朱四樣

摘 要：排列組合是一門(mén)源遠(yuǎn)流長(zhǎng)的古老數(shù)學(xué)知識(shí)。在近幾十年里，排列組合已經(jīng)能夠解決一些具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，并且可以跨領(lǐng)域運(yùn)用到物理學(xué)、生物學(xué)、化學(xué)等不同的學(xué)科研究中。同時(shí)排列組合也是高中數(shù)學(xué)中比較困難的一個(gè)版塊知識(shí)。對(duì)排列組合的經(jīng)典題型——列隊(duì)問(wèn)題解題方法進(jìn)行探究，希望能給排列組合問(wèn)題的解題策略與方法一點(diǎn)借鑒與思考。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；排列組合；解題方法

排列組合是組合學(xué)中最基本的概念，而排列指的是從指定元素中取出指定數(shù)量的元素進(jìn)行排序，組合則是指從指定元素中取出指定個(gè)數(shù)的元素而不用考慮順序。排列組合簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)就是算出可能情況的總數(shù)。在高中階段的排列組合問(wèn)題中，雖然是依據(jù)分析計(jì)算，但是在考慮元素情況時(shí)經(jīng)常會(huì)因考慮不全面而產(chǎn)生丟落和重復(fù)計(jì)算的情況。再加之排列組合問(wèn)題相對(duì)比較抽象，因此在解題時(shí)常常不知從何下手。本文將對(duì)排列組合的基本原理進(jìn)行闡述，并選取幾道經(jīng)典的列隊(duì)題目對(duì)排列組合的解題方法進(jìn)行探究。

一、列隊(duì)問(wèn)題的思維模式

在解決高中數(shù)學(xué)排列組合列隊(duì)問(wèn)題時(shí)，主要從兩個(gè)方面進(jìn)行分析，一是這個(gè)問(wèn)題是單排問(wèn)題還是多排問(wèn)題；二是這個(gè)問(wèn)題是單一條件限制問(wèn)題還是多條件限制問(wèn)題。如果是單一的條件限制問(wèn)題那么就用單一的解題策略如捆綁法、插空法等加以解決；如果是多條件限制問(wèn)題就要考慮幾個(gè)方面，綜合運(yùn)用一些策略與技巧，綜合性問(wèn)題一般既有分步計(jì)數(shù)原理又有分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，分類(lèi)時(shí)要考慮會(huì)不會(huì)重復(fù)或者遺漏，如果正面不好思考一般可以考慮問(wèn)題的反面。如果是多排問(wèn)題我們一般轉(zhuǎn)化成單排問(wèn)題后進(jìn)行分段研究即可。

二、列隊(duì)問(wèn)題的關(guān)鍵詞

在解題時(shí)，應(yīng)注意一些關(guān)鍵詞，這往往是解決列隊(duì)問(wèn)題的突破口。

1.“鄰”與“不鄰”問(wèn)題

例1.7個(gè)學(xué)生站成一排，甲乙必須相鄰的站法有幾種？

這道題中的關(guān)鍵詞“相鄰”告訴我們這道題屬于單一條件限制列隊(duì)問(wèn)題，需要我們采用捆綁的方式解決。這樣我們可以先把甲乙看做一個(gè)“大胖子”。接下來(lái)需要用分步來(lái)解決，第一步我們需要給“大胖子”選擇位置，由于甲乙捆綁成大胖子看成一個(gè)人，那么問(wèn)題轉(zhuǎn)變成6個(gè)人的列隊(duì)問(wèn)題，甲乙捆綁而成的這個(gè)大胖子可有C16=6種，剩下的5人由于沒(méi)有限制條件，可進(jìn)行有序排列，即A55=120種。第三步我們需要考慮被視為大胖子的甲乙兩人的排序，即A22=2種。最后根據(jù)分布計(jì)數(shù)原理這道題的答案即為這三步方法數(shù)的乘積即C16A55A22=1440種。

2.“在”與“不在”問(wèn)題

例2.7人站一排，甲乙不在兩端的排法有幾種？

這道題的關(guān)鍵詞在于甲乙“不在”兩端，因此我們可以首先考慮安排甲乙兩個(gè)人，總共有七個(gè)位置，由于甲乙不能站在兩端，那么中間剩下的五個(gè)位置都是甲乙可以站的，所以共有A25種方法，第二步考慮剩下的五個(gè)人的列隊(duì)問(wèn)題，由于剩下的五個(gè)人沒(méi)有任何限制條件所以排好這五個(gè)人的方法數(shù)為A55，最后根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得出這道題的答案為A25A55=2400種。

3.多條件限制問(wèn)題

以上兩個(gè)問(wèn)題限制條件比較單一，還以7人站一排的經(jīng)典列隊(duì)題為例，我們可以改裝成多條件限制問(wèn)題：例3.7人站一排如果要求甲乙必須相鄰且甲乙不在兩端的排法有幾種？

我們還是把甲乙兩個(gè)人捆綁看成一個(gè)大胖子，第一步我們先把兩端的位置排好，共有七個(gè)人去掉甲乙這個(gè)大胖子那還剩下五個(gè)人，在這五個(gè)人里選兩個(gè)人排在兩端共有A25種方法，第二步把剩下的位置排好，由于甲乙看成一個(gè)大胖子相當(dāng)于剩下四個(gè)位置要排共有A44種方法，最后一步甲乙這個(gè)大胖子還可以交換位置有A22種方法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理這道題的答案是A25A44A22=960種。

若再增加限制條件題目難度隨之增加，例4.7人站一排甲乙必須相鄰且甲乙不在兩端并且和丙不相鄰的排法有幾種？這個(gè)問(wèn)題就需要我們考慮到分類(lèi)問(wèn)題，所有的排法分為兩類(lèi)，第一類(lèi)丙在兩端中的一個(gè)位置，有A12種方法，然后排甲乙這個(gè)大胖子因?yàn)閮啥瞬荒芘牛植荒芎捅噜徦园才胚@個(gè)大胖子的方法數(shù)就只有A13種方法，接下來(lái)排剩余的四個(gè)人由于這四人沒(méi)有任何要求所以共有A44，最后大胖子甲乙兩個(gè)人還可以交換位置有A22種方法，所以第一類(lèi)方法數(shù)為A12A13A44A22=288種。第二類(lèi)丙不在兩端，這時(shí)我們先排除了甲乙丙剩下的4個(gè)人方法數(shù)為A44，四個(gè)人形成三個(gè)空隙，然后把甲乙看成一個(gè)整體和丙相當(dāng)于兩個(gè)人插入三個(gè)空隙中的兩個(gè)，方法數(shù)為A23，最后甲乙這個(gè)大胖子還可以換位置有A22種方法，所以第二類(lèi)方法數(shù)為A44A23A22=288.根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理這個(gè)問(wèn)題的答案為288+288=576種。

4.多排問(wèn)題

如果列隊(duì)中是前后兩排或三排那就是多排問(wèn)題，這種問(wèn)題我們一般轉(zhuǎn)化成單排問(wèn)題進(jìn)行研究，然后再在單排里分段解決條件限制問(wèn)題。例5.8個(gè)人站成兩排，一排四個(gè)人，丙要站第一排且不站兩端，甲乙要站第二排且不相鄰，有多少種站法？我們可以把兩排的八個(gè)人拉成一排，前面一排四個(gè)人就是左邊四個(gè)位置看成第一段，后面一排四個(gè)人就是右邊四個(gè)位置看成第二段。第一步解決第一段的排法，先排丙有A12種方法再排剩下的三個(gè)人，有A35種方法，第二步解決第二段的排法，先排除掉甲乙的兩個(gè)人有A22，這兩個(gè)人形成三個(gè)空隙再把甲乙插入三個(gè)空隙中的兩個(gè)有A23種方法，最后根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理這個(gè)問(wèn)題的答案為A12A35A22A23=1440種。

以上是我對(duì)排列組合中列隊(duì)問(wèn)題進(jìn)行的簡(jiǎn)單探究，在解題時(shí)必須分清屬于哪類(lèi)條件限制問(wèn)題，是多排還是單排問(wèn)題，充分考慮以上關(guān)鍵詞，根據(jù)關(guān)鍵詞所屬的性質(zhì)對(duì)癥下藥，選擇相應(yīng)的解題方法，綜合運(yùn)用分類(lèi)與分步以及轉(zhuǎn)化與化歸等多種思維模式，

避免遺漏和重復(fù)。

參考文獻(xiàn)：

凌皇周.關(guān)于高中數(shù)學(xué)排列組合教學(xué)方法探究[J].家教世界，2013（12）.

編輯 薛直艷