū)間上的表格。

解：由f'（x）=3x2-6x-9=0解得x=-1或x=3

列表得：

當(dāng)x=-1時(shí)，y有最大值f（-1）=9，當(dāng)x=3時(shí)，y有最小值f（3）=-23

思維點(diǎn)撥：求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟是：（1）確定函數(shù)定義域，求導(dǎo)數(shù)f'（x）；（2）求f'（x）=0的所有實(shí)數(shù)根；（3）和求極值一樣，列表，不同的是，要包含區(qū)間端點(diǎn)；（4）比較表中的數(shù)據(jù)，包括極值和區(qū)間端點(diǎn)的值，其中最大的就是函數(shù)f（x）的最大值，最小的就是函數(shù)f（x）的最小值。

五、證明不等式

例5.已知：x>1，求證：x2+lnx

分析：首先構(gòu)建函數(shù)，對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，并判斷函數(shù)的單調(diào)性。

證明：令f（x）=x3-（x2+lnx）

f'（x）=2x2-x-

因?yàn)閤>1，所以f'（x）>0

所以f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，

所以f（x）>f（1）=>0在（1，+∞）上恒成立，

因此x>1時(shí)， x2+lnx

思維點(diǎn)撥：利用導(dǎo)數(shù)法處理有關(guān)不等式證明問(wèn)題是近年來(lái)高考中常用的一種行之有效的方法。其方法就是“由實(shí)際問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)模型，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)最值”。

要證不等式f（x）≥g（x）在區(qū)間D上恒成立，只需證不等式f（x）-g（x）≥0在區(qū)間D上恒成立；即證函數(shù)f（x）-g（x）在區(qū)間D上的最小值大于等于零。所以不等式的證明問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問(wèn)題。

導(dǎo)數(shù)作為一種高中數(shù)學(xué)解題工具來(lái)說(shuō)，在解決函數(shù)問(wèn)題時(shí)很便捷，尤其是解決函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值以及切線問(wèn)題。教師要教會(huì)學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)和不等式知識(shí)去解決最優(yōu)解問(wèn)題的能力。 復(fù)習(xí)時(shí)，學(xué)生首先要“回歸”課本，融合所學(xué)的知識(shí)，扎實(shí)基礎(chǔ)，熟練掌握解題的通解通法，提高解題速度。同時(shí)，要知道大多高考試題在教材中都有原型，他們很大一部分是由教材中的習(xí)題、例題引申變化而來(lái)。因此，學(xué)生在一輪復(fù)習(xí)過(guò)程中要利用好課本，夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)，為自己后面的二輪、三輪復(fù)習(xí)做鋪墊、做準(zhǔn)備。

參考文獻(xiàn)：

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[2]崔華.導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用：運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，巧妙體現(xiàn)[J].魅力中國(guó)，2009（11）.

編輯 謝尾合